切线的性质和判定

关于切线的性质和判定第1页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三.Ol特点：.O叫做直线和圆相离。直线和圆没有公共点，l特点：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切。这时的直线叫切线，唯一的公共点叫切点。.Ol特点：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线。复习：直线与圆的位置关系一、用公共点的个数来区分.A.A.B切点第2页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三．Ｏl┐dr．ｏl2、直线和圆相切┐drd=r．Ol3、直线和圆相交d<rd┐r二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分1、直线和圆相离d>r第3页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．

1当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？情景导入第4页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三想一想过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？Orl

A第5页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。

条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；●O┐Al∵l⊥OA，且l经过⊙O上的A点∴直线l是⊙O的切线符号语言表达第6页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，

下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：

定理辨析第7页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA第8页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三1、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线；(d=r)归纳：第9页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三例1

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,

求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形,OC

是底边AB上的中线∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线OCBA这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂直”注意：使用此方法时必须已知直线与圆有一公共点。第10页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三练习1、如图4，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？

BACO解：∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=450∴∠BAC=900即AB⊥AC

∵

AB是⊙O的直径∴AC是⊙O的切线变式练习第11页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三练习2、如图:线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？AOBCD解：BD是⊙O的切线连接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=300∴∠BOD=600∴∠ODB=900即：OD⊥DB∴BD是⊙O的切线变式练习第12页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三证明：连结OP。∵AB为直径∴OB=OA，∵BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP变式练习第13页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。第14页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED第15页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三.OAL思考如图：如果直线L是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径∵直线L是⊙O的切线，A是切点。∴L⊥OA于A点简记为：“知切线，连半径，得垂直”第16页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三探索切线性质假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDB●OA所以AB与CD垂直.M第17页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三例3如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．第18页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三1，如图：AC是⊙O的切线，∠B=600。求∠CAD=?BACODAOCB

2，如图：以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是切点，求证：C是AB的中点。变式练习第19页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

已知如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。AC与⊙O相切吗？为什么?E解：AC与⊙O相切连接OD,作OE⊥AC∴∠OEC=900∵AB是⊙O的切线∴OD⊥AB,∴∠ODB=900=∠OEC∵AB=AC∴∠B=∠C∵O是BC的中点∴OB=OC∴△OBD≌△OCE∴OD=OE∴AC与⊙O相切变式练习第20页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。第21页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.总结：第22页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点E为圆心的圆与AB相切，梯形的上底AD与底BC是方程x2－10x+16=0的两根，求⊙E的半径r.F解：连接EF∵x2－10x+16=0(X-2)(X-8)=0X1=2X2=8∴BC=8AD=2∵AB是⊙O的切线∴EF⊥AB∵AB⊥BC∴EF//BC//AD∵E是DC的中点∴EF是梯形ABCD的中位线∴EF=(AD+BC)=5拓展提高第23页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三切线的性质定理的应用例.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切解:(1)过点C作CD⊥AB于D.∵AB=8cm,AC=4cm.∴∠A=60°因此,当半径长为cm时,AB与⊙C相切.BAC┐∴∠B=30°D┛

练一练第24页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三1.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并说明你的理由.巩固练习第25页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三2、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（）A、0条B、1条C、2条D、3条D第26页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三3、已知如