高考数学复习07选考-参数方程与不等式

重难点07选考系列（参数方程与不等式）

【高考考试趋势】选考系列主要包含参数方程极坐标，以及不等式是高考中二选一的一道

解答题，属于相对比较简单的题目，共10分，是高考大题中分值最小的一道题目.对于参

数方程与极坐标，一般均是简单一点的解析几何.对于不等式部分，主要还是以绝对值不等

式为主.本专题中主要介绍几种高考中常见的选做题类型，以及在后面【点睛】处有此类题

型的解决方法.通过本专题的讲解与练习之后，在高考中，此类题型就能够迎刃而解.拿到

满分.

【知识点分析以及满分技巧】

对于参数方程与极坐标系方程属于简单一点的解析几何.需要搞清楚极坐标系与直角坐

标系之间的等量转化，相对于要学会将极坐标系转化成直角坐标去运算，同理将直角坐标

系转化成极坐标系去运算.

对于绝对值不等式的求解，一般采用三段法，将绝对值不等式分成三段，从而进行分

段讨论运算，应注意计算技巧，计算是本类题目的易错点.

【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）

1.（2021•宁夏固原市•高三期末（理））在直角坐标系X。中，曲线C的参数方程为

卜=2+3cosa

[y=l+3sina为参数），以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直

线1的极坐标方程为Qin。-2pcos°-f=0

（1）求直线/与曲线°的普通方程；

（2）若直线/与曲线0交于8两点，且1ABM上求才.

【答案】（1）曲线。的普通方程为（x-2）-+&-i）-=9,直线/的普通方程为

2x—y+f=O；（2）一8或2.

x=2+3cosa（x-2-3cosa

［分析］（1）由［>=l+3sina得jy-l=3sina,

平方相加利用cos2a+sin2a=1消去参数可得G-2）一+&-切=9,

故曲线0的普通方程为（I）+&-1）一=9,

将》=℃05。/=05亩0代入直线方程得丁一2%一/=°,

故直线/的普通方程为2x—V+/=°；

（2）可知曲线°是以°」）为圆心，3为半径的圆，

|2x2-l+/|_|3+/|

/2（_iy亚

则圆心到直线的距离y2+<J,

明=2\卜一旦D=4

V5,解得，=-8或2.

2.（2021・平罗中学高三期末（文））在平面直角坐标系中，曲线伞的参数方程为

x=3石cos。

*

夕=3+3逐sin'（°为参数）.以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线°?的极坐标方程为夕=6cos。

（1）求曲线G的极坐标方程以及曲线G的直角坐标方程；

（2）若曲线交于",N两点，求直线"N的直角坐标方程及l"N|的长.

【答案】（1）曲线a的极坐标方程：p2_60sin0-36=0；曲线G的直角坐标方程

x2+,-6x=0：⑵线的直角坐标方程x-F-6=0,|MN|=3夜

x=375cos01x=3石cos。

<

［分析］⑴依题意，L=3+3后sin。即［y_3=3jisine,

所以曲线£：厂+&_3)~=45,^x2+/-6y=36

即曲线G的极坐标方程为"16psin8_36=0：

曲线G：O=6cos8即22=6.cos。，g|jx2+/-6x=0

则曲线G的直角坐标方程为+/-6x=0；

x2+y2—6y=36

<

(2)联立p+/-6x=0,

两式相减可得》一夕=6,

即।工线九w的直角坐标方程为“-v-6=o；

又圆G：/+（尸3）2=45的圆心为（0,3）,半径为一后

圆心他3）到直线x—y=6的距离为

V1+12

|W|=24一/=2=372

所以弦长

3.（2021•云南昆明市•昆明一中高三月考（理））在平面直角坐标系X0中，以。为极

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点。的极坐标为（8,°）,动点尸的极坐标为

3。）

（1）若'2'"3,求点p的直角坐标及。。的面积;

⑵在△。蛇中，若/"。=片加。

,求顶点尸的轨迹的极坐标方程.

