高考数学复习06三角函数与解三角形（解析版）-2021年高考数学专练(新高考)

热点06三角函数与解三角形

【命题形式】

新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布

特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。

1、题目分布："一大一小"，或"三小"，或"二小"（"小"指选择题或填空题，"大"指解答题），解答题以简单

题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。

2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应

用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其综合应用；（5）利用正、余弦定

理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。

3、新题型的考察：（2）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答

题题型。

4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的

结合；（4）与几何的结合。

【满分技巧】

1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质

从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、

求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能

正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数，是高考考

查知识的重要载体，是三角函数的基础。

"五点法"画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典

型例题（选择题、填空题、解答题）加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、整理，达到举一反

三、触类旁通。

2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律

以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用

一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化筒、

求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉0

3、回归课本，掌握正余弦定理与三角形中的边角关系及应用

从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选课本中的例、习题进行解答推广并加以应用,

灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等

间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.

4、注意在三角函数和解三角形中渗透思想方法的应用复习

三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角

函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的

零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求

值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转

化为含有未知数的方程问题加以解决。

【常考知识】三角函数概念、公式、图像、性质；正、余弦定理；与函数、导数、平面向量、不等式、几

何等知识结合。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1.（2020年全国新课标I试卷（理科））已知。€（°，无），且3cos2a-8cosa=5,则sina=（）

V521V5

A.3B.3c.3D.9

【答案】A

［详解］3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,

2

coscc—__

即3cos2。一4cos。-4=0,解得3或cosa=2（舍去），

,/ae(0,zr),.,.sina=Jl-cos.a--

又3

故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能

力，属于基础题.

2.（2021届•安徽高三其他模拟（文））己知角口的顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边在直

线上，则2

5x+2y=01+cosa()

33202033

A.~20B.~33C.33D.20

【答案】B

5

【详解】直线5"+2歹=°的斜率为2,角2的顶点在原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边在直线

_5

5<x+,2n产_n0上，所以tana-2

当角。终边在第二象限时,29

cos2a+红

I2sin2a2sinacosa20

1+cos2a1+cos2a1+cos2a33

12月

sincos

当角a终边在第四象限时，2929，此时

cos2ad---

I2J_sin2a20

2=2

l+cosa1+cosa33

故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数诱导公式的应用，属于中档题.

3.（2021届•广西高三其他模拟（理））在口43。中，角A,B,C的对边为。，b,c着。=4,

sin2/4_

b=5,c=6,则sinC（）

123

A.2B.3C.4D.1

【答案】D

sin2^2sin/cosZ2a,452+62-4243.

-----=-----------=——cosA--x----------=-x—=1

【详解】•/sinCsinCc32x5x634,故选：D.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.

sin[^+―|=sin^+sin[^+―|=1

4.（2021届•广西高三其他模拟（文））当I6J（）时，I3J.

12V2

A.2B.3C.3D.2

【答案】B

sin^+sinf^+—=1sin^+—sin^+^-cos^=1—sin^+-^-cos（9=1

【详解】因为I,所以22，即22

a:cos6+—sin，=lV3sinf^+-^=1sinf^+-^=—

所以（22J；I6）,所以I6）3

故选：B

【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，以及辅助角公式，属于基础题.

5.（2021届•福建莆田•高三其他模拟）将函数/（x）=sm（x+°）图象上所有点的横坐标变为原来的

—（（y>1）得函数8㈤的图象.若小"I且函数gG/需L

①（纵坐标不变）,

具有单调性，则①的值为（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【详解】由题意得，g（"）=sm3+9）,最小正周期'。.若巴6

27171_2n-\//、（三军）

,下一不一丁G）.一=2〃-1（〃））....函数8田在16句上具有单调性,

-----------«——二——

262G

2%乃T兀

—---W—=---I"随-)./=3.故选y

3642口，解得；.1W0W3,又。＞1,

【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于常考题型.

