高三数学培优版-规划问题-教师版讲义

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学科数学课题名称规划问题

规划问题

唯知识图谱

知识分析@

一、知识梳理

1.二元一次不等式表示平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax+8y+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某

一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线.不等式Ax+Sy+C20所表示的平面区域(半

平面)包括边界线；

(2)对于直线Ax+3y+C=0同一侧的所有点使得Ar+gy+C的值符号相同.因此，如

果直线Ax+3y+C=0一侧的点使Av+5y+C>0,另一侧的点就使Ar+By+C<0。所以判定不

等式Ar+8y+C>0(或Ar+By+C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax+By+C=0的一

侧任意取一点(〜,村)，将它的的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所

在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域;

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(3)由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划

(1)基本概念

名称意义

线性约束条件由X,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对的约束条件

目标函数关于X,y的解析式

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解

可行域所有可行解组成的集合叫做可行域

最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解

线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

①设出所求的未知数；

②列出约束条件(即不等式组)；

③建立目标函数；

④作出可行域；

⑤运用图解法求出最优解.

3、简单线性规划的图解法的拓展和迁移。

二、典型例题

题型1、基础题目

例1、(1)如图、三条直线2x-y=3,x-y+l=0,x+y=3将平面区域划分为六部分(不包括边界),

试写出表示每部分的不等式组

2

2x-y<32x-y>3

III：[2x-y>3；

答案：I：<x-y>\；II：x-y>\；

Ix-y<\

x+y>3x+y>3

2x-y<32x-y<3

x-y<\

IV：x-y<]；VI：«x-y>\；

x+y<3'

x+y>3x+y<3

2x-y<3

(2)、设变量x,y满足约束条件1%一丁W—1,则z=2x+3y的最小值为.

x+y>3

解析：画出可行域，得在直线x+y=3与直线x-y=-l的交点。(1,2)处，目标函数z最大值为8

题型：可行域为封闭区域，目标函数为距离

解析：|2x+3y+4km吆警L也答巴表示点(x,y)到直线2x+3y+4=0的距离，结合图形

，13\/13

得答案为11.

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4

题型2、整点问题

x>0

例2、设不等式组，y>()(〃eN*)所表示的平面区域D"的整点(即横坐标和纵坐标均为整

数的点)个数为您，则高6(/+%+…+?。|。)=。

答案：3018

此题重难点在于读题，具体解答如下：

y<-nx+4n=(4-x)xn，所以X只能取1,2,3

x取1时候，1W蟀3n,即此列个数为3n

同理x取2时候,个数为2n

x取3时候,个数为n

.'.a,,=3n+2n+n=6n

贝U2010(勾+^+......+a3H(i)

=(12+24+36+.....6x2010)=3018

题型3、综合题目

1<x+y<4

例3、已知变量4,y满足约束条件《。若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在

-2<x-y<2

点(3,1)处取得最大值，则。的取值范围为.。

答案：(1,+00)

解析：作出可行域，由z=3+y=y=-3+z其表示为斜率为一a,纵截距为Z的平行直线系,

要使目标函数z=ar+y(其中a>0)仅在点A(3,l)处取得最大值。则直线>=-ax+z过A点且在

直线x+y=4,x=3(不含界线)之间。即—a<—.则。的取值范围为(l,+oo).

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试一试、

x+y>5

1、已知x,y满足以下约束条件，X-y+5W(),使z=x+ay(〃>0)取得最小值的最优解有无数个，则

x<3

“的值为()

A、-3B、3C、-1D、1

解析：如图，作出可行域，作直线/:x+ay=O,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有

无数个，则将/向右上方平移后与直线x+y=5重合，故。=1,选D

x+2y-4<0

例4、当实数％,y满足，x-y-l<o时，14办+y44恒成立，则实数。的取值范围是—

X>1

答案：1>|

方法1：lzz<a<±iz,

XXXX

6

方法2：最优解可能在A（l,0）,B（2,l）,C0-1

x-^+2<0

例5、若％,y满足，x>\求z=三2的值域

x+y

x+y-7<0

1p

关键：z=PXOl-2w

，设上=〃£1,6,则z=--------

工+>1+上X1+W

X

61113

函数Z=----在〃Wr上单调递减’值域为上

1+M714

题型4、易错点、主观认为可行域必为封闭区域而出错

2x-y>0

例6、（2014浦东三模文）若实数X,〉满足，y2X且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值

y>-x-^b

为.

