圆的切线“十市联赛”一等奖

圆的切线数学湘教版九年级下复习旧知直线与圆的位置关系

相交

相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有直线与圆的位置关系复习旧知直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。相切切线切点新课导入当我们在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向呢？工人用砂轮磨一把刀，在接触的一瞬间，擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？新知讲解1切线的判定1.直线BC与⊙O的位置关系是

。2.直线BC是⊙O的

。公共点A是⊙O的

。OBAC满足什么条件的直线是圆的切线呢？相切切线切点新知讲解如图，OA是⊙O

的半径，经过

OA

的外端点A，作一条直线l⊥OA

，圆心

O

到直线

l

的距离是多少？直线

l和⊙O

有怎样的位置关系？探究OAl∟新知讲解OAl∟【结论】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。1.圆心O到直线l的距离等于半径OA。2.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切。新知讲解一、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。OAl∟

l即为⊙O的切线OA为⊙O半径l

⊥

OA于A圆的切线有无数条！！！新知讲解二、切线的判定定理解读OAl直线是圆的切线需要同时满足：经过半径的外端；垂直于这条半径。OAl∟满足①不满足②满足②不满足①1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可

(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这条半径垂直。新知讲解新知讲解用三角尺过圆上一点画圆的切线。如图，已知⊙O

上一点P，过点P

画⊙O

的切线。做一做OP新知讲解lOP（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合。（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线。为什么画出的直线l是⊙O的切线呢？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。新知讲解如图，已知AD是⊙O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD＝∠CAD。求证：直线BC是⊙O的切线。例题讲解证明

∵AB=AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC．又∵OD是⊙O的半径，且BC经过点D，∴直线BC是⊙O的切线．新知讲解三、判定直线与圆相切的方法①定义法：直线与圆有唯一公共点；②数量法：直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)∵⊿OAB中，OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。新知讲解当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∴

OE是⊙O的半径∵

OE⊥AC∴AC是⊙O切线。新知讲解当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。新知讲解总结证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：（1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；（2）当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。新知讲解如图，直线

l

是⊙O的切线，

A为切点，切线

l

与半径

OA垂直吗？2切线的性质定理动脑筋OAl分析：可以用量角器量，也可以用反证法证明。新知讲解OAl假设直线

l

与半径

OA不垂直。过圆心O作OB⊥l于点B。由于垂线段最短，可得OB

＜OA，那么圆心O到直线l的距离小于半径，即直线l

与⊙O相交.这与已知直线l是⊙O的切线相矛盾。因此直线l⊥OA。结论：圆的切线垂直于过切点的半径。B新知讲解一、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。O.A几何语言：∵直线l

是⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥l新知讲解切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。O.A因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之，过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心。因此我们可以得到两个推论。新知讲解如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD和过点C的切线CD垂直，垂足为D。求证：BC平分∠ABD．例题讲解OABDC∟新知讲解证明：连接OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵BD⊥CD，∴BD∥OC.∴∠1=∠2.又OC=OB，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3，即BC平分∠ABD.OABDC∟321新知讲解证明：经过直径两端点的切线互相平行。已知：如图，AB是⊙O

的直径，l1，l2分别是经过点A，B的切线．求证：

l1

∥l2．OAl1l2新知讲解证明∵OA

是⊙O

的半径，l1是过点A的切线，∴l1⊥OA．同理l2⊥

OB．∴l1⊥AB，且l2⊥AB．∴

l1∥l2

．OAl1l2新知讲解二、切线判定和切线性质定理的比较O.A①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：新知讲解总结切线的性质：切线和圆只有一个交点。圆心到切线的距离等于半径。切线垂直于过切点的半径。经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。巩固提升···ABO求证:C是线段AB的中点.1.

如图,这是手表的圆形表盘，两个圆的圆心都是O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C。C分析：根据圆的切线垂直于过切点的半径，可以知道OC⊥AB，可以通过三角形全等（HL）证明AC=BC巩固提升···ABOC∴C为AB的中点证明:两个同心圆。连接OA,OB∴△OAB为等腰三角形OA=OBC为切点,OC⊥AB即OC为△ABO的高,∴OC为△ABO的中线巩固提升2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F。求证：EF与⊙O相切。分析：当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”。所以只需要连接OD，证明OD⊥EF。巩固提升证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AE.∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切。课堂小结一、切线的判定定理经过半径的外端并