6.（2021届•四川遂宁•高三零模（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数

学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、佥I」、营造之学.1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳

四年（1268）二月，在梅州辞世.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他在著作《数书九章》

中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长区8°,求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜

幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜基减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方

<122征+,2_川

[42）,

得积.”若把以上这段文字写成公式，即为VL'」，若口/台。满足csin/

3

cos5=—

=2sinC,5,且则用“三斜求积”公式求得口力3c的面积为（）

345

A.5B.5c.1D.4

【答案】B

［详解］因为c^sin/=2sinC,所以ac?=2c,:.ac=2

故选：B

7.（2021届•安徽高三其他模拟（理））已知函数/（x）=cos2xsin2x,若存在实数M,对任意

Xi./eR都有L）-/（马上〃成立则〃的最小值为（）

3G电送A/3

A.8B.2C.4D.3

【答案】C

【详解】./（x）=2cos3xsinx/'2（x）-4cos6xsin2x

令/=sin。，则设〃（'）=（1—'）',则/2（x）=4〃（，），

//,（z）=（l-z）3-3（l-z）2z=（l-/）2（l-4z）

X.,

若H&w）,贝严（，）>°,故"（。在一°a为增函数；

若'H,则故"（‘）在为减函数；

>z.x_27-2（\_27„_35/3„_3A/^

/7V）max/（“工做二方/（X）max=~T~/（X）min=--

故256,故64,所以8,8,

11

sinx=一sinx=——

44

V15V15

cosx=---cosX=-----

当且仅当4时取最大值，当且仅当4时取最小值,

、3百3百

M>------------

故4即M的最小值4.

故选：C.

【点睛】本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多

项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.

&⑵”•渝中•重庆巴蜀中学高三其他模拟）设函数第MN）则下列说法正确的是

().

A./（X）是奇函数B./（“）是周期函数

C.的图象关于点121对称D.P（小1

【答案】B

、sinnx.....

/(x)=-----("eN)

【详解】解：对于函数.sinx

当〃=1时，函数/（x）=L为常数函数，显然不是奇函数，故/错误;

“c、sin〃(x+2〃)sinnx、

f(x4-2")=—;---------=-=f(x)

由于sin(x+2»)sinx,故该函数为周期函数，故8正确.

.riTt

sin——

、2.n7i

/(x)=---T-=sin—

1.乃2

x=-sin—「

当2时，2,不一定等于零，故C错误；

f(x)=-^=V3>1

71.7t

x——sin—

当〃=2,6时，6,故。不正确,

故选：B.

【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

二、多选题

9.(2021届•广东湛江•高三其他模拟)已知函数，f⑺=2sin『acosx的图象的一条对称轴为

7C

X------

6,则()

号0)C㈤

A.点3是函数，f(x)的一个对称中心B.函数/'(x)在区间2上无最值

(/—)

C.函数f(x)的最大值一定是4D.函数F(x)在区间66上单调递增

【答案】ACD

【详解】由题意，得〃x)=2sinx-acosx=67/sin(x-e),"为辅助角，

因为对称轴为户后,所以"4)=一"去,即Gv一生

,解得a=2G.

/(x)=4sin(x--)/(—)=0

所以3；故’3,所以力正确；

TT7157_.

x—=—+2%兀x=-----卜2k兀

又当32(AGZ),即当6(左wz)时，

函数f(x)取得最大值4,所以6错误，,正确；

7T_,7T7C__7C_.57T_.

——+24兀<x——<—+2kn——+2左兀<x<—+2左兀

232(AGZ)=>66(隹0,所以〃正确;

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：（1）通过辅助角公式将函数化为丁='$1"（①x+0）的形式；（2）通过正弦函数在

对称轴处取得最值解得心

f(x)=sin(a)x+°)°>0,冏苫

10.（2021届•海南高三一模）已知函数的最小正周期为2兀.将该函数的

71

图象向左平移了7个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则（）

三七,01

A.6B.16'J是的图象的对称中心

I。，』Ll,l'

C./G）在L'5」上单调通增D./（X）在他句上的值域为15'-

【答案】BCD

—g（x）=sinx+°'

【详解】解：由7=2兀，可得。=1,函数的图象向左平移6个位长度后，得到I6

的图象,

(p=--/(x)=sinfx-^

g(0)=sin9+.卜0

.••g（x）为奇函数,6,I6人错误.

x」./•信]=sin0=0

;当6时，二・,•夕正确.

xGU,—A---e---,­/•/\U,一

当L2」时，6L63」，..在L2」上单调递增，「正确.

