高二文科数学秋季讲义第8讲.直线与椭圆的位置关系

I第8讲直线与椭圆的

位置关系

满分晋级

解析几何11级

双曲线与抛物线的基

考点1.直线与椭圆的交点问题

暑假知识回顾

直线/：Ax+By+C=O(A、3不同时为0)与椭圆C：/(x,y)=0的位置关系：

直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可归纳为:

设直线/：Ax+By+C=0,椭圆C：f(x,y)=0,由!Ax+')'+C=°

[f(x,y)=0

消去y(或消去x)得：ax2+bx+c=0.

此时一定有“NO,△=〃一4ac,AAOO相交；AcOo相离；A=

练习1若直线丫="-2和椭圆x2+9>2=9有两个公共点，则后的取值范围为

【解析】k<—2数k>B

33

'消去y整理得（9公+1*-36代+27=0,

x+9y-=9

则A=（-364）2_4x27（9公+1）=108（3公-1）,

当△>（）,即/〈一班或苴时，直线与椭圆有两个公共点

33

经典精讲

【例1】⑴**若直线y="+l（hR）与椭圆二+其=1恒有公共点，求实数机的取值范围.

5m

⑵*★已知以6（-2,0），6（2,0）为焦点的椭圆与直线x+6y+4=0有且仅有一个交点，则

椭圆的长轴长为（）

A.3夜B.2>/6C.2x/7D.4夜

⑶*★已知一条直线/与椭圆三+亡=1相切于点31,求切线/的方程.

43I2）

【解析】⑴解法一：

y=kx+\

由V2可得(5二+切*+10自+5-5机=0,・・・A=20m(6+542—1)20

----F—=1

,5m

即相攵？2，机且机

2-5+1，V-5A:+1^1，21w5

解法二：直线恒过一定点（0,1）

当“<5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长Z?二,要使直线与椭圆恒有交点则4m21即

1Wm<5

当机>5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长〃=，而可保证直线与椭圆恒有交点即m>5

综述：21且6w5

解法三：直线恒过一定点（0,1）

A2I2

要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部匕+L41即

5m

/.机21且

⑵C

22

设椭圆方程为三+亲■=1（4>/?>0）.

由,b~x~+ci~二y~—ci~b~=0,得年+3阳/+8回r~卜,+16从、一/加=。，

x+V3y+4=0,

直线与椭圆有且仅有一个交点

/.△=192Z/*-4（/+3H）（16廿-a2b2）=0

可得/=7,：.2a=2币.

⑶设过点011,|卜勺直线/的方程为y—g=-1）,

r22

将其与椭圆的标准方程上+2v1=1联立，

43

消去参数y可得方程（3+4攵2）^+（12左一8攵2）工+4/一12左一3二0,因为该直线与椭圆相切，

所以其判别式A=（12一一弘2）2-4（3+4〉）（4人2一12:-3）=0=>>=-▲,

2

2

Q11

，该直线方程为,_二=_/(工_1),即y=-—x+2.

【点评⑶】我们知道当点尸(工0,%)在圆f+V=/时，过该点p(%,%)的切线方程为

22

同样可得，当点尸(%，％)在椭圆二+马=1时，过该点p(x°,%)的切线方程为

a~h~

更+纨=1

a2b2~

尖子班学案1

【拓2】直线y=2k与曲线9^/+丁=18公|x|(AeR,且女关0)的公共点的个数为()

1.1B.2C.3D.4

【解析】D

将y=2k代入"+/=18/|x|得9G+4k2=lSk2\x\,即9|x『-18|x|+4=0,显然该

关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个.

目标班学案1

【拓3】若椭圆和连结他1),5(2,3)两点的线段恒有公共点，则实数〃的取

值范围为()

A.M，+1B」也+/C.型，叵]D」也亘一

L6JL2JL22J[62]

【解析】C

线段45与椭圆有公共点，其等价条件是点A在椭圆内或边界上，点5在椭圆外或边界上,

I2+—^C!2＞/T

由此得42解之得独故选C.

