复变函数第14讲

曲线的切线导数的几何意义共形映射的概念§1

共形映射的概念1t

˛

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)1.

曲线的切线它的正向取t增大时点z移动的方向.若z'(t0

)„0,t0

˛

(a

,b

),取P0

,P

˛

C

,P0

,P对应的参数分别为t0

,t，z(t0

+Dt

)-z(t0

)方向相同.Dt设连续曲线yoxy(z)P0C

:

z

=

z(t

)P割线p

p对应于参数

t增大的20方向。则割线的方向向量p0

p与向量jyoxy(z)0PC

:

z

=

z(t

)PT割线方向p0

p

的极限位置：Dt3z(t

+

Dt

)

-

z(t

)z'(t

)

=

limDt

fi

0000—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.j

=

arg

z'(t0

).则曲线C在z0有切线,z'(t0

)\若z'(t0

)„0,t0

˛

(a

,b

),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~就是切向量,它的倾角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义

切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线.~~~~~~~~~~(1)Argz'(t0

)--曲线C在点z0处切线的正向与x轴正方向之间的夹角.(2)若曲线C1与曲线

C2相交于点z0

,在交点处两曲线正向之间的夹角就是它们的两条切线正向之间的夹角.C2

:C1

:z

=

z1

(t

)oy(z)z0qz

=

z2

(t

)x42.

解析函数导数的几何意义(辐角和模)设w

=f

(z)在区域D内解析,z0

˛

D,且f

'(z0

)„0,在D内过z0引一条有向光滑曲线:5t

˛

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)G

—

过点w0

=

f

(

z0

)，正向取

t增大方向的曲线

.z0

=

z(t0

)取t0

˛

(a

,b

)z'(t0

)

„

0则w

=

f

(

z

)fi

w平面上G

:w

=f

[z(t

)]z平面上C:z

=z(t

)~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~

w

'

(

t0

)

=

f

'

(

z0

)

z'(

t0

)

„

0

Argw

'

(

t0

)

=

Argf

'

(

z0

)+

Argz

'

(

t0

)a

jFa

=

F

-j(1)C

:

z

=

z(t

)o(z)记即

Argf

'(z0

)

=

Argw'(t0

)

-

Argz'(t0

)即yxovuw

=

f

(

z

)fiF(w)G

:

w

=

f

[z(t

)]T

'jTz006wz0的转动角,记作a

.若视x轴与u轴和y轴与v轴的正向相同,称曲线C的切线正向与映射后曲线G正向之间的夹角为(原曲线C经映射w

=f

(z))在点~~~~~~~即Argf

'(z0

)=Argw

'(t0

)-Argz

'(t0

)a

=

F

-

juFxTjz0w0T

'a78由(1)式a

仅与映射

w

=

f

(

z

)及点

z0有关,

则②转动角a的大小及方向与曲线C的形状与方向无关,这种性质称为映射具有转(1)导数幅角Argf'(z)的几何意义①Argf

'(z0

)(f

'(z0

)„0)是曲线C经过w

=f

(z)映射后在点z0的转动角.~~~~~~~~~动角的不变性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j2设Ci

(i

=1,2)在点z0的夹角为q

,Ci

(i

=1,2)在变换w

=f

(z

)下映射为相交于点w0

=f

(z0

)的曲线Gi

(i

=1,2),G1

,G2的夹角为Q

.xy

(z)1C2Cjo

10zw

=

f

(

z

)fiQ

=

F

2

-

F

1G2G1F

1F

2ovu(w)w0由式(1)有，

a

=

F

i

-

j

i

F

2

-

F

1

=

j

2

-

j

19(i

=

1,2)\

Q

=

q——保角性q

=

j

2

-j1由上述讨论我们有w

=

f

(

z

)过z0的C1

,

C2

fi

过w0的G1

,

G2

(C1

,

C2

)

=

(G1

,

G2

),这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质--保角性(2)模

f'(z)的几何意义用Ds表示C上的点z0与z之间的一段弧长;Ds表示G上的对应点w0与w之间的弧长.10iq设Dz

=

z

-

z0

=

re

,ijDw

=w

-w0

=re

且=

1=

1

limD

s

fi

0D

z

fi

0

limD

sD

wD

sD

z(3)Ds

=

lim

Ds0Ds

Dz

DsDz

fi

0\

f

'(

z

)

=

lim

Dw

DsDz

fi

0

Dsf

'(z0

)--称之为曲线C在z0的伸缩率.Co(z)xyov(w)uGw

=

f

(

z

)fi0zz11DzDswDww0Ds点z0处A

=f'(z0

)均不变--伸缩率不变性.易见

,

f'

(

z0

)

与映射

w

=

f(

z

)及z0有关,

而与曲线的形状方向无关

,

沿任何曲线作映射

f时,

在同一3.