71兀5兀sin]"」」，

当［0，兀］时，A萨［下石

I6jL2

〃正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质.在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公

式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即

/（x）=/sin（（yx+°）+〃形式，然后结合正弦函数的性质求解，把/（x）=Nsin（«yx+e）+〃中的0x+夕

视作y=sinx中的x进行求解.

三、填空题

H.（2020年江苏省高考数学试卷）将函数片3sin（2x+工）的图象向右平移四个单位长度，则平移后的图象

46

中与y轴最近的对称轴的方程是.

51

x-------

【答案】24

y=3sin[2(x--)+-]=3sin(2x-—)

【详解】6412

_7C7C...77Ck兀z,

2x-----——Fk7i(k£Z)x-------1-----(kGZ)

122242

5%5万

x-------x=------

当％二—1时24故答案为：24

【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.

cos2a

tana=-cos2a

12.（2021届•海南高三一模）已知2,则I2

【答案】1

cos2acos2a_cos2a_1

tana=—cos[la-—sin2a2sinacos。2tana

【详解】因为2,所以I2

故答案为：1.

13.（2020年新高考山东试题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆

孔及轮廓圆弧4?所在圆的圆心，4是圆弧与直线4G的切点，8是圆弧48与直线外的切点，四边形

龙朋为矩形，BCLDG,垂足为C,tan/叱5,BH//DGtEF=12cm,DECcm,/到直线如和跖的距离

均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为一____cm2.

--------1-----------------\G

EF

4+—^

【答案】2

［详解］设08=O4=r,由题意ZM=/N=7,EF=12,所以NF=5,

1:X

___1_______________________

cQ：

1

1

1

1

E----------------------------1--------------------

NF

因为NP=5,所以乙4Gp=45,

因为BH//DG,所以乙4〃0=45°,

因为ZG与圆弧相切于4点，所以04_LNG,

即△04〃为等腰直角三角形；

八八八八0Q=5--rDQ=l--r

在直角中，2,2,

tanZODC=^=|21-^r=25--r

因为°。5,所以22

解得r=2血；

S,=—x2>/2x2-72=4

等腰直角的面积为2；

扇形408的面积

cc1,5乃

S]+S?----71=4H------

所以阴影部分的面积为22.

.5万

4+—

故答案为：2

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景,

体现了五育并举的育人方针.

14.（2021届•福建莆田•高三其他模拟）在△/8C中，三边a,b,。所对应的角分别是4B,C,已知a,

sinB=273&=2"|cos-n5|

b,c成等比数列.若sin4sinC3,数列SJ满足""5",前〃项和为S,S[n=

22n+2-4

【答案】3

sin82>/3.sin82>/3.n百

丁---------=-----2?—；-=-----sinB=—

［详解］sinAsinC3,由8=QC得，sin^5=sinJsinCsinB3,2,

B=—.，・%=2"cos—nB=2"cos—

又a,b,c成等比数列知方不是最大边，.I3.22

4（1-22"）72n+2-4

5,=0+22+0+24+---+0+22n=-^-------」-----

•2n1-43

故答案为：3

【点睛】本题由等比数列得出〃=ac,再由正弦定理得出sin2B=sin/IsinC,即可求出角B,利用等比数

列求和公式求解，考查了运算能力，属于中档题.

四、解答题

15.（2020年全国高考新课标H理科试卷）5c中,sin2J-sin2^-sin2<?=sin&inC.

（1）求力；

（2）若叱3,求□4»0周长的最大值.

2万

【答案】（1）3；（2）3+2出

【详解】（1）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB,

,AC2+AB1-BC21,2万

・„二禄加a"）,•"了

（2）由余弦定理得：BC?=AC2+AB2—2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC•AB=9,

[V]（AC+AB^-ACAB=9

ACAB<2

m（当且仅当NC=AB时取等号）,

9=(AC+AB)2-AC-AB>(AC+AB)2=；(/C+/8丫

解得：AC+AB<2y/3（当且仅当4c=48时取等号）,

■^ABC周长£=〃C+/8+8CW3+2ji,••口力80周长的最大值为3+26

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最

大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系

求得最值.

