高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质课堂练习和答案

/2.3直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直.我们就说直线L与平面α互相垂直.记作L⊥α.直线L叫做平面α的垂线.平面α叫做直线L的垂面。如图.直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。PaL2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。注意点：a>定理中的"两条相交直线"这一条件不可忽视；b>定理体现了"直线与平面垂直"与"直线与直线垂直"互相转化的数学思想。平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线.则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直.则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。知能训练一．选择题1．已知m和n是两条不同的直线.α和β是两个不重合的平面.那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是〔A．α⊥β.且m⊂αB．m∥n.且n⊥βC．α⊥β.且m∥αD．m⊥n.且n∥β2．在三棱椎P-ABC中.PA⊥平面ABC.AC⊥BC.D为侧棱PC上的一点.它的正视图和侧视图如图所示.则下列命题正确的是〔A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为8B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为8C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为163D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为163．如图.在正四棱锥S-ABCD中.E是BC的中点.P点在侧面△SCD内及其边界上运动.并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是〔A．B．C．D．4．如图.梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.AD：BC：AB=2：3：4.E、F分别是AB、CD的中点.将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．

在翻折过程中.可能成立的结论是〔A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A.B.C.D是同一球面上的四个点.其中△ABC是正三角形.AD⊥平面ABC.AD=2AB=6.则该球的表面积为〔A．16πB．24πC．322πD．48π6．设O是空间一点.a.b.c是空间三条直线.α.β是空间两个平面.则下列命题中.逆命题不成立的是〔A．当a∩b=O且a⊂α.b⊂α时.若c⊥a.c⊥b.则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α.b⊂α时.若a∥β.b∥β.则α∥βC．当b⊂α时.若b⊥β.则α⊥βD．当b⊂α时.且c⊄α时.若c∥α.则b∥c7．已知平面α⊥平面β.点A∈α.则过点A且垂直于平面β的直线〔A．只有一条.不一定在平面α内B．有无数条.不一定在平面α内C．只有一条.一定在平面α内D．有无数条.一定在平面α内8．如图.四棱锥S-ABCD的底面为正方形.SD⊥底面ABCD.则下列结论中不正确的是〔A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．下列命题中错误的是〔A．如果平面α⊥平面β.那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β.那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ.平面β⊥平面γ.α∩β=l.那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β.那么平面α内所有直线都垂直于平面β10．如图.在正方形ABCD中.E、F分别是BC、CD的中点.AC∩EF=G．现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体.使B、C、D三点重合.重合后的点记为P.则在四面体P-AEF中必有〔A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如图.设平面α∩β=EF.AB⊥α.CD⊥α.垂足．分别为B.D.若增加一个条件.就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α.β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是〔A．1个B．2个C．3个D．4个12．在△ABC中.∠BAC=90°.PA⊥平面ABC.AB=AC.D是BC的中点.则图中直角三角形的个数是〔A．5B．8C．10D．613．经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是〔A．1B．2C．无数D．以上答案都不正确14．如图.平面α⊥平面β.A∈α.B∈β.AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线.垂足为A′、B′A．2：1B．3：1C．3：2D．4：315．已知点E.F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB.AA1的中点.点M.N分别是线段D1E与C1F上的点.则与平面ABCD垂直的直线MN有〔A．0条B．1条C．2条D．无数条16．三棱锥P-ABC的高为PH.若P到△ABC的三边的距离相等.若H在△ABC内.则H为△ABC的〔A．内心B．外心C．垂心D．垂心或内心17．如图所示.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中.∠BAC=90°.BC1⊥AC.则C1在面ABC上的射影H必在〔A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部18．如图是一个几何体的平面展开图.其中ABCD为正方形.E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中.给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD．

其中正确结论的个数是〔A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题19．如图所示.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.且底面各边都相等.M是PC上的一动点.当点M满足时.平面MBD⊥平面PCD．〔只要填写一个你认为是正确的条件即可20．已知平面α.β和直线.给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．