【答案］（1）P（l，也）,SQOPQ=⑵P=8+16cos〃

24

0e沏a

x=夕cos，=2x；=1

【分析】⑴当夕=2,时,

y=psin=2x=>/3

2

所以，点尸的直角坐标为0，扬，S"°少创词《小凤班

（2）设顶点尸的极坐标为30）,

11A

由题意，//。。二〃一5冏

8

.冏一

sin-sin

在。中，由正弦定理得2

+%

psin—=8sin附

22J

即I,化简得Q=8+16COS6

2兀

,01吟］

由二角形的内角的性质得

21

,010彳

故顶点P的轨迹的极坐标方程为P=8+16COS6,

4.（2021•安徽淮北市•高三一模（理））在直角坐标系x。7中，曲线G的参数方程为

x=>/3COSa

»"sma（=为参数）以原点。为极点，以工轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线

psinje+f）=0

”的极坐标方程为V4/

（1）求曲线G的普通方程与曲线G的直角坐标方程；

（2）设P为曲线G上的动点，求点P到G的距离的最大值，并求此时点尸的坐标.

5=1尸「"

【答案】⑴3':x+y-2=0：（2）2V2.V22J

X

—i==cosa

《+2=1

【分析】（1）对于曲线G有U=sina，所以G的普通方程为3

1

r+=e—^(cos^H-sin6)=V2

对于曲线。2有I4J,2)

0cose+°sin°=2,即G的直角坐标方程为x+y-2=°

xy-2=0

2_1

—y=1

⑵联立13,整理可得4x7—12x+9=0,

A=(-12)-4x4x9=01所以椭圆G与直线。2无公共点,

设、人点尸到直线x+,_2_0的距离为

|A/3COSa+sinar-2|2sin^a+y^-2

"=6=毛

sin(a+£]

当时，”取最大值为2枝,

_2,_1

此时点尸的坐标为I22）.

5.（2021•陕西西安市•高三一模（文））在直角坐标系苫⑦中，以坐标原点为极点，X轴

正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆°的极坐标方程为22+12pcosO+ll=°

（1）求圆心c的直角坐标；

[x=tcosa

（2）若直线/的参数方程是ly='sina（t为参数），/与c交于z,吕两点，

\AB|=710（求/的斜率

V15V15

【答案】⑴（一6,0）；⑵3或3.

【分析】0）将x=pcose,y=psin。，/+/="代入夕'已2c°s=+ll=°得

2222

x+j^+12x4-11=0t!|j（x+6）+y=25

所以圆C的圆心坐标为（-6,0）；

（2）在极坐标系中，直线/的极坐标方程为'=a（aeA）,

设/,8所对应的极径分别为月，02.

将I的极坐标方程代入C的极坐标方程得夕2+120cosa+11=0

「是“+/?2=T2cosa,/7|0=11

IN61=一阂=+/丫一Mo?=J144cos2a-44

23+,715

DI际c°sa=-,tana=±---

由-|/8|=W0得83

V15715

所以/的斜率为3或3.

6.(2021•安徽淮北市•高三一模(理))已知不等式忖+卜7<"+4的解集为(见")

(1)求加，n的值；

⑵若x>0—>0,(〃T)x+J'+〃?=°,求证：》+共9号

【答案】(1)"=-L〃=5；(2)证明见详解.

【分析】(1)解：原不等式可化为：

x<00<x<1x>1

|^-x-(x-l)<x+4戈x-(x-l)<x+4x+(x-l)<x+4

所以一l<x40或Ovxvl或即一l<x<5

所以加=7，〃=5

(2)证明：由⑴知4x+»T=°，即4x+y=l,且x>0,V>°

⑴=仕+口(以+#=5+4竺”+2吃=9

所以孙(xxy\xy

11

x——，y=一

当且仅当6-3时取J”

所以x+yN9孙

7.(2021•安徽宣城市•高三期末(理))已知函数/G)=R"—2]+|X—6]

⑴求不等式/(力1°的解集；

(2)记集合，二①/(")一"”=。｝,若"H。，求实数。的取值范围.

中<二Q

3或%>6｝：⑵［后+8)

【答案】(1)

【分析】⑴依题意|2"一2|+卜一6|>10；

22

x<—x<—

当X<1时，2-2x+6-x>10,则3,故3.