0，3?＞222

2"+—

2

【错因分析】误区：过点A(l,1),8(2,3)的直线方程为y=2x-l.椭圆Y+匕=42m＞。)与线段.

y=2x-l,

恒有公共点，方程组■,y2恒有解，消去y得6f-4*+1-2/=0.(*),方程(*)有实

x+—=a

2

数根，AN0,由此得逅，因此选A.

6

【例2】篇已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点尸(2,0)为其右焦点.

(1)求椭圆C的方程；

⑵是否存在平行于。4的直线/,使得直线/与椭圆C有公共点，且直线。4与/的距离等于

4?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】⑴依题意，可设椭圆C的方程为三+1=1("＞人＞0),且可知左焦点为广(—2,0),

ab

c=2

从而有

2a=|AF|+|AF'|=3+5=8'

22

又/=〃+/所以廿=12,故椭圆。的方程为工+X=i.

1612

3

⑵假设存在符合题意的直线/,其方程为y=+

3

y=—x+t

2

由,,,得31+3a+产-12=0.

---1---=1

1612

因为直线/与椭圆有公共点，所以有△=（3/）2-4x3（r72）^0,

解得T后

另一方面，由直线04与/的距离4可得：萼==4,从而1=±2了，

由于±2而仁[-4K,46],所以符合题意的直线/不存在.

【备选】己知椭圆上+《=1,/「4是过点（0,〃，），且相互垂直的两条直线，问实数S在什么范围

169

时，直线4都与椭圆有公共点.

v+/??

【解析】设（：y=kx+m,则。：y=一~+《与椭圆有公共点＜=＞—+^^=j有实根

12k169

2八

o（16府）2—（9+16&2）（16，/-144）,0,即火?2气二.同理与椭圆有公共点

、病一9

少--------,于是‘——-^1,即何阵5.由于网＞5时,=1,而二与B

16161616

必有一个不超过1,这时4,4不可能都与椭圆有公共点.综上所述，制45.时，过点（0,m）

存在两条相互垂直的直线4,4都与椭圆有公共点，又丫=兀+加与y=—x+%与与椭圆都有

公共点.ine[-5,5].

考点2：椭圆中的弦长问题

暑假知识回顾

1.两根差公式：

如果王,工2满足一元二次方程：公2+hx+c=O,

cylh2-4acVZ

•—~--------=(A>0).

5-a\a\同

连结椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.

求弦长的一种求法是将直线方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公

式来求；

另外一种求法是如果直线的斜率为3被椭圆截得弦两端点坐标分别为（不，%）,（々，为），则弦

长公式为|A5|=川+A[3-X\=\l\+k2=

21X卜

2.涉及到直线被椭圆截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样

可直接得到两交点的坐标之和，也可用作差方法（“点差法”）找到两交点坐标之和，直接与中点建

立联系.

4

练习2|已知椭圆C:工+y」=l,

------4-

⑴若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A,5两点，求弦口的长？

⑵若直线为y=2x+〃?，问当机为何值时，直线/被椭圆C所截得的弦长为2台0？

22

【解析】⑴设A®,%),B(X2,y2),由椭圆方程得/=4,h=l,C=3,

.•.右焦点尸便，0),.•.直线方程为y=x-6,

代入/+42=4中整理得：5X2-8>/3X+8=0,

.*.△=64x3-20x8=32,

二|A8|=’1+.2当=@叵=§

\a\55

y=2%+〃?，

⑵由方程组<12消去y得：17x2+16/nr+4/n2—4=0,

----Fy-=1,

14-

A=(16机产-4x17x(4/7?-4)=16(17一〃/).

当A>0,即-&7<根<，万时，方程组有两个解，直线与椭圆相交;

；.|A8|=J1+A在一岳447-〃广一型解之得加=±2百.

