孙会元固体物理基础第三章能带论课件. 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动

3.9布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动本节主要内容：二、

均匀磁场中自由电子的量子化理论三、德哈斯-范阿尔芬效应四、回旋共振方法一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1.恒定磁场中的准经典运动准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动所以，在空间中，波矢满足：1).垂直于的方向2).(波矢的变化)垂直于的方向

说明电子沿着等能面运动

因而,在k空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动.说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量

自由电子的等能面是球面,与kz垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆.(1)电子在空间的运动图象在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动以自由电子为例加以讨论：

kz保持不变,在

kx—ky面内做匀速圆周运动,回转的频率

(2)电子在实空间的运动图象电子在r

空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：相应的周期为：设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε+Δε两个等能面间法线距离。

如图：由得：

与比较可知：它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程两边用叉乘，得：所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子得到.二、均匀磁场中自由电子的量子化理论考虑边长为L

的立方体,以它们的边长为x,y,z轴,外磁场平行于z轴且均匀.即：自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：：电子的运动学动量，：电子的场动量，：矢量势1.朗道能级则由姻于侧且中不含x，z,所以它和算符及是对易的。根据量子力学，可选的本征波函数同时为的本征波函数。可令这时纲波函援数可跳以写世成：代入方程得到:与量吵子力手学中貌谐振饺子方椒程比荐较可讽知，决上式贝是一痕个中客心在y0的谐闭振子疾波动穗方程。谐振子能量回旋频率电子的能量由量串子力将学知从准连续的能量变成(n+1/2)c沿磁场B方向,电子保持自由运动,相应的动能为

在与豆磁场景垂直盛的kz＝常数穗的平包面内,轨道否是量幕子化沃的.这些想量子谣化的辩能级借称为朗道禽能级。在垂俯直磁呈场的x-y平面帽上,缸电子廉的运膜动是网量子舞化的电子勤的能单量因此腾，电链子的像能量厘从准象连续清的能谱变成禾一维鼻的磁次饼能带如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：由于奖能量女—波呼矢关眼系的捕改变马,在k空间唐描写乎状态午的代舌表点圆的分泻布也剖改变繁了.在没有外磁场时,状态的代表点在平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：在有外磁场B时，平面上的能量变为：变成了谐振子，其中心位置在,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：这个换数目六代表由于迫线性谷谐振冤子中宗心位怜置的封不同床而产相生的旱简并殃度。可知,当n等于某整数时,在平面内是一个圆环,称为朗道环.两个相邻圆环之间的面积为：是一个正比于外磁场的常量

在此菠面积阿中含忠有的屈原来顷没有露外磁全场时垃的状膊态数薯为：即简并暴度。包含了所有的简并态。加了绿外磁忠场后，这篇些代表僵点都捐聚合某到了崭圆周虽上。无外磁场

有外磁场由于沿磁场方向仍准连续变化,所以在三维k空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数n，最后形成所谓的朗道管。n一定笋，电瓣子的刻能带食是一漏条抛伙物线闷，n=0是最尖低的亏次能咏带，n增加渐，次脑能带耀向上绩移，奔如图血给出倘磁次常能带银的简狼图。如图嫩所示胶，在波矢膊空间形成捐一系能列“圆柱铺面”，每犬一个瞧圆柱施面对贡应一摘个确适定的成量子奸数n，可以匙看成袜是一串个子桃带，胳在每肢一个碗子带处中只有改一维乱自由珍度kz。电子趁的能缎量由准连光续的爽能谱变成妹一维乐的磁次焰能带。n=3n=2n=1n=0B=00自由电子在磁场中的能量不同脆的y0并不们影响域谐振钱子的怀本征哄值，而y0又依吊赖于国波矢燥分量kx，因此握不同斑的状柏态可筝能会巧是简牙并态枕。其简属并度咬是多蔑少呢仙？2.多朗道碎能级抬简并薄度该范敌围内枝的波矢面数为：朗道旷能级乎简并夸度(考裁虑自酬旋)：此简巴并度气与磁循感应保强度B和晶闻体在乞垂直虑于磁溜场方剩向的小截面混积成过正比庸，与佩能级该序号夏无关已，即马无论n为何苍值，筋简并惯度不五变。有外磁场无外磁场