当1W英6时，2x-2+6-x>10,则x>6,无解；

当x>6时，2x-2+x-6>10,则x>6,故x>6；

故不等式/(力1°的解集为卜"<§或*>6｝；

(2)依题意，/3=屈，

—3x4-8,x<1,

/(x)=12x-2|+|x-6|=<x+4,1<x<6,

七3x-8,x>6

而i

则可知/(x)min=5,即/(x)的值域为B+0°),

因为故屈之5,则此亚故实数，的取值范围为［逐'+°°)

8.(2021・西藏高三其他模拟(文))以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立

0=4sin，6+4

极坐标系.已知曲线a：i3人例是G上的动点，点，在射线o”上且满足

2ON=OM,设点N的轨迹为。2.

(1)写出曲线G的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

X=+1COS（P

1

y=—+,sm/

（2）已知直线/的参数方程为l4（/为参数，0«0<乃），曲线02截直线/

&1

所得线段的中点坐标为I44人求9的值.

2厂24

［答案］（］）〃2=p（sine+J3cos。），x2+y2->/3x-y=0_（1）7

【分析】（1）设N（0,6）,因为20N=0M,可得M（2p,e）,

2p=4sine+g

代入满足a的方程，可得

p=2sin|8+工

即(3,两边同乘以夕并展开整理得"=p（sin°+jicose）,

乂由x=pcos6,y=psin。

所以G的直角坐标方程为/+/-后-"=0.

r-Z——cose+—sin。——=0

24

（2）将/的参数方程代入G的直角坐标方程，整理得I2）

什”近coso+'w

可得22

又由直线/的参数方程经过点4'%）,可得4+，2=°

^cos^lsin^OA

即22,即tane=-j3

_2兀

因为0〈夕〈万，所以0=T

9.（2021•云南昆明市•昆明一中高三月考（理））已知函数/（*）=,+1|+卜-4|.

（1）求不等式/（幻<7的解集；

⑵若不等式‘（x）"l°g2（m一4加）的解集为空集，求实数机的取值范围.

【答案】⑴『2,5］；⑵（7,0）U（4,8）

【分析】（1）由不等式/（x）47可得:/（x）=|x+l|+|x-4|<7（

J-l<x<4（x>4

可化为：—1—X+4W7,或L+1—X+4W7,或jx+l+x_4W7,

解得：-24x<_l,或.1WXW4,或4<x<5,

综上不等式的解集为［-2,5］.

⑵因为/（x）=K+l|+|x-4|=|x+l|+|4-x|N|x+l+4-止5,

当且仅当一14XW4时，等号成立.

所以/G）min一5,

由不等式“X）"噫刎一4"）的解集为空集，得1。&（病—.）<5

所以，0〈机2—4〃7<32,解得_4<〃？<0或4<〃？<8,

所以，实数团的取值范围为IQUG，8）

10.（2021・石嘴山市第三中学高三期末（理））己知°,^C（。，田），且2"4，，=2

21

--1--

（1）求a6的最小值；

（2）若存在a,此（°，+°°）,使得不等式""+3”。+］成立，求实数x的取值范围.

【答案】（1）8（2）X4-4或xN6

【分析】（1）因为2"4〃=2,所以22〃=2,所以。+26=1,

因为a>0力>°,

-+-1=（«+26）（-+-）=4+—+->4+2/---=8

所以ababab\ab

1,1

a=—,b=—

当且仅当24时，等号成立.

2-1

1--

所以a方的最小值为8.

⑵若存在“，'e（°，+00）,使得不等式""'7+1成立，

|x-l|+3>f-+->

则bJmin,

2+4=8

由⑴知I"］儿，所以|x-l|+328,即k一125,

所以xW-4或xN6.

11.（2021・上海高三专题练习）已知函数/。）=四一1|，8。）=1一卜|

（1）解不等式/（”）"2；

⑵求尸G）=/G）-g（x）的最小值.

_1J2

【答案】（DL3,

(2)3

【分析】：（1）因为

则|3x-l|«2,即一243X-142

---<X<1XW

解得3，即

l-3x-(l+x),x<0-4x,x<0

F(x)=|3x-l|-(l-|x|)=<1-3x-(1-x),0〈x<§=v-2x,0<x<§

3x-1-(1-x),x>—4x-2,xN§

（2）由题,

代）在异］

所以