1'|a|1717

即当机=±26时，直线/被椭圆C所截得的弦长为型.

17

所以直线/的倾斜角为工或变.

44

经典精讲

【例3】在已知椭圆C:二+9=1,。为坐标原点.A为椭圆的右顶点，点尸(异于点A)为椭圆C

4

上一个动点，过O作线段AP的垂线/交椭圆C于点瓦。，求陷的取值范围.

\AP\

【解析】显然直线M的斜率存在，可设直线转：y=R(x-2),

①当4w0时，直线。E:y=--x.

k

联立直线AP与椭圆方程化简得：(4储+1—16/工+16公一4=0,

4-16公）2-4（16/-4）（4公+1）451+/

/.\AP\=-Jl+k2-①

4F+14k2+\

联立直线。E与椭圆方程，有X2-4=0,

•.ME?2串…②

于是由①、②得瑞"关空'设'=E’”2,

2

nl\DE\4r-15,15

则~[=-------=4z——e+00

\AP\tt2,

M=1

②当k=0时,\AP\=4,\DE\=2,：.

|AP|2

陷的取值范围是1I,+00

综上,

网[2

【备选】（2013北京朝阳二模）

v-22

已知椭圆C*+方v=1（a>b>0）的右焦点为*1,0）,短轴的端点分别为％与，且

FB、-FB2=-a.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点F且斜率为人（人工0）的直线/交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴

相交于点。.设弦的中点为P,试求£口的取值范围.

|MN|

,_（一1,0）•（-1,-b}=-aa=2

【解析】⑴八八）解得《

/=从+1h=xfi

22

・,・椭圆的标准方程为三+二=1.

43

⑵设yj,N（%，丫2），'比;%）,直线/:%=冲+1其中加=工，

k

则直线/的垂直平分线的方程为：x=—_L/y—2t±&]+S±a,

m\'2）2

则啥那詈,。

X=畋+1

由,丁）2消去x得Rm?+4）V+6nzy—9=0,

彳十丁一

…=，心+必）+2=高，

J（6〃z『+36（3川+4）[2（〃+]）

|MN|=J1+*

37??+43〃72+4

尸（高，肃〉3Vrn2+1

3帆*+4

.二飞府+1二]

4"+l）4A/"+I

1\DP\1

♦・・加=上工0,A0<J~^<一，

k\MN\4

即口驾的取值范围为（0,

|MN|14）

尖子班学案2

【拓2】已知椭圆；•+27=1（4>}>0）与直线x+y=l交于A、3两点，|4例=生色，AB的中点M

a2厅3

与椭圆中心连线的斜率为L,求椭圆的方程.

2

【解析】设A（X[,y）,8（马，必），M（x（）,%）,

Ef=[

由,消去y整理得32+/及2-242》+/-//=。，①

%+y=1

所以…田

的，玉+xa2b2

所以寸〒2=5'%=lf:市.

因为km=g，%=&=<，所以与=[即4=2匹

2%“a2

代入①化简整理，得3/_4犬+2-0=0.

AA=（-4）2-4x3x（2-2/?2）=24b2-8>0.②

.•.|倜=而，4=而也且三=逑

|a|33

解得。2=1,代入②检验满足条件，所以/=2.

故所求椭圆的方程为工+y2=i.

2

提高班学案1

0■>

【铺1】已知椭圆]+匕=1的左右焦点分别为耳，工，若过点尸（0,-2）及6的直线交椭圆于A,B

两点，求AAB居的面积.

【解析】解法一：设4（%,%）,8（々，%）,则由题可知：直线3方程为2x+y+2=0,

y=-2x-2

由Ly2可得9y2+4）-4=0,

—+—=1

21

M一%|=J（X+%）2-4x%=,

S/、=；|KE||x•

解法二：F,到直线AB的距离力=迪

-5

y=-2x-2

2

由y2可得9d+16x+6=0,又|AB|=y/l+k,-x2|=

I21

•T=g|阴〃=乎.