在恒级定磁码场下咳形成拍朗道征能级趋，实初际上词只是正量子烛态的搏一种垂重新突分布制，量米子态闻的总壁数是核不变纽奉的。3.布洛蛇赫电勺子的究轨道枯量子搞化对于镇布洛园赫电瞒子，脖电子败的半斩经典半闭合链轨道挠将按秃玻尔樱量子温化条捷件来红量子蹲化。涌即：可以荒证明燃：布愧洛赫朱电子畏的闭蹦合轨属道在k空间印所围狐面积望也是督以这与自由电子相同,相邻闭合轨道的能量差为:三、仓德眉哈斯籍-范芳阿尔崇芬效按应(d丑e叨Ha我ss器-V迈an秀A后lp欢he耍n性ef幼fe其ct住)德哈粮斯-范阿托尔芬盛效应,是19势30年de雪H遍as沈s和Va隶n评Al泻ph庆en在低对温、猾强磁低场中恨研究铋单祝晶的醒磁化寺率时发嘱现的.他们面发现,低温斗下强乔磁场原中金调属的衫磁化器率随闷磁场划倒数(1带/B)周期笑性振问荡,人们煎把这忠种现形象称啊为德哈荷斯-范阿参尔芬功效应.后来,人们脂进一韵步研女究发楚现,电导级率、批比热等物仔理量声在低般温下寺强磁棉场中每也有灶类似屋的振眨荡现四象,这些锯现象乖同金改属费米堂面附近算电子园在强净磁场枕中的迷行为怖有关,因而它是疏研究斑金属蹄费米凝面的加一种以有力逗工具抓。在磁忧场中,电子余的能瞧级形极成一优系列蜘高度强简并夫的分浪立能影级,类似游于简独谐振芦动的主能量尽量子平化,使得行电子浴气系证统能串量随外磁感躲应强血度发稀生变妄化,从而咸导致融磁化附率随际磁场罩的振罩荡.这就套是产弓生德哈谣斯-华范阿煌尔芬尚效应远的原戚因下面恢我们总以二维畏自由讨电子霉系统为例腹对德哈嚼斯-泰范阿泰尔芬役效应进行寒简单睬说明滚。由于续绝对驾零度叮时，昨电子我系统滚的最自高能衬量为费米睬能量，它俭所包续围的劣面积肆就是数费米宏圆的祖面积巡寿。加上明磁场扫后,费米谜圆内冷的状影态收潜缩到泡朗道史环上,但总状段态数自目不恰变.外磁某场B的变栗化,将引醉起朗刃道能猾级间村距的科变化.因此叛，总能够够通江过改哑变磁妈场的酱大小，使配得费欧米园轧内的口状态恰好永填满叼某一前朗道到能级。磁场神增大,朗道附环上钢的简壶并度急增加,而总智电子票态数测目一武定,所以,随着测磁场醒的增我大,电子括对应疑的填满耕的朗币道能永级的言级次宪变小,即n变小.图3.符32朗道昏能级府填充便状况翻随磁场雅增大的变体化随着赏磁场森连续亿变化衔，相邻上两个微系统较能量慌增量渗为零伞的范捕围对应盏一个骗能量铸周期。如果触以电场子系元统能霉量增从值为使零的批两个垮相邻扩1/B值之裙差，刚表示杨系统赤能量衫变化宵的周亭期.括则：由于灯对二拿维自槽由电未子系制统：为常温数。所以磁，系统径能量砍变化达的周轻期为：由于努系统吨的磁帖化强闻度和枕单位陷体积辉的自由睁能满足扛：亦即和磁削场垂兆直的鄙费米坡圆面惠积随当周期泻的变腹化而坚变化，周章期大蠢，则遣对应鬼费米势面积彻小。所以,系统谢的磁韵化率趣也将夹以1/拒B为变生量振吊荡。所以,磁化域强度析将以1/B为变总量振她荡.由于德系统篇的磁至化率摩为：系统优的磁槽化率顿随1朗/B变化西的周扰期也给将是绘：在低温下，从实验上测出随1/B变化的周期，便可确定,即垂直磁场方向的费米面的极值面积。因而，只要从实验上测定磁化率在不同方向上随1/B的变化周期，便可确定沿不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的形状。对于阁二维虹自由估电子寇系统导,朗道喝能级直简并煤度：小结燥：所以死,磁馋场B增大森,则禽朗道赠能级胆的简胆并度赞变大渐,也坚就是旷每一川朗道遣能级掩上电篇子数债目变踩多.假如楼,当穿磁场B=贺B1时,籍电子寄恰好翻填满樱了n-陪1个朗蛛道能讯级;毒而磁扑场B=畏B2时,悟电子芝恰好容填满缓了n个朗运道能舍级;胶则B2〈B1叔,磁场B越强屑,则N个电粪子所晋需占观据的夏朗道兼能级洲的级里次越怪小.每当挂调节系磁场歉恰好填满部一个悟级次锣,则恼相应禁能量框增量轮为零挎;而当一个犬级次识的能鸡量恰色好和旋费米问能量创相等尸,则时相应烧能量咳增量嗓最大猎.两哑次最抗大或岩最小绝间相胁应的Δ(1/砖B)即为碎所求态的周贪期.对于榴三维合情况苏，我冶们不珠再讨竿论。总之,对于自由电子系统,磁场的引入,导致系统能量增大,能量的增量依赖于这就旨导致刘能量狼增量符随1间/B发生轰周期县性变肉化,范从而紫导致赔磁化挺强度械或磁绞化率趣随1碰/B发生俩周期劫性变碑化.变化的周期决定于费米面在垂直磁场方向的最大截面(称为极值截面,测定磁场沿各种不同晶向时德哈斯-范阿尔芬效应的周期,便可确定沿不同晶向的极值截面面积,从而勾画出金属费米面的形状.变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面的关系为：四、若回洪旋共简振方逐法(cy悲cl蚁ot熟ro乎n答re僵so词na离nc黑e)在恒驴定外袍磁场考作用冷下,寇费米叨面上拆由一沫个电侨子的k矢量圾所描科绘的垦轨道踢,就啦是费驾米面鞠与一醒个垂教直于B的平煌面的罩交线张.对登于一框个闭根合轨闲道,罩具有洒确定序的回旋蚕频率乔：这是共所有粘研究联费米两面方置法的蚊核心呆.回旋劳共振轻实验知,是在施逮加磁咳场的卖同时演,在望垂直滤磁场慕方向喊加上暑频率理为的微藏波场欧,通灿过与巧微波搭场的瓜共振饿来观占察回旋喷频率c.实际挖上的趋程序失是保博持微波称场的频率不变弦,而改竞变磁烟场的臣大小怪,当=c时,铜微波呼场的筐能量饰将迅衔速被酱电子露共振植吸收险，从属一个朗道忘能级益跳到自另一陷个高伏能量梯的朗腐道能宅级上辜.这搞样,块测量帽磁场惊与微波献吸收惯功率索的关赵系曲困线,游就可司得电庙子沿闭合杯轨道南运动莲的回旋频率c.进