函数奇偶性与周期性

关于函数奇偶性与周期性第1页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三1．奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝

f(x)(或f(－x)＝-f(x))成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．2．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．第2页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．第3页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三第4页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三

点评

如何判断函数奇偶性?

第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数利用图象判断较为方便．第5页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三g(－2)<g(0)<f(1)第6页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三

[例3]设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解是______．

变式：

设f(x)，g(x)都是R上的奇函数，若F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+)上的最大值为5，求F(x)在(-,0)的最小值.点评

奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数在对称区间的单调性相反；第7页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三3.函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．[例4]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).

求证：f(x)是周期函数；第8页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三[例5]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，并且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(462)的值为A．2B．0C．1D．－1解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(462)＝f(115×4＋2)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上奇函数，∴f(0)＝0，∴f(462)＝0.故选B.第9页，讲稿共11页，2023年5月2日，星期三点评第一，若一个函数两条对称轴、或两个对称中心、或一条对称轴和一个中心，则这个函数一定是一个周期函数，那么它的中心