答廿■案4：-9

4

b2b

解析：可行域如图，因此z=2x+y的最小值在y+x=〃与2x—y=0的交点处取得，即点39T

处，所以2x^+殳=3,解得，h=l

334

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题型5、目标函数的其他常见形式

目标函数为不，的形式

x+J>3

例7、设变量满足条件：ix-y>-l,求目标函数z=封的最大值和最小值

2x-y<3

答案：20,2

解析：最大值只可能在边界取得

试一试：实数满足时41,|“+耳41,则S+l)(b+l)的取值范围是()

9-

答案:4-

_

解析：设a+l=x,〃+l=y,则

fk-3

[|.r+y-2|<l

求孙，的取值范围

8

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10

试一试

1、设等差数列｛叫的公差为d，前〃项和为S,,且421,%224,超4168,则%-矛的取值范围是

答案：8,也

16

ax>1

提示：化简题目为,4+231224,求％+84-/的取值范围，设％+&/-1=a,则q=/_8d+a

2a,+1W<28

与红线相切时，。取得最大值

ax+by

目标函数为•的形式

广后的取值范围是()

例10、己知实数x,y满足：x2+(y-2)2=1,®=

答案：[1,2]

方法1:设方丽=(x,y)的夹角6,则cos*>底

''2次+丫?

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\x+43y\

方法2：L2」可以看做点（x，力到直线x+6.V=0的距离

2

方法3：(D=—r=,,齐次化原理

yjx2+y2

r+i

|^cosa+V5sina卜一闽

试一试:函数〃x)=xeR,a微的最大值是（）

\Jx2-2>/2xcosa+2

B、gC、2D、石

答案：B****

|(cosa+>/2sinizjx-Kxcosa-夜)+(xsina)闾

关键：/（x）=,设xcosa-0=Axsina=B

\/x~-2\/2xcosa+2yj^xcosa—y/2j+(xsina)2

表示点（1,&）到直线的Ax+8y=0距离，画图，可知当（1,血）为直线Ar+By=O的法向量时，距离

最大，最大为

例1112018上海卷12】已知实数为、巧、外为满足：才+4=1,后+为=i,国超+升乃二；，则

中+3的最大值为

答案：V2+V3

关键1：Xj+y；=1,君=］表示点A（X1,yJ、5（巧,旷2）；

x}x2+y]y2=OA-OB=|oA||OB|COSZAOB=；,故Z.AOB=y

W+xT旧+y2Tl

分别表示点A（和％）、B（巧,％）到直线x+y-l=O的距离,

当A、B位于直线x+y-l=O的同侧时,

12

较大,表示AB的中点M到直线x+y-l=O的距离，

2（aV2）

M的轨迹为以O为原点，更为半径的圆，当圆上的点、圆心、投影点三点共线，且圆心在圆上的

2

点与投影点之间时，中点M到直线x+y-l=0的距离最大.

（为+应）2+（凶+%）2=3'

\x+yy\<^,代入①，得二

l+X2]+2归/L"蔡Tva+

题型5、可行域为圆、椭圆的规划

例12、已知点尸（％,y）在圆f+[=1上,

（1）求的取值范围

x+2

（2）求y—2x的取值范围

V373

答案：（1）VT;（2）[—6,司

解析：（1）令z=y,贝卜是一条过（一2,0）的直线的斜率

x+2

（2）方法一：数形结合；方法二：三角代换

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_3-sinx

试一试、

2-cosx

例13、当a,人取遍所有实数时，函数/(a,/?)=(a+5—3|cosZ?|)~+(a—2卜足目)~最小值为

选题：+[/(〃)-⑺了表示两个函数/(〃),g(v)的图像上两点的距离

解析：,f(a,6)=(a+5-31cos向+(°-2卜in班-表示点A(a+5,a),B=(3|cosZ?|,2|sinZ>|)

间的距离的平方，而点A(a+5,a)的轨迹为直线x—y-5=0；点5=(3|cosb|,2卜in硝表示椭圆

xy,

k+-=1在第一象限的部分，点3到直线x—y—5=0的距离为

94

|3cosZ?-2sin/?-5|_5-V13cos(Z?+0)

b&

V2-V2呜

71

此函数在o,-上单调递增，在人=0时取得最小值,故答案为2.

试一试：

(2016年虹口二模14)已知对任意的xe(YO,0)U(0,加°),昨卜1,1],不等式

+£一2孙一§/二7—恒成立，则实数a的取值范围为.

XX

答案：(一8,8—4夜]

解析：根据题意一+11—2肛J〉—丘之。恒成立,即求不等式左边的最小值，左边=

XX

(…)+$足)/)_1,而(x_y)2+(：Jl_y2)表示点(x,g)与点卜,^^了)的距离的

平方，结合图像可知，距离的最小值为2&-1,...aW(2五一1『-1=8-4近

14

例14.已知M=-4一丝”冶卡।(a,6eR,aH0),则M的取值范围是

a-acosO+l

题型:表示y=y(x),s=g(r)图像上两点连线的斜率

x-t

选自:青浦二模12题

4->/74+77'

答案:

33

1.八

ci4-----sinU