广州市番禺区广东第二师范学院番禺附中高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精二师附中2019—2020学年第一学期高二级期末测试数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.椭圆的离心率为()A. B. C。 D。【答案】B【解析】分析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率。【详解】根据椭圆标准方程，得，故,所以椭圆的离心率为.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出,根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题。2.在等差数列中，若，则（）A.2 B.4C。6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质得到，得到答案。【详解】据已知得：，所以,故选B【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．3。已知，，则是的（）A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C。充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将命题转化为集合和，再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得。【详解】设命题:对应的集合为,命题：对应的集合为,因为AB,所以命题是命题的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系，属基础题.4。已知向量，，且与互相垂直,则的值是(）A.-1 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直数量积为0的性质求解．【详解】∵向量(1，1，0）,（﹣1，0，2），∴k（k,k，0）+(﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2)，2（2,2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵k和2互相垂直，∴（k）•(2）＝解得k．故选D．【点睛】本题考查向量垂直时实数的值的求法,解题时要认真审题，是基础题．5。已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，得到关于的方程，结合，解方程求出，最后确定双曲线的渐近线方程,选出正确答案.【详解】根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为:,由题意可知：而，所以，因此双曲线方程为：,故本题选D。【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了数学运算能力。6.若等差数列的首项为1，公差为1，等比数列的首项为-1，公比为-2，则数列的前8项和为（）A.—49 B.—219 C。121 D。291【答案】C【解析】【分析】先记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为,根据等差数列与等比数列的求和公式，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列的首项为1，公差为1，等比数列的首项为-1,公比为-2，记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则数列的前8项和为。故选C【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记分组求和的方法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型。7.如图所示,在长方体中，为与的交点．若，,，则下列向量中与相等的向量是(）A. B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】连接，交于点,，代入整理即可【详解】由题，连接，交于点，则故选A【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量，属于基础题8.如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为(）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】作出异面直线所成的角,解直角三角形求得异面直线所成角的大小.【详解】设是与的交点，根据正方体的性质可知平面，则，所以是异面直线与所成的角.设正方体的边长为，则，，所以在中,所以.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法,属于基础题.9。若等差数列的前n项和有最大值,且，那么取正值时项数n的最大值为（)A。15 B。17 C。19 D.21【答案】C【解析】【分析】由题意知，有最大值，得，利用，可得,且，再利用求和公式与数列的单调性即可判断出结论．【详解】解：由题意值，有最大值，所以，因为，可得，且，所以，则，又,所以，，又，所以为最小正值．故选C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10.已知命题“"，命题“”.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（)A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可知“”是真命题，则分别需要使两个命题为真,解出对应的，再求交集即可【详解】对于命题,在为增函数，则对于命题,即，解得，答案选C.11.在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点,且△为正三角形，则双曲线的离心率为A. B。 C。 D。【答案】A【解析】由题意易知：，代入双曲线方程得：∴,∴,即，又∴故选A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式,再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.如图,正方体的棱长为，动点、在棱上，动点,分别在棱,上，若,，,（，,大于零），则四面体的体积（）．A。与，，都有关 B。与有关，与，无关C。与有关，与，无关 D。与有关，与，无关【答案】D【解析】如图：在棱上,在棱上，,所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值,四面体的体积与点到平面的距离有关,即与的大小有关,故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)．13.命题：，,则为______.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，注意到要否定结论，故为：,.故答案为:，.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定,属于基础题。14.抛物线的焦点坐标是___________．【答案】【解析】【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标。【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.15.设点的坐标为，点在抛物线上移动，到直线的距离为，则的最小值为__________.【答案】4【解析】【分析】根据抛物线的定义可知，当三点共线时，取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知，，所以当三点共线时，取得最小值，最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________．【答案】5【解析】解：设第n个数为，则有．由递推公式可得,当报到第4k（）个数的时候，恰好是3的倍数，当k取4，9，14,19,24时，甲同学拍手一次,共5次．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，（1)求双曲线的方程；（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距,求该抛物线方程。【答案】（1）（2)或【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得的值及焦点的位置，结合离心率的值可得的值，最后得,进而可得双曲线的方程；（2)由椭圆的焦距可得的值,进而可得抛物线的方程.【详解】解：（1）由椭圆:得，焦点在轴上，,∴，所以双曲线方程为。（2）∵椭圆：的焦距为，∴，抛物线方程为,【点睛】本题主要考查了由求双曲线的方程以及抛物线方程的求法，属于基础题。18。已知等差数列满足：，与的等差中项为13.的前项和为.（1)求以及；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），(2)【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程组,解方程组求得，由此求得和.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）设等差数列的公比为，由得,∴,。（2）由题意可得，∴.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的知识，考查裂项求和法，属于中档题.19。已知数列的前项和为,点在直线上，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】⑴由点在直线上代入得到的关系，然后求出通项公式⑵由(1）得,运用错位相减法求出前项和【详解】(1）点在直线上，，.当时，则，当时,，两式相减，得，所以。所以是以首项为,公比为等比数列，所以.（2），，两式相减得:，所以。【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用,错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤．20.如图，直三棱柱中，,分别是，的中点，。（1）证明：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线，结合线面平行的判定定理，证得平面。（2）建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值,进而求得其余弦值.【详解】(1)连结，交于点,连结,则为的中点，因为为的中点,所以，又因为平面，平面，所以平面;（2)由可设:，则，所以，又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，则、、、，,，，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法计算线面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题。21。如图，在直角梯形中，，点是中点，且，现将三角形沿折起，使点到达点的位置,且与平面所成的角为.（1）求证：平面平面;（2)求二面角的余弦值。【答案】（1）见解析；（2)。【解析】【分析】（1）可证平面，从而可证平面平面。（2)以为坐标原点，过点与平行的直线为轴,所在的直线轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】(1）证明:在平面中，为沿折起得到，平面，又平面平面平面（2)解:在平面中,由（1）知平面平面而平面故。由与平面所成的角为，得,为等腰直角三角形，，，又,得,，故为等边三角形，取的中点，连结，平面,以为坐标原点,过点与平行的直线为轴，所在的直线轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，则从而，设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则由得,令得，由得，令得,所以，设二面角的大小为，则为钝角且，即二面角的余弦值为【点睛】面面垂直的证明可以通过线面垂直得到,也可以通过证明二面角是直二面角.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22.已知椭圆的两焦点为，，且过点，直线交曲线于，两点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程;（2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若直线过点，求面积最大值，以及取最大值时直线的方程．【答案】(1)（2)见解析（3）最大值.【解析】【分析】（1）根据焦点求得，结合点坐标列方程组，解方程组求得，进而求得椭圆的标准方程.（2)设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理,由此计算出为定值.（3）设出直线的方程,联立直线的