高中数学1-3集合的基本运算（教案）(一)

1.3集合的基本运算

,一,考纲要求

i.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

2.能使用Venn图表示集合的并集与交集.

3.灵活运用并集与交集的含义与性质解题.

知识解读

知识点①集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

由属于集合4且属于集合8的

交集AnB={x|xWA且xG8}(HD

所有元素组成的集合AnB

由所有属于集合A或属于集合

)

并集4UB={x|xGA或<

B的元素组成的集合A\JB

由全集U中不属于集合A的所

补集C〃={x|xGU且x史A}

有元素组成的集合o

知识点②集合基本运算的常见性质

1.A(^\A=A,Ap0=0.

2.A\jA=A,A\J0=A.

3.AC\CvA=0,AUCU4=U，CU(CUA)=A.

4.A=80AnB=AOAUB=8OCM卫CuBoAf](CuB)=0.

题型讲解

题型一、集合的基本运算

例1.(2021•全国乙卷)已知集合§={巾=2〃+1,wGZ},T={巾=4〃+1,〃eZ},则SjT等于()

A.0B.S

C.TD.Z

【答案】C

【解析】方法一在集合T中，令则f=4"+l=2(2k)+l仅WZ),而集合S中，s=2〃+l(〃ez),

所以必有TQS,

所以rpS=T.

方法二S={…,-3,-1,1,3,5,T={…,-3,1,5,观察可知,TQS,所以

例2.(2022.济南模拟)集合4={x|/-3x-4N0},«={x|l<x<5},则集合(CRA)UB等于()

A.[—1,5)B.(—1,5)

C.(1,4JD.(1,4)

【答案】B

【解析】因为集合人="”-3x-4K)}={xpE-1或忘4},

又8={x[l<x<5},

所以CRA=(—1,4),

则集合(CRA)(J8=(—1,5).

例3.已知集合4={1,2,3},B={x|(x+l)(x-2)<0,xGZ},则AljB=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-l,o,1,2,3}

【答案】C

【解析】因为8={x|(x+l)(x-2)<0,xeZ}={R-la<2,xWZ}={0,l},A={1,2,3},所以AU8={0,1,2,3}.

例4.已知全集{/=14,集合A={x|0V烂2},B={R/-x>0},则图中的阴影部分表示的集合为()

A.(—00,1]U(2,+oo)B.(—00,0)U(1,2)

C.[1,2)D.(1,2]

【答案】A

【解析】B={XN—X>0}={X|X>1或X<0},由题意可知阴影部分对应的集合为[Q/G4n8)]n(AUB)，

."riB={x|l<烂2},AUB=R,

即Cu(AnB)={.v|x<l或x>2],

：.Cu(AnB)n(/IU«)=(x\x<\或x>2},

即(一8,1]U(2.+oo).

题型二、利用集合的运算求参数的值(范围)

例5.已知集合A={x|x<a},8={x|f—3x+2<0},若则实数。的取值范围是()

A.a<iB.a<\

C.a>2D.a>2

【答案】D

【解析】集合8={"$一3x+2<0}={x[l<x<2},由人口8=8可得作出数轴如图.

可知a>2.

例6.已知集合4=国3*—2x—IWO},B={x\2a<x<a+3},若408=0，则实数〃的取值范围是()

A,兴―学或〃弓B.好一号或舄

D.好一卷或介2

【答案】B

【解析】A={x|3/一2x-lW0}

x|--<x<l

①B=0,2生。+3=生3,符合题意；

a<3,-

a<3,

②8/0,\1或

a+3<—[2a>\,

解得a<—竽或.二。的取值范围是好一竽或悬.

例7.已知集合4={1,3,赤},8={1,m},AU8=A,则〃？=()

A.。或小B.0或3

C.1或小D.I或3

【答案】B

【解析】.,.in—3sH(.m=y[m,解得，"=0或3.

例8.(2017・全国卷H)设集合A={1,2,4},B={小2—4x+，〃=0}.若408={1},则8=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C.{1,3}D.{1,5}

【答案】C

【解析】；408={1},

:.1—4+/n=0,即/n=3.

：.B={X\X2-4X+3=0}={[,3],

题型三、集合的新定义问题

例9.已知集合A={xGN|f-2%—34）},8={1,3},定义集合4,8之间的运算“*”：4*8=*伙=莺+也，

xieA,X2&B],则A*B中的所有元素数字之和为（）

A.15B.16

C.20D.21

【答案】D

【解析】由/一2X一3三0,得。+1）（工一3怯0,得4={0,1,2,3}.因为4*8={.巾"=制+及，x,SA,xi&B},所

以A*B中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,231=3（舍去）,2+3=5,3+1=4（舍去）,3+3=6,

所以A*8={123,4,5,6},所以中的所有元素数字之和为21.

0xe0,xeB

例10.（多空题）设A,B是R的两个子集，对任意x£R,定义：m=\,n=\'

1,xeA[1,x^B

（1）若AqB,则对任意xWR,%（1—〃）=；

（2）若对任意xCR,m+n=l,贝ijA,B的关系为.

【答案】（1）0（2）A=CR8

【解析】（1）4=CR8[（l）VAcB,则时，m=0,m（i~n）=0,xCA时，必有xWB,.♦."?=〃=1,制1

—n）=0.综上可得：

（2）对任意xGR,m+"=1,则相，〃的值一个为0,另一个为1,即xGA时，必有工仁8,或xCB时，必有

x史A,8的关系为A=CR8.

