高考复习8-10零点定理（精讲）（基础版）（解析版）

8.10零点定理(精讲)(基础版)

把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

注意：零点不是点，是方程的解

概念转化：方程f(x)=0有翔根M函数y=f(x)的图象与x轴有交点

O卤数y=f(x5看零点

如果函数y=f(x)满足：①在区间［a,b］上的图象是连续不断

的一条曲线②则函数在上存在

零f(a)■f(b)<0；y=f(K)(a,b)

内容零点即存在c€(a,b)使得f(c)=0,c就是方程f(x)=0的根

点

存

在

性判断函数这个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点

定变号零点：函数的图像与南相交时的零点即零点左右的函数值异号

理不变号零点：函数图像与南相切时的零点即零点左右的函数值同号

在区间［a,b］上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),不

断把函数f(x)的零点所在的区间f为二，使区间的两个端

零点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

二分法

点

零

定(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.

点

理(2)零占存在性定理

区⑶数葩结合法，画由相应函数图象，观察与南交点来判断,

间

或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断

(1)直接法：令fG)=o,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点.

(2)定理法：利用零点定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.

零占(3)图象法：一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交

题个数点个数得出函数的零点个数.

型根据条件构建关于参数的不等式，

直接法_再通过解不等式确定参数范围,_____

根据零点分离一先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)

求参数

参数法值域问题加以解决

数廨合对解析式变形，在平面直角坐标系画出函数的图象

注(1)若连续不断的困数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有T零点.

意(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

事

项［(3)般丕断的函数图象通过零研二函数值可能变号…强丕堂号

分立呈梃

考点一事点的求解考点三事点个劲

考点二零点区河考点四求参班

例题制析

考点一零点的求解

[例1](2022•广东)函数/(x)=log3(x-1)-2的零点为()

A.10B.9C.(10,0)D.(9,0)

【答案】A

*12

【解析】令〃x)=log3(xT)-2=0,Bpiog3(x-l)=2=log33,所以x—1=3?,因此x=10,所以函数

〃x)=log3(x-l)-2的零点为10,故选：A.

【一隅三反】

1.(2022•广西)若;是函数〃司=2/一方+3的一个零点，则“X)的另一个零点为()

A.1B.2C.(1,0)D.(2,0)

【答案】A

【解析】因为|•是函数"x)=2f—5+3的一个零点，所以/(|)=2x(|j_qx|+3=0,解得a=5.设

另一个零点为%,则x°+]=]，解得与=1,所以/(X)的另一个零点为L故选：A.

2.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛氏｝为等比数列，若4,4为函数=f-33X+32的两个零点，

则6+4=()

A.10B.12C.32D.33

【答案】B

【解析】因为〃I，4为函数/("=幺-33工+32的两个零点，

[a,=32=1

所以4+%=33吗4=32,所以1或”

[a.=32

所以，当《।时，4=2,6+%=4+8=12,

14=1

[<Z=11

当〈6一时，q=K，%+4=8+4=12，

[。]=322

所以，见+4=12.故选：B

3.(2022・贵州)函数/(x)=x+2的零点为()

A.2B.1C.0D.-2

【答案】D

【解析】令人%)=0，即x+2=0,解得x=-2,所以函数/(x)=x+2的零点为_2；故选：D

4.(2022•云南)函数/(x)=f-4x+4的零点是()

A.(0,2)B.(2,0)C.2D.4

【答案】C

【解析】由/(x)=/-4x+4=0得，x—2,所以函数/(X)=/-4x+4的零点是2,故选：C.

考点二零点区间

【例2】(2022高三上.安徽期末)函数/(x)=x+/og2X的零点所在的区间为()

3、

D.,1

4/

【答案】B

[解析】f(x)=x+log2x为(0,+8)上的递增函数,

1,11,1,2c

[3)3+0823=3~0823o<3~0822=~3<0,

唱)4+/*=-;<。，

,2、22511

'[弓1=3+/°'2]=3-%23=5(5-3/%3)=3(四2%一/限27)>°'

/匕卜;+"%]=一1+/*3=](-5+4/暇3)=](-%232+/%81)>0,

(12、

则函数/(x)=x+/og2X的零点所在的区间为大，£。故答案为：B

【一隅三反】

1.(2022高三上.青岛期中)方程2*+3x—4=0的实数根所在的区间为()

A.B.(-1,0)C.D.

【答案】A

【解析】设/(x)=2'+3x-4，贝IJ/(1)=2'+3-4=1>0，

/(1)/(1)<0，所以(；,1)是方程2、+3X一4=0的实数根所在一个区间.又/(x)=2'+3x—4

在R上单调递增，故方程2*+3x-4=O有唯一零点.

故答案为：A.

2.(2022.大连模拟)函数/(x)=2*+x,在下列区间中，包含函数/(x)零点的区间为()

A.(2,3)B.(1,2)C.(—1,0)D.(-3,-2)

【答案】C

【解析】因为函数f(x)单调递增，且因为/(—1)=2^—1=—(<0,/(0)=2°+0=1>0,所以

/(-1)/(0)<0,由零点存在性定理可得：包含函数零点的区间为(一1，0).

故答案为：C

3.(2021高三上•河南期中)下列区间一定包含函数〃x)=sin2x+sinx后的零点的是()

A.B.