【例4】由已知椭圆方程为三+工=1,射线y=2x（x这0）与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的

28

两条直线，分别与椭圆交于力、5两点(异于M).

(1)求证：直线他的斜率心"=2；

⑵求面积的最大值.

【解析】⑴；斜率%存在，不妨设&>0,求出2).

直线M4方程为y+2=k(x+l),直线用8方程y+2=--x+1)

k2-4k-4k2+4k-4

分别与椭圆方程联立，可解出/=-/+4'%=-P74

以一力_/4+4+2)_,..

--乙，•,~8一乙

22

(2)设直线AB方程为y=2x+m,与工+二=1联立,

28

消去y得8x2+4tn)c+(m2-8)=0.

由A=16/w2-32(m2-8)=16(16—加2)>0得"4<m<4,且mWO,

点M到AB的距离为"=g

\ABT=E喜二小亚五二好时前

问82

设NViAB的面积为S.

S2=-|/Afi|2J2=—w2(16-m2)^—-f—)=4.

41616I2J

当ni=±2>/2时，得Smax=2.

尖子班学案3

【拓2】如图，直线y=Ax+6与椭圆1+丫2=1交于A、8两点,记△AO8的面积为S.

⑴求在2=0,0<2<1的条件下，S的最大值；

⑵当|A8|=2,S=1时，求直线AB的方程.

【解析】(1)设点A的坐标为(3，与，点3的坐标为(々，b),

由?+y?=1,解得X]2=±2>/1-b2

所以S=g加入一々|=2by]\-h2^b2+\-h2=\

当且仅当人=、一时，S取到最大值1.

2

y=kx+b

(2)由,得(4二+1)Y+8次+4/一4=0

——+y-=1

14-

A=16(4jt2-/,2+l)①

同二百省二百呵五二2

②

\a\4k+1

又因为。到A3的距离2=」"_=且-=1,所以〃=公+1③

ViTFIA例

③代入②并整理，得4犬一4犬+1=0

1Q

解得，/=上,/=3,代入①式检验，a〉。，故直线4?的方程是

22

8

7276.0RH7276.7276

y=——x-\---Ay=——x-----双y=----XH----双y=-----x----.

22222222

目标班学案2

22

【拓3】如图，椭圆=+斗=1上的点M与椭圆右焦点工的连线M巴与x轴垂直，且OM(O是坐标

ab

原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线45平行.

⑴求椭圆的离心率;

⑵过工且与45垂直的直线交椭圆于尸、。，若

的面积是2()6,求此时椭圆的方程及|尸。|的长.

【解析】⑴易得k=—,k=-

a)OMacABa

⑵设直线尸。的方程为y=--(x-C),即丫=-&(》-。).

b

代入椭圆方程消去x得:

整理得：5y2-27^7-2c2=0,

Sgt?=；•2c“X-=20g,02=25.

因此/=50,%?=25,所以椭圆方程为二+2-=1.

5025

(—2>/2c)"-4x5x(—2c2)_6-^2<、_6y

\pQ\=5

55

考点3：椭圆上存在点关于直线对称的问题

1.点关于点的对称：由中点坐标公式知，点(x,y)关于点(a,力对称的点的坐标为(2a-x,2b-y)

2.已知点4%,%),直线/:y=H+。(女工0),求点A关于/的对称点A'(w，％)，则称点A的连线

,kAA'=T

A4'被直线/垂直平分，即y,+y,x+x,解方程组得马，女・

—_—=k•-+b

22

经典精讲一.

【例5】六试确定机的取值范围，使得椭圆］+《=1上有不同两点关于直线y=4x+〃?对称.

【解析】法一：

设出对称的两点及其所在的直线方程，再利用判别式A>0及中点在对称轴上来求解.

