线性空间的应用

线性空间的应用1.Durer魔方1514年，德国著名的艺术家AlbrechtDurer（1471-1521）曾铸造过一枚名为的铜币，这枚铜币的画面充满了数学符号、数字及几何图像。这里，我们可以看一下铜币右上角的数字问题，这是一个自然数组成的方块（可以看作一个矩阵），称之为Durer魔方（如果一个数字矩阵，它的每一行，每一列，每一对角线以每小方块上的数字相加）。其形式为此魔方中，每行、每列、对角线上的数字加在一起其和为34，若用水平线盒垂直线把它四个小方块每个小方块的数字和也是34，若把四个角上的数字相加，其和仍是34。另外15，14排在最后一行，正好是铜币的铸造时间。我们可以经过一些换行、列的交换，通过旋转，通过中间轴和对角线的映射，得到一些新的Durer魔方，那么有多少个可定义的Durer魔方？是否有构成所有魔方的方法？我们说有。下面通过用0，1数字组合的方法构成R=C=D=S=1的所有魔方（这里R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和），称之为基本魔方。若我们把每一个Durer魔方看成是一个矩阵，那么Durer可实行矩阵的数乘、加法运算。因此，可以通过已知的Durer魔方进行线性组合，构成新的Durer魔方，所有Durer魔方构成一个线性空间，记为V。V显然是一个有限维的线性空间。我们容易证明是其一组基，这样我们就可以用的线性组合来表示Durer魔方，例如改变对Durer魔方数字和的要求，我们可以利用线性子空间的定义，构造V的子空间或者包含V的子空间。例如求行和，列和及两条对角线上的元素和相等，得到8维线性空间Q，基向量为，其中是V的基，而例如：R=C=D=30V是Q的7维子空间。例如要求列和、行和及每条主、次对角上数字和都相等，得5维向量空间BH=N=R=C=46其中H为主对角线和，N为次对角线和，B的基为Botsch于1967年证明了可以构造大量的V子空间或V的扩张空间，对于1—16之间的每一个数K，都存在K维方阵构成的线性空间。2.向量在的调整气象观测站问题中应用某地区有12个气象观测站，10年来各观测站的年降水量如下表。X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.54231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些气象观测站可以使所得降水量的信息仍然足够大？解：用分别表示气象观测站在1981-1990年内的降水量的列向量，由于是含有12个向量的十维向量组，所以该向量组必然相关。若能求出一个最大无关组，则最大无关组所对应的气象站就可以将其他气象站的资料表示出来，因而其他气象站就是可以减少的。因此，最多只需要10个气象观测站。由为列向量组作矩阵A，可以求出一个最大无关组：故可以减少第11和12个观测站，可以使得到的降水量信息仍然足够大。当然，也可以减少另外两个观测站，只要这两个列向量可以由其他列线性表示。注：如果确定只需要8个观测站，那么我们可以从上表中取某8年的数据（比如，最近8年的数据），组成含12个向量的向量组，然后求其最大无关组，则必有4个向量可由其他向量线性表示。这4个向量所对应的气象观测站就可以减少。3.向量在基因的“距离”中的应用在ABO血型的人们中，对各种群体的基因频率进行了研究。如果把四种等位基因A1,A2,B,O区别开，有人报告了如下的相对频率：爱斯基摩人f1k班图人f2k英国人f3k朝鲜人f4kA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1111现在的问题是：一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，就是要找到一个表示基因距离的合适的度量。解：解决这个问题可以用向量的方法。首先我们用单位向量表示每一个群体，为此对各个群体向量单位化：由此可见最小的基因“距离”是爱斯基摩人和英国人之间，最大的