〔i当满足条件时.有m∥β；

〔ii当满足条件时.有m⊥β．〔填所选条件的序号21．已知AB是平面α的垂线.AC是平面α的斜线.CD∈平面α.CD⊥AC.则面面垂直的有．22．设△ABC的三个顶点在平面α的同侧.AA1⊥平面α于点A1.BB1⊥平面α于点B1.CC1⊥平面α于点C1.G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心.若AA1=7.BB1=3.CC1=5.则GG1=．23．设α.β为两个不重合的平面.m.n为两条不重合的直线.给出下列四个命题：①若m⊥n.m⊥α.n⊄α则n∥α；②若α⊥β.α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则n⊥β；③若m⊥n.m∥α.n∥β.则α⊥β；④若n⊂α.m⊂β.α与β相交且不垂直.则n与m不垂直．

其中所有真命题的序号是．24．如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在侧面BCC1B1及其边界上运动.并且总是保持AP与BD1垂直.则动点P的轨迹为．25．如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.E、F分别是棱BC、DD1上的点.如果B1E⊥平面ABF.则CE与DF的和的值等于．26．如图所示.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形.侧棱PA=a.PB=PD=2a.则它的5个面中.互相垂直的面有对．第24题第25题第26题三．解答题27．如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点.求证：

〔Ⅰ直线BC1∥平面EFPQ；

〔Ⅱ直线AC1⊥平面PQMN．28．在如图所示的多面体中.四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形

〔Ⅰ若AC⊥BC.证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

〔Ⅱ设D、E分别是线段BC、CC1的中点.在线段AB上是否存在一点M.使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．29．如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.侧棱垂直于底面.AB⊥BC.AA1=AC=2.BC=1.E.F分别是A1C1.BC的中点．

〔Ⅰ求证：平面ABE⊥B1BCC1；

〔Ⅱ求证：C1F∥平面ABE；

〔Ⅲ求三棱锥E-ABC的体积．30．如图1.在直角梯形ABCD中.∠ADC=90°.CD∥AB.AB=4.AD=CD=2.M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起.使平面ADC⊥平面ABC.得到几何体D-ABC.如图2所示．求证：BC⊥平面ACD；[参考答案]1-5BCABD6-10CCDDA11-15BBDAB16-18AAB19.DM⊥PC〔或BM⊥PC等20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD22.523.①②24.线段CB125.126.527.证明：〔Ⅰ在正方体ABCD-A1B1C1D1中.连接AD1.∵AD1∥BC1.且F、P分别是AD、DD1的中点.∴FP∥AD1.∴BC1∥FP.又FP⊂平面EFPQ.且BC1⊄平面EFPQ.∴直线BC1∥平面EFPQ；〔Ⅱ如图.连接AC、BD.则AC⊥BD.∵CC1⊥平面ABCD.BD⊂平面ABCD.∴CC1⊥BD；又AC∩CC1=C.∴BD⊥平面ACC1.又AC1⊂平面ACC1.∴BD⊥AC1；又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点.∴MN∥BD.∴MN⊥AC1；同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N.∴直线AC1⊥平面PQMN．28.〔Ⅰ证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.∴AA1⊥AB.AA1⊥AC.∵AB∩AC=A.∴AA1⊥平面ABC.∵BC⊂平面ABC.∴AA1⊥BC.∵AC⊥BC.AA1∩AC=A.∴直线BC⊥平面ACC1A1；〔Ⅱ解：取AB的中点M.连接A1M.MC.A1C.AC1.设O为A1C.AC1的交点.则O为AC1的中点．连接MD.OE.则MD∥AC.MD=12AC.OE∥AC.OE=12AC.∴MD∥OE.MD=OE.连接OM.则四边形MDEO为平行四边形.∴DE∥MO.∵DE⊄平面A1MC.MO⊂平面A1MC.∴DE∥平面A1MC.∴线段AB上存在一点M〔线段AB的中点.使直线DE∥平面A29.〔Ⅰ证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中.侧棱垂直于底面.∴BB1⊥AB.∵AB⊥BC.BB1∩BC=B.∴AB⊥B1BCC1.∵AB⊂平面ABE.∴平面ABE⊥B1BCC1；〔Ⅱ证明：取AB中点G.连接EG.FG.则∵F是BC的中点.∴FG∥AC.FG=12AC.∵E是A1C1的中点.∴FG∥EC1.FG=EC1.∴四边形FGEC1为平行四边形.∴C1F∥EG.∵C1F⊄平面ABE.EG⊂平面ABE.∴C1F∥平面ABE；〔Ⅲ解：∵AA1=AC=2.BC=1.AB⊥BC.∴A