高中数学第十章复数10.2复数的运算10.2.2复数的乘法与除法学案新人教B版必修第四册

10．2.2复数的乘法与除法课程标准掌握复数代数表示式的乘除运算新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________．知识点二复数的乘法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝____________结合律(z1·z2)·z3＝____________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知识点三共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于________对称．(2)实数的共轭复数是________，即z＝z⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·z＝________＝|z|2∈R.知识点四复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1z2＝a+bi知识点五实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在复数范围内一定有两个根．Δ＝b2－4ac.(1)当Δ≥0时有两个实根．①Δ>0时有两个不相等的实根：-b②Δ＝0时有两个相等的实根：－b2a(2)Δ<0时有两个互为共轭的虚数根：-b(3)若x1，x2是其两个根，总有x基础自测1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．12．i是虚数单位，复数7-i3+i3．设z＝3-i1+2i，则|z|＝A．2B．3C．2D．14．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1复数代数形式的乘除运算例1计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(4)8-i(5)1+i3(6)2+状元随笔(1)两个复数代数形式乘法的一般方法①首先按多项式的乘法展开．②再将i2换成－1.③然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.(3)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．方法归纳(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，(－12±32i)3＝1，1i＝－i，1+i1-i＝i，跟踪训练1计算：(1)(－12+32i)(3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．题型2共轭复数及其应用例2(1)已知复数z＝3+i1-3i2，z是z的共轭复数，则A．14B．12C．1D(2)已知复数z的共轭复数是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，试求zz状元随笔设z＝x＋yi(x，y∈R)→由条件得方程组，求x方法归纳(1)已知关于z和z的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．(2)关于共轭复数的常用结论①z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质；②实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数；③若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．跟踪训练2已知复数z满足z·z＋2i·z＝4＋2i，求复数z.题型3虚数单位i的幂的周期性及其应用【思考探究】1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的结果分别是什么？[提示]1，i，－1，－i.2．in(n∈N)有几种不同的结果？[提示]四种：1，i，－1，－i.3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)结果是多少？[提示]0.例3(1)计算：-23+i1+23i＋(2)若复数z＝1+i1-i，求1＋z＋z2＋…＋状元随笔将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．方法归纳(1)要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②1-i1+i＝－i，1+i③1i＝－跟踪训练3(1)若z＝1-i1+i，求1＋z＋z2＋…＋(2)2+2i1-i2＋(题型4复数范围内的一元二次方程(逻辑推理、数学运算)例4(1)若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1(2)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________.状元随笔(1)利用根与系数的关系求解；(2)设方程的实数根，利用复数相等的条件求解．方法归纳解决复数范围内的一元二次方程问题的注意点(1)与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，根与系数的关系和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了．(2)解决复系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件．跟踪训练4已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值．10．2.2复数的乘法与除法新知初探·自主学习[教材要点]知识点一(ac－bd)＋(ad＋bc)i知识点二z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3知识点三(1)实轴(2)它本身(3)|z|2知识点四ac+bdc[基础自测]1．解析：z＝1i＝－答案：A2．解析：7-i3+i＝7-i3答案：2－i3．解析：由z＝3-i1+2i，得|z|＝3-i答案：C4．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a-1=0，a+1=b，解得a=1，b=2，所以答案：1＋2i课堂探究·素养提升例1【解析】(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.(4)8-i2+i＝8-i2(5)1+i31-i2＝-2+2i-2i(6)2+2i＝-20+16i1＝-441+41i82＝－跟踪训练1解析：(1)-12+＝-34-＝-32+＝-3＝－1+3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝-2+3i1+2i＝-2+6+3+4例2【解析】(1)方法一因为z＝3+i1-3i2＝-3i2+i1-3i2＝i1-3i1方法二因为z＝3+i1-3i2，所以|z|＝3+i1-3i2＝3+i(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得(x+yi)即2yi=解得x=3，y=因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是zz＝3-2i3+2i＝3-2i23+2i3-2i＝5-12i13【答案】(1)A(2)见解析跟踪训练2解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴x2+y2∴z＝1＋3i或z＝1－i.例3【解析】(1)原式＝i＝i＋2-2i1010＝i＋i1010＝i＋i4×252i2＝－(2)1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-而z＝1+i1-i＝1+i21所以1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-i20191跟踪训练3解析：(1)∵z＝1-i1+i＝1-∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝1-z20201-z＝1(2)原式＝21+i-2i＋(＝i(1＋i)＋(－i)1010＝i＋i2＋(－1)1010·i1010＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2