反比例函数K的集合几何意义

与的面积反比例函数几何图形P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE反比例函数与矩形面积

例1.如图，P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。解：设P点的坐标为（x,y),

则OA=x,AP=-y∵矩形OAPB的面积S=6∴OA×AP=6，即-xy=6∴这个反比例函数关系式为：

P(x,y)Aoyx

B反比例函数中“k”的几何意义xyO如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。1、若P(1，y)，则四边形OAPB的面积＝_________P(1,y)BBAAABAP(5,y)PP(3,y)2、若P(3，y)，则四边形OAPB的面积＝_________6663、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积＝_________结论：从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积=︱k︱.想一想：若P(x，y)，则四边形OAPB的面积＝____1/36P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。

推广：反比例函数与三角形面积

例2.如图，点A在反比例函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为B.求⊿OAB的面积。

解：设A点坐标为（x，y），∵点A在图象上∴xy=-8，︱xy︱=8∴

BoyxAP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：PDoyx1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为

.12.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是

.PDoyxPyxOC的面积不变性注意：（1）面积与P的位置无关（2）当k符号不确定的情况下须分类讨论PQ0xyP0xy3、在双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。(X>0)yxO或AA.S1=S2=S3

B.S1<S2<S3

C.S3<S1<S2

D.S1>S2>S3

BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2如图，A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若

.4Oyxs1s2∟

如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1

____S2.PQ

趁热打铁，大显身手（提高篇）∟∟∟=xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（x>0)

．（x>0)思考：1.你能求出S2和S3的值吗？2.S1呢？1yxoBEACD

若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由。yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。（1）若A(2,3)，求K的值yBAxo（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若，求K的值CAyOBxMNy=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.

已知：如图,反比例函数与一次函数（1）求这个一次函数的解析式（2）求△AOB的面积.变式练习

如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n)是图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F，拓展提高G若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，写出S关于m的函数关系式．总结提高一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDEyBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。C(5,0)yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDE2、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为()

（A）1（B）（C）2（D）

例3.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，则面积S为多少？解：因为点A与点C关于原点中心对称，设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做

CD垂直与X轴,垂足为D点所以D练习：（2010湖北孝感）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为

.2.如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（）

A. B.C.D.大小关系不能确定E3.如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（）

A.S＝1B. C.S＝2D.4.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。

综合例4.如图，反比例函数(x>0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为21.求证：AF=BF2.求三角形OAF的面积3.求k的值yxOABCFE例：如图，反比例函数(x>0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为2

1.求证：AF=BF;2.求三角形OAF的面积;3.求k的值

解：1.连接OB，在矩形OABC中，∵BE=CE,∴又==S矩形OABC

∴=S矩形OABC∵点F也在反比例函数图象上，∴∴∴AF=BF2.∵∴

∵四边形OEBF的面积为2，∴yxOABCFES⊿OCE=S⊿OBES⊿OCBS⊿OCE×S⊿OABS⊿AOF=S⊿OCE=S矩形OABCS⊿AOF=S⊿BOFS⊿AOF=S⊿BOF=S⊿EOBS矩形OABCS⊿AOF=13.∵∴k=2S⊿AOF=1=1/2k过E,F点分别做X轴、Y轴的垂线，垂足分别为G、H，yxOABCFEGHO因为点E、F在反比例函数图像上，所以矩形OCEG的面积等于矩形OHFA的面积，所以OC×CE=OA×AF,∵CE=BE,∴1/2BC×OC=OA×AF,又在矩形OABC中，OA=BC,OC=AB∴AF=1/2OC∴AF=1/2AB,∴AF=BF证法二：

证明：设点E的坐标为（a,b），∵BC∥x轴，

且BE=CE，

∴B（2a，b）

∵AB∥y轴，

F点横坐标为2a，设纵坐标为y，

∵点E和点F都在反比例函数图像上

∴ab=k，2ay=k

∴y=b，

∴F是线段AB的中点，即AF=BFyxOABCFE练习：1.（2011湖北）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，