【答案】C

【解析】因为/(O)=O，/f-l=sin-+sin---=l+—-->0,

'，⑷24828

©|=sin-1+也一旦<0,

L4J24828

/(»)=—3<0,所以区间19,弓〕一定包含/(X)的零点.故答案为：C.

考点三零点的个数

【例3-1](2022•吕梁模拟)函数〃x)=}—柩的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

11r-3

【解析】由题设，/(幻二二一一二二一且“X)定义域为(。，+8),

3x3x

所以在(0,3)上/(x)v0,在以，+8)上/(x)>0,即/(幻在(0,3)上递减，在(3,+8)上递增,

所以/(X)的极小值为/(3)=1—勿3<0,又因为/(上)=_L+|>0,/-(e2)=—-2>0,

e3e3

则函数/(x)在(0,3)、(3,+8)上各有一个零点，共有2个零点。

故答案为：B

【例3-2】(2022♦延庆模拟)已知函数/(x)=cos2x+casx,且%«0,2可，则/(x)的零点个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】由coslx+cosx-2COS2X+cosx-1=(cosx+]^^2cosx-1)=0,

可得cosx=-l或cosx=g,又因为xe[0,2?i],则x=n,或*=三，或彳=午，

则/(x)的零点个数为3。故答案为:C

【例3-3】(2021.西安模拟)函数/(X)=2'+X3-2在区间(0,1)内的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】尸(x)=2'ln2+3f,在(0,1)范围内/'(x)>0,函数为单调递增函数.又/(0)=-1,

/(1)=1,/(0)/(1)<0,故/(%)在区间(0,1)存在零点，又因为函数为单调函数，故零点只

有一个。故答案为：B

【一隅三反】

1.(2021.云南模拟)函数/(x)=l—3sinx在卜2万,上的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由/(x)=0,得sinx=1,作出函数y=sinx在12巴上的图象如图所示,

所以由图可知直线y=g与图象有3个交点，从而f(x)在12肛半)上布3个零点.

故答案为：B

7T

2.(2022•安徽宣城)函数f(x)=cos万(1-力+地5工*>。)的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】f(x)=cos^(1-A-)+log5x=sin^xj+log5x；

在同一直角坐标系内画出函数8(“=$布6@和力(x)=-log5X(x>0)的图象，

X；j(3)=-log53>-l,/2(7)=-log57<-l,^3)=sin管)=-lM7)=sin(m)=-l；

所以函数g(x)和〃(x)恰有3个交点，即函数“X)有3个零点,

3(2022.重庆.三模)已知函数〃x)=<(5),则函数g(x)=/(x)-；的零点个数为()

|log2x|,x>0

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】当xVO时，由g(x)=0可得=；,解得x=l(舍去)；

当x>0时，由g(x)=0可得|k>g2x|=；，即log2X=-；或log?》.，解得工=也或血.

综上所述，函数g(x)的零点个数为2.

故选：C.

4.(2022•全国•课时练习)函数f(x)=xsin2万x-1在区间(0,3］上的零点个数为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】函数f(x)=xsin2G-1在(0,3］上零点的个数即方程xsin2G-l=0在x«0,3］上解的个数，

方程xsin2万x-l=0化简可得sin2;rx=—,

X

所以方程方程xsin2G-1=0的解的个数为函数y=sin2万x与函数y的图象交点的个数，其中xe(0,3］,

X

在同一坐标系中作出函数y=sin2%x与函数y=，的图象如图所示，

X

山图可知在区间(0,3］上，两函数图象有4个交点，

故函数f*)=xsin2万x—1在区间(0,3］上的零点个数为4,

故选：C.

考点四求参数

T-b,x<0,

【例4-1](2022•昌平模拟)若函数/(x)=有且仅有两个零点，则实数力的一个取值

x>0

为.

【答案】!(答案不唯一)

2

【解析】令〃x)=0,当xNO时，由、石=0得x=0，即x=0为函数f(x)的一个零点，

故当x<0时，2、一方=0有一解，得匹(0。

故答案为：!(答案不唯一)

2

]nxx>0

,''若函数

{-X2-4X-3,x<0

y=[/(x)[+时(力+1有6个零点，则m的取值范围是()

A.卜(2c,司10、|B,卜(2、T10]C.3<10、D.J(2司10一

【答案】D

【解析】设f=/(x),则丁=8(。=/++1,作出函数/(%)的大致图象，如图所示,

则函数>=[/(切2+可>(x)+1有6个零点等价于g⑺=0在[-3,1)上有两个不同的实数根,

'm2-4>0

g（-3）=9-3m+1>0,in

则g（l）=l+m+l>。，解得2<相4号.故答案为：D・

、-3<-y<1,

【一隅三反】

1.（2021・江苏）若方程W-x-〃?=0（m>0,且加Hl）有两个不同实数根，则，”的取值范围是（）

A.（0,1）B.（2,+00）C.（0,1）.（2,+oo）D.（1,+<»）

【答案】D

【解析】由题意可知，方程x-m=0有两个不同实数根，

等价于函数了=帚与丁=》+〃?的图象有两个不同的交点，

当机>1时，如图所示，

由图可知，当机>1时，函数y=〃/与y=x+，w的图象有两个不同的交点，满足题意

当0cm<1时，如图所示

由图可知，当0<“<1时，函数丫=切"与丁=》+帆的图象有且仅有一个交点,

不满足题意，

综上所示，实数W的取值范围为（1，+8）.

故选：D.

2.(2022.全国.高三专题练习)已知f(x)=