16.（2020年江苏省高考数学试卷）在中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

a-3,c=V2,B=45°

(1)求sinC的值;

4

cosZ.ADC=———

（2）在边根上取一点〃，使得5,求tanND4c的值.

sinC-——tanZ.DAC——

【答案】(1)5.(2)11.

b2=a2+c2-2accos5=9+2-2x3x>/2x-5r-

【详解】(1)由余弦定理得2，所以8=

b.「csinB石

——=smC=-----

由正弦定理得sinCsin8bT

4ZADCE[^,TT2

cosZ.ADC=——sinNADC=yjI-cosZADC=-

(2)由于5,所以5

NZDCe倍，乃]cosC=Vl-sin2C=

由于12),所以I2),所以5

sinZDAC=sin{71-/DAC)=sin(^ZADC+ZC)

所以

3述

=sinZ.ADC-cosC+cosZADC-sinC55\57525

ZDJCeo,ycosADAC=V1-sin2

由于,所以25

sinZ.DAC2

tanZ.DAC-

TT

所以cosADAC

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.

17.（2020年新高考山东试题）在①②csin/=3,③。=扬这三个条件中任选一个，补充在

下面问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在口N8C,它的内角4民C的对边分别为4c,且sin/Q，3sin8,6,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】详见解析

【详解】解法r

巴=拒

由sin/O4sin8可得：b

-r.....a=yJ3m,b=m（m>0}

不妨设'7,

c2=a2+b2-2abeosC=3m2+m2-2xxmx—=m2

则：2，即c=m

选择条件①的解析:

据此可得：ac=Gmx〃=百加之=Ji,加=1,此时c=m=l

选择条件②的解析:

]_

2

立=3

2,则：c=m=2»

选择条件③的解析:

C_M_]

可得bm,c=b.

与条件c=Gb矛盾，则问题中的三角形不存在.

sinA->J?>sinB,C=—,B=TT-（A+C}

解法二：：6

sinA=Visin（Z+C）=Gsinp+-

l6J

sinA=百sin（Z+C）=43sinA^-+CcosA；

4=也B=C=—

sinA=-y/3cosA-tanA--JJ36

>・•,・・,・♦,・・

若选①ac=拒••a—yfih—y[3c>V3c2=V3

叵=3

若选②，csinA=3,则2,c=2百；

若选③，与条件c=圆矛盾.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的

-次式•般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式

的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.(2020年北京市高考试卷)在口/3。中，a+b=U>再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为己知，求：

(I)a的值：

(II)sinC和口/3。的面积.

r,1

c=7,cosJ=——

条件①：7.

,1c9

COSH=—,C0S6=一

条件②：816.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

・073

sinC---rr

【答案】选择条件①(I)8(H)2,S=6V3；

sinC=V7s=15>/7

选择条件②(I)6(11)4,4.

c=7,cos4=——，

【详解】选择条件①(I)7a+b=ll

a2=h2+c2-2hccosA:,a2=(1l-a)2+72-2(1l-a)-7-(--)

「・Q=8

vcos^4=-—,AG(0,7t)/.sinA-Vl-cos2A-

(II)77

ac87.「VJ

sin4sinC4j3sinC2

由正弦定理得：7

S=；6asinC=；(ll—8)x8xg=6百

19

vCOSA=-9COSJB=—,4,8E(0,1)

选择条件②(I)816

sinA=V1-cos2A=-----,sin8=Vl-cos2B=------

816

a_ha_1l-a

sin/sin83\/7577

由正弦定理得：816

sinC=sin(7i+5)=sinAcos5+sin5cosA=^^-x—

(II)816

5=-^sinC=-(ll-6)x6x-=1^

2244

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面枳公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

19.(2021届•安徽高三其他模拟(理))已知函数/(x)=2VJsinxcosx-2cos2x+l

（1）求函数/（“）的单调递增区间;

（2）已知口/80的三个内角2、B、C的对边分别为。、b、c,其中。=7,若锐角C满足/（。）=2,

且"=40,求sin/+sin8的值.

-----Fkit^—4~ku、kwZ

【答案】(1)L6-------3.⑵14

/(x)=2sin(2x_：

【详解】（1）由题意知,

兀71

f-----FATI<x<—卜kit,keZ-----Fku.—FATC,keZ

所以函数Jl1的单调递增区间为63，即L6----3

/(C)=2sinl2C--^j=2

⑵；心2,C=-

,...锐角3

>R_c_7_14

2口=葡=忑=忑百

sinZ+sin6=——(a+b)

由正弦定理可得214