例11.某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都喜欢，则喜欢篮

球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（）

A.17B.18

C.19D.20

【答案】B

【解析】记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A,喜欢乒乓球运动的记作集合8,

则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作AD（C团）（如图），故有18人.

达标训练

1.设集合A={1,2,6},8={2,4},C={xWR]-1姿5},则(AljB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6)D.{xeR|-l<r<5}

【答案】B

【解析】（AUB）nC={l,2,4,6}nLl,5]={l,2,4}.

2.（2020•四川成都模拟）已知全集U=R,集合A={x|g烂2},8={x|『一x>0},则图中的阴影部分表示的集

合为（）

A.(—co,11(J(2>+<»)B.(—00,0)IJ(1,2)

C.[1,2)D.(1,2]

【答案】A

【解析】8={x|『一x>0}={x|x>l或x<0},由题意可知阴影部分对应的集合为[C〃(4n8)]n(AUB)，

.,.ADB={X|1<烂2},AU「=R，

即CMCri8)={x|Wl或x>2},

CiXAriB)n(AuB)={x|x<l或x>2},

即(一co,1]|J(2,+<»).

3.已知A={x|烂0或应3},B={x|烂1或定a+l},若4n(CRB)H0,则实数a的取值范围是()

A.\<a<2B.\<a<2

C.〃勺或。之2D.4Vl或a>2

【答案】D

【解析】A={戈降0或危3},8={小±-1或后〃+1},

所以CRB={x\a-l<x<a+1(；

又An(CRB)*0,

所以a—1<0或。+1>3,

解得a<l或a>2,

所以实数a的取值范围是a<\或a>2.

4.(2022•南通模拟)设集合A={1,a+6,a2},B={24+1,a+b],若408={4},贝Ua=,b=

【答案】22

【解析】由题意知，4GA,所以。+6=4或〃=4,

当“+6=4时，则a=—2,得4={1,4,4},故应舍去；

当〃=4时，则。=2或〃=—2（舍去），

当a=2时，A={1,4,8}»8={5,2+匕},

又4日8,所以2+6=4,得6=2.

所以a=2,b=2.

5.对于任意两集合A,B,定义A-B={#veA且团，A*B=（A-B）U（8—A）,记A={x|应0},B={x|一

3灸3},则A*8=.

【答案】{可一3qVO或x>3}

【解析】：A={xh20},B={x|-3M3},

—3={小>3},B-A={x|-3<r<0}.

...A*B={x]-3Sr<0或x>3}.

6.对班级40名学生调查对A,B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不

赞成，赞成8的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对4,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的

学生数的三分之一多1人，问对4,8都赞成的学生有人.

【答案】18

【解析】赞成4的人数为40X；=24,

赞成B的人数为24+3=27,

设对A,B都赞成的学生有x人，

贝康+1+27—x+x+24-x=40,

解得x=18.

■课后提升

1.（多选）己知全集U的两个非空真子集A,B满足（CUA）U8=B,则下列关系一定正确的是（）

A.B.

C.AljB=UD.（C（/8）UA=A

【答案】CD

【解析】令U={1,2,3,4},A={2,3,4).B={1,2},

满足（C（4）UB=8,

但AplBH。，A[\B^B,故A,B均不正确；

由（CUA）U8=8,知C0A=8,

.•.U=AU（C（/A）=（AUB）,;.AUB=U,

由CuAqB,知C/qA,

.♦.（C〃B）UA=A,故C,D均正确.

2.某班有学告50人，解甲、乙两道数学题.己知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均对者有

20人.则至少解对一题者的人数是（）

A.8B.22

C.30D.42

【答案】D

【解析】如下图所示:

至少解对一题的人数为：34—20+20+28-20=42人，故选：D.

3.（多选）已知集合尸=｛（x,y）|x+y=l｝,Q—｛（x,y）|A~+/=1｝,则下列说法正确的是（）

A.PU°=R

B.尸[1。=｛（1,0），（0』）｝

C.尸0。=｛。，y）|x=0或1,y=0或1｝

D.「n。的真子集有3个

【答案】BD

%+y=l，

【解析】联立

、『+俨=1,

x=0,

解得或

j=0

，叩。=｛（1,0），（0,1）｝，

故B正确，C错误；

又产，。为点集，，A错误；

又PCIQ有两个元素，有3个真子集，

D正确.

4.（多选）（2022・重庆北硝区模拟）已知全集U={xdN|0<x<8},A={1,2,3},C-AplB）={1,2,4,5,6,7},则集

合B可能为（）

A.{2,3,4}B.{3,4,5）

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

【答案】BD

【解析】由U={xGN|（Kx<8},

于是得全集1/={1,2,3,456,7},

因为CM4n㈤=[1,2,4,5,6,7},

则有408={3},368,C不正确；

对于A选项，若8={2,3,4},

则AD8={2,3},CtXAPI8）={1,456.7},

矛盾，A不正确；

对于B选项，若8={345},

则AnB={3},Cu（A八B）={124,5,6,7）,

B正确；

对于D选项，若8={3,5,6},

则A0B={3},CMA03）={12456,7},

D正确.

5.己知集合A={x|8<r<10},设集合U={x|0<r<9},B={x\a<x<2a-\],若（CuB）nA={x[8a<9},则实数

“的取值范围是.

（9-

【答案】一8,二

\2_

【解析】当8=0时，2a—}<a,

解得任1,此时C〃8=U,

（Ci/B）AA=i/flA={x|8<r<9},符合题意；

当8H0时，2“一1>",解得a>l,

因为集合U={x\0<x<9}t

B={x\a<x<2a-]},

所以Cu