共形映射的概念定义设w

=f

(z)在z0的邻域内有定义，且在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w

=f

(z)在z0为共形的，或称w

=f

(z)在z0是共形映射.~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~若w

=f

(z

)在D内每一点都是共形的，则称12w

=f(z

)在区域D内是共形映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由定义及以上分析有:定理若w

=f

(z

)在z0点解析且f

'(z0

)„0,

w

=f

(z

)是共形(保角)映射，13且a

=

Argf

'

(

z0

)为转动角

,

f

'

(

z0

)

为伸缩率。

若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~射~~。~~~~~~~~~~~~~~~~~~f

'(z0

)

„

0设w

=

f

(z)

z

˛

Dz0

˛

D

w0

=

f

(z0

)\Dw

»f

'(z0

)Dz（忽略高阶无穷小）14=

d

=

f

'(z0

)

dzfi

z0fi

=

f

'(z0

)f

(z)

-

f

(z0

)w

=

f

(

z

)fi

w

-

w0那么圆:z

-z0（忽略高阶无穷小）这就是为什么称共形映射的原因.=Dz

z

-

z0Dw又15

1.

分式线性映射的定义

2.

分式线性映射的性质§2

分式线性映射1.

分式线性映射的定义16定义称为分式线性映射,其中a,b,c,d是复常数.(ad

-

bc

„

0)

-(1)cz

+

d映射w

=az

+b~~~~~~~~~~~~~

(1)

w'=

ad

-bc

\ad-bc

„0是必要的。(cz

+

d

)2否则w'=0

w

”c(复常数).(2)补充定义使分式线性函数在整个扩充平面当c

=0时，在z

=¥

时，定义w

=¥

.a

/

c上有定义:当c

„0时，w

=¥z

=

-d

/

cz

=

¥则,逆映射仍为分式线性的,cz

+

d故又称w

=az

+b

为双线性映射.(-d

)(-a)

-

bc

„

0(3)w

=

az

+

b

z

=

-

dw

+

b

cz

+

d

cw

-

a~~~~~~~~~~分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊映射的复合：(i

)

w

=

z

+

b

(ii

)

w

=

az(a

„

0) (iii

)w

=

1z反演称为：

平移 整线性17(

A

=

bc

-

ad+

B B

=

a

)1=

a

+

bc

-

ad

1c

c

cz

+

da(z

+

d

)

+

b

-

adc

ccz

+

d

c

c=

Acc(z

+

d

)当c

„0时，w

=当c

=

0时，w

=

az

+

b

w

=

a

z

+

b

=

Az

+

Bcz

+

d

d

d事实上，(A,B复常数)21811

2cz

+

d复合而成.x\

w

=

az

+

b

由x

=

cz

+

d

,x

=

1

和w

=

Ax

+

B(i)w

=

z

+

b\w

=z

+b是一个平移映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~故v

=

y

+

b2u

=

x

+

b1(ii)w

=

az设z

=

reiq

a

=

leia

,则w

=

rlei

(q

+a

)\

把z先转一个角度

a再将

z

伸长(或缩短)

a

=

l倍后就得w,\w

=az是旋转和伸缩合成的映射.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~19z

=

x

+

iy b

=

b1

+

ib2设w

=u

+iv于圆周

z

=

r对称.名词介绍:关于圆的对称点(见图）定义

若在半直线上有两点

p,

p'满足

op op'

=

r

2

,

则称

p与p'

关~~~~~~~~roxyPP'~~~~~~~~~~~~~~~~~

规定无穷远点的对称点为圆心o如何由p找到关于圆周z

=

r的对称点p'呢?设p在圆外,从p作圆周的切线pT

,连接op

,由T作op的垂线Tp',与op交于p',那么p与p'即互为对称点.oP'TP20z(iii)w

=

111z令

w

=

1

,

w

=

w-iqiqe

w

=

w

=r=

e1rzw

=1

111设z

=reiq

=r(cosq

+i

sinq

)z

=

re-iq

=

r(cosq

-

i

sinq

)1=r

=1,z与w1在同一射线上;r

z

w11)作出点z关于圆周z

=

1的对称点w1

.1ox,uy,vw1zwzw

=1

的几何作图\

z,

w1关于

z

=

1对称.2)作出点w1关于实轴对称的点即得w(见图).212.

分式线性映射的性质先讨论以上三种特殊映射的性质,从而得出一般分式线性映射的性质.(1)保角性z对于(iii

)w

=1

的情况

z

<

1

w

>

1

z

>

1

w

<

1

z

=

1

w

=

1;若arg

z

=q,

arg

w

=-q因此映射w

=1通常称为反演变换22zw

=

¥;

z

=

¥w

=

f

(

z

)fi

w

=0(见第一章§2)w

=

f

(

z

)z

=

0

fiz

2又

w'

=

-

1

(

z

„

0)在扩充复平面上处处共形的,即为一共形映射.23z\适当规定¥

处夹角的定义后,映射w

=1w

=

az

+

b(a

„

0)\是共形映射.（详见P195）对(i

),(ii

)的复合映射

w'

=

(az

+

b)'

=

a

„

0由于分式线性映射是由三种特殊映射复合而成的,有以下结论:~~~~~~~~~24定理1

分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.(2)保圆性z平面上的直线lfi

w平面上的圆周Gw

=az

+bfi\z平面上的圆周C

w

=az+b是平移,旋转,伸缩的合成映射.w

=az

+bw平面上的直线L穷大的圆周,那么圆周,即具有保圆性.w

=

az

+

b在扩充复平面上把圆周

映射成若把直线看作是半径无~~~~~~~w