设椭圆C上关于直线/对称的两点为P(%,y),Q(X2,y2),其所

在直线的方程为y=--x+b,代入椭圆的方程中整理得：

4

13X2-8Z?X+16/72-48=0./.A=-192(4/72-13)>0,

*2产x/13V13公

解仔:-----<b<----①

22

又％+W=皿，)1+%=1芭二12"

・2-2---4-2~~~V39

而点(号，汽上)又在y=4x+加上，，机=入产—4•号=一s②

把①代入②得：一名叵<团〈型3.

1313

法二：

C上存在不同的两点关于直线/对称，等价于存在c的弦被/垂直平分，且垂足必在椭圆c的

内部，因此，这类问题可考虑利用交点在曲线c的内部建立不等式.

设椭圆C上关于直线/对称的两点为尸(斗，X),Q(x2,y2),弦PQ的中点为M5,%),

代入椭圆方程得：21二旦=_2乜=①

占一X24%4

由点Af在直线y=4x+，〃上得：y0=4x0+m.②

由①②解得x0=-m,%=-3m.

'：M(-m,-3㈤在椭圆的内部,:.3(-m)2+4(-3根了<12.

短产2x/132万

用隼何•------<m<-----.

1313

提高班学案2

22A

【拓1】椭圆A+当=1(。>力>0)的两个焦点片、F,,点。在椭圆C上，且尸耳，耳月，|明|=3,

aa3

附I号.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若直线/过圆/+>2+4》-2丫=0的圆心M交椭圆于A、8两点，且A、B关于点“对

称，求直线/的方程.

【解析】(1)因为点尸在椭圆C上，所以2a=归用+|尸用=6,a=3.

在RtZkPf；6中，恒用=丽狞j另『=26，故椭圆的半焦距c=石，

从而从=/一<:2=4,

所以椭圆C的方程为土+工=1

94

(2)法一:

设A,8的坐标分别为(%,%),区,y2).由圆的方程为(x+2)2+(y-l)2=5，所以圆心用

的坐标为(-2,1).

从而可设直线/的方程为y=k(x+2)+l,

代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18Z)x+36〃+36k-27=0.

因为A,8关于点M对称.

所以士力=_18K+9A=_2,解得％=目，

24+9公9

10

所以直线/的方程为y=，x+2）+l,即8x-9y+25=0.（经检脸，符合题意）

法二：

已知圆的方程为（x+2）2+（y-l）2=5,所以圆心M的坐标为（一2,1）.

设A,8的坐标分别为（石，y）,（x2,%）.

2222

由题意占WX,且工+义=1①也1+互=1②

9494

由①-②得a一马）（%+%）+（%-）‘2）（x+力）=（）③

94

因为A,B关于点M对称，所以％+w=-4,y+%=2,

代入③得江港=§,即直线/的斜率为日，

x,-x299

Q

所以直线/的方程为y-l=］（x+2）,即8x—9y+25=0.

（经检验，所求直线方程符合题意）.

考点4：直线与椭圆的综合

【例6】再已知椭圆方程为］+>2=1,定点E（-l,0）,直线y=fcc+2与此椭圆交于C、D两点.是

否存在实数3使得以线段8为直径的圆过E点.如果存在，求出火的值；如果不存在，请

说明理由.

【解析】设C（3,yj,D（X2,y2）,若存在实数%,使得以线段8为直径的圆过E点，

则ECJ.ED,即（％+1,y,）•（x2+1,丫2）=。=西/+%+毛+1+M%=。，

=（左2+1）玉W+（2攵+1）（%+;^）+5=0,...①

y=kx+2

由）消去y得（1+3〃卜2+12米+9=0，

丁）'=

A=（12*）2-36（1+3*2）=36（*2-1）>0,即公>1,

-12k9

%+=T，刀看=T②

'-1+3/勺21+3公

7

把②代入①得：枣RL凶经却+5=0,解得％=’.满足题意,

1+3公1+3公6

7

.••存在实数左=-，使得以线段8为直径的圆过E点.

