余角和补角 省赛获奖

4.3.3余角和补角1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用.2.正确地根据方位角确定方向.1.互余和互补的概念：余角：如果两个角的和等于___________，就说这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的_____.补角：如果两个角的和等于____________，就说这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的_____.90°(直角)余角180°(平角)补角2.余角和补角的性质：如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2与∠4有什么关系？因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，所以∠1+∠2=______，∠3+∠4=______，所以∠2=__________，∠4=__________，又因为∠1=∠3，所以____=____.180°180°180°-∠1180°-∠3∠2∠4【归纳】补角的性质：同角(等角)的补角_____.余角的性质：同角(等角)的余角_____.相等相等3.方位角：方位角是以_____、_____方向为基准，描述物体运动方向的角.正北正南(打“√”或“×”)(1)互余的两角一定相等.()(2)两个小于90°的角一定互余.()(3)若∠1＜90°，则∠1的补角大于90°()(4)相等且互补的两个角分别等于90°.()(5)东南方向在东和南之间的任意一条射线上.()××√√×知识点1余角和补角【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC=∠DOE=90°,(1)图中互余的角有哪些？(2)相等的角有哪些(小于90°的角)？【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于90°的角→答案(2)利用余角的性质找相等的角【总结提升】正确理解互余、互补1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补.2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90°.知识点2方位角【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.【解题探究】1.C在A的北偏东30°是绕点A以什么方向为基准，沿什么方向旋转30°.提示：以正北方向为基准，沿顺时针方向旋转30°.2.C在B南偏东45°是绕点B以什么方向为基准，沿什么方向旋转45°.提示：以正南方向为基准，沿逆时针方向旋转45°.3.点C与以上两个方向线有什么关系？提示：以上两个方向线的交点就是点C.如图：【总结提升】应用方位角注意的几点1.画方位角时，一般以正北或正南方向作角的始边.2.一定要分清东、南、西、北.3.书写方位角时，先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东”不要写成“东偏北”.4.“东北”方向指正北与正东方向的角平分线，“西北”“东南”“西南”依此类推.题组一：余角和补角1.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是()【解析】选D.因为互补的两角之和是180°，所以70°角的补角应大于90°，故选D.2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是()【解析】选D.选项A中的两角和的度数不能确定，选项B中∠1和∠2互补，选项C中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.3.(2011·广州中考)已知∠α=26°,则∠α的补角是____度.【解析】因为∠α=26°,所以∠α的补角是180°-26°=154°.答案：154【变式备选】一个角是35°39′，则它的余角为_______，补角为_______.【解析】90°-35°39′=54°21′，180°-35°39′=144°21′.答案:54°21′

144°21′4.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是________.【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°.答案:80°5.如图，O是直线AB上的点，OC是∠AOB的平分线，OD是一条射线，∠AOD的补角是

，余角是_______.【解析】因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=90°，则∠AOD的补角是∠BOD，余角是∠COD.答案:∠BOD∠COD6.∠A的余角和它的补角之比是1∶3，求∠A的度数.【解析】设∠A的度数为x°，则180-x=3(90-x)，解得x=45.所以∠A的度数是45°.题组二：方位角1.在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是()A.100°B.70°C.180°D.140°【解析】选A.如图,∠AOB=180°-20°-60°=100°.2.从A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是()A.南偏东69°B.南偏西69°C.南偏东21°D.南偏西21°【解析】选D.如图,可知A点在B点的南偏西21°.3.如图，点A,B在点O的方向分别是________.【解析】由图可知点A在点O的北偏东30°，点B在点O的南偏东15°.答案:北偏东30°，南偏东15°4.画出射线OA，使射线OA在北偏西45°的方向上.【解析】如图所示.5.如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3cm到C.(1)画出蚂蚁的爬行路线.(2)求出∠OBC的度数.【解析】(1)先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5cm，同理以B点为顶点，画出BC=3cm，则OB，BC是蚂蚁所爬行的路线.如图所示：(2)由题意知，点O在点B的西南方向，所以∠DBO=45°，因为∠CBE=60°，所以∠CBD=30°，所以∠OBC=∠CBD+∠DBO=30°+45°=75°.【想一想错在哪？】如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1