6

【备选】椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上，e=正，过椭圆左焦点尸的直线交椭圆于尸、Q两

2

点，|PQ|=£,且OP，。。，求此椭圆的方程.

22

【解析】设椭圆方程为5+与=1（a>h>0）

优b

A2’2

（1）PQ_Lx轴时,F（-c,0）,\FP\=—,又IfQ|=|FP|且OP_LOQ,...|OE|=|FP|,即c=—

解得6=垦1与题设6=且不符，所以PQ不垂直X轴.

22

⑵PQ:y=A(x+c),P5,%),Q(X2,y2),

e=—,a2--c2,b2=-c2,

233

所以椭圆方程可化为：3x2+12y2-4c2=0,将P。方程代入，

得(3+12k)x2+2442cx+12%2c2-4c2=0,；.占+x,=二^空，xx,=二4

1-3+12炉1-3+12*

222

A=(24丘7-4(3+12公用2丘2_4c)=48c(1+A:)

由间得G.峥组□型①

1193(1+4廿)9

VOPLOQ,・・・入匹二一1即％工2+乂%=0，

%x2

2222

/.(\+k)x]x2+kc(x}+x2)+ck=0②

把入]+工2，$工2代入，解②得公=',把公=(■代入①解得C、2=3

2

：.a2=4,6=1,则所求椭圆方程为工+y2=i.

【例7】tt（2012北京理19）已知曲线C:（5-/M）x2+（m-2）y2=8（/MwR）

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求〃?的取值范围；

⑵设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点3的上方），直线y=fcc+4与曲线C

交于不同的两点“，N,直线y=l与直线交于点G.求证：A,G,N三点共线.

22

【解析】⑴原曲线方程可化简得：一^+一^=1

OO

5-mm-2

88

------->--------

5-mm-2

Q7

由题意可得：—^—>0,解得：-</n<5

5-m2

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得：(2/+l)d+16米+24=0,

3

由△=32(2^_3)>0,解得：k2

一同?4

由韦达定理得：X+X^--®,XX-TTT-,②

MN乙Kr十1MN乙K।1

设NQN,4/+4),M(XM,kxM+4),G(XG,1)

MB方程为:y=kX^6x-2,则G(工一，1],

%3.M+6J

/□\

X

/.AG=———,-1AN=(xN,kxN+2)

151+6)f

欲证A,G,N三点共线，只需证AG,AN共线

即3："(xNk+2)=-xN成立，化简得：(3A+k)xMxN=-6(xw+xN)

"+6

12

将①②代入易知等式成立，则A,G,N三点共线得证.

【例8】H(2010天津理20)

已知椭圆「+/叱力＞。)的离心率e邛，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为今

⑴求椭圆的方程；

⑵设直线/与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点。(0,%)在线

段4?的垂直平分线上，且QAQB=4,求为的值.

【解析】⑴由e=£=,得3a2=4c*,再由c?="一从，得a=2b

a2

由题意可知，一x2。x2Z?=4,即=2

2

a=2b，.

解方程组付a=2,h=\

ab=2

所以椭圆的方程为三+丁=1

4

⑵由(1)可知A(-2,0).设3点的坐标为(4，%),由题意可知直线/的斜率存在，设直线/的

斜率为左，则直线/的方程为y=-x+2),

y=k(x+2)

于是A,3两点的坐标满足方程组，f

—+y'=1

I4-

由方程组消去y并整理，得(1+4公)Y+16〃X+(16A2-4)=0

,c16k2-4p2-8公„彳4k

由办二77记’侍寸TT充'从而尸

1+4公'

弘22k

设线段43是中点为则/的坐标为-

l+422'1+4吃

以下分两种情况：

①当A=0时，点8的坐标为(2,0).线段Afi的垂直平分线为y轴，于是

QA=(-2,—%),Q8=(2,_%)由QA.QB=4,得％