高考数学复习第35讲空间几何体的内切、外接、截面问题（解析版）

第35讲空间几何体的内切、外接、截面问题

【典型例题】

例1.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，为AA8C的外接圆.若«的面积为4万，

AB=BC=AC=OOt,则球O的体积为（）

.256口门64r32

A.-----7tB.64%C.——兀D.—71

333

【解析】解：设圆。I半径为八球的半径为/?,

依题意得，Ttr^=4zr,r=2,

AA5C为等边三角形，

由正弦定理可得A8=2rsin6（r=2G，

OOX=A8=2百，根据球的截面性质OOt1平面ABC，

OOtrOtA,R=OA==Jdd~~=4,

球。的体积入笄、竽，

例2.已知是面积为乎的等边三角形，且其顶点都在球。的表面上,

若球心O到平面ABC的

距离为1,则球O的表面积为（）

16%32不

B.万

—C.16D.327

【解析】解：由题意可知,如图：

A43C是面积为型的等边三角形

4

--AB2—1,/.AB—BC-AC—3，

44

又.Q是AABC外接圆圆心AQ=|x43=6,

乂OOt=\.-.AO=4AO^+OO^=43+i=2,

...球O的表面积为：S=4万AO?=4乃*4=16万，

故选：C.

------------"B

例3.在封闭的直三棱柱A3C-A耳G内有一个体积为V的球，若4?_L8C,AB=6,BC=8,A4,=5,

则V的最大值是（）

【解析】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.

先保证截面圆与AABC内切，记圆。的半径为r,

贝lj由等面积法得S0BC=gAC.r+gA8.r+gBC.r=gx6x8，

所以（AC+AB+BC）r=6*8,又AB=6,BC=8,

所以AC=10,所以r=2.由于三棱柱高为5,此时可以保证球在三棱柱内部,

若r增大，则无法保证球在三棱柱内，

故球的最大半径为2,所以V=码.

3

故选：D.

例4.《儿何原本》是古希腊数学家欧儿里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角

形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9立万则它的体积为（）

A.9忑1兀B.9万C.8亿D.27〃

【解析】解：设直圆角的底面半径为r,母线为/，高为h,

「直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

（2r）2=I2+12,解得/=-J2r,

.直角圆锥的侧面积为9夜;r,

9>/2zr=7trl,:.9底兀=兀丫•近r,解得/"=3，/=3五,

:.h=&2-尸="18-9=3.

直角圆锥的体枳为V=—^r2/z=—x^-x9x3=-

33

故选：B.

例5.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面

积的最大值为（）

A3白口26「3及八百

A.---ID.---------U.---\,）•---

4342

【解析】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，

如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长也，

2

a截此正方体所得截面最大值为：6x3x（立>=延.

424

例6.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底

分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与

两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）

A.巫B.@C.巫D.1

4255

v22

【解析】解：不妨设椭圆方程为餐+四v=l(a>b>0),

crb

—日而*/曰=12-4

由题意得《，

[b=2

解得a=4,b=2,c=J16-4=2A/3,

该椭圆的离心率为e=£=2叵=走.

a42

故选：B.

例7.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为(

A.2:1B.3:2C.7:3D.7:4

【解析】解：如图：。「0?分别为底面中心，O为。0?的中点，D为45的中点，

设正六棱柱的底面边长为2,

若正六棱柱有内切球，则o到各个面的距离相等，则oq=qr>=6，

即内切球的半径，=岔，042=00,2+0/2=7,即外接球的半径R=«,

则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4乃炉：w=/?2：r=7:3.

故选：C.

例8.过正方体aSCD-AMGR的棱AB、3c的中点£、尸作一个截面，使截面与底面ABC。所

成二面角为45。，则此截面的形状为()

A.三角形或五边形B.三角形或四边形

C.正六边形D.三角形或六边形

【解析】解：过棱AB、3c的中点E、F作正方体AG的截面，

.二面角R-EF-D,二面角S-EF-8都大于45°,

.••当截面为时，如下图所示时，为六边形，

当截面为比”时，如下图所示时，为三边形，

故选：D.

例9.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四

边形，则这样的平面a()

A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个

【解析】证明：由侧面皿）与侧面尸8c相交，侧面R48与侧面PCD相交，

设两组相交平面的交线分别为机，n,

由，〃，〃确定的平面为《，

作a与万平行且与四条侧棱相交，

交点分别为A，Bx,C「D,

则由面面平行的性质定理得：

ABJ/ml/D\C\,ADJ

从而得截面必为平行四边形.

由于平面a可以上下移动，则这样的平面a有无数多个.

【同步练习】

一.选择题

1.已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=\,则三棱锥O-ABC

的体积为（）

A.显R百

O.---------

1212。・日

【解析】解：因为4CJ_8C,AC=BC=\,

所以底面ABC为等腰直角三角形，

所以MBC所在的截面圆的圆心01为斜边AB的中点，

所以1.平面MC,

在RtAABC中，AB=VAC2+BC2=6,则AQ=等，

在RtAAOO,中，Oq=JOA：-AO：=4,

故三棱锥O-/WC的体积为V=LsMBc-Oq=-xlxlxlx^l=^l.

3MBe।32212

2.若棱长为2G的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.121B.24〃C.36万D.144万

【解析】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，

所以2R=6x2出=6,

所以R=3,5=4万/?2=36%.

故选：C.

3.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形

的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为4"r,圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的

体积为（）

Q32

A.—71B.—兀C.167rD.32万

33

【解析】解：设球半径为R，圆锥的底面半径为，若一个直角圆锥的侧面积为404，

设母线为/,则—+/=4/n/=后,

所以立角圆锥的侧面积为：—x271f•/=—x2夕•V2r=4五4，

22

可得：r=2,1=\[2r=2-72>圆锥的।国8Q=>/8—4=2,

由产+（2-/?）2=R2,解得：R=2,

故选：B.

4.在四面体ABCD中，已知NAT>3=NB£）C=NCa4=60。，AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD

的外接球的半径为（）

A.y/2B.2C.3D.V3

【解析】解：设四面体的外接球球心为O,则O在过A4BD的外心N且垂直于平面4®的垂线

上.

由题设知，A4BZ）是正三角形，则点N为八钻。的中心.

设P,M分别为AB，8的中点，则N在。P匕且ON_LDP,OMVCD.

因为ZCDA=NCDB=ZADB=60°.设CD与平面ABD所成角为9,

,n1.〃夜

..cosu——，sin（J——产.

GV3

在ADA/N中，DM=-CD=l,DN=乙DP=丛.

23

由余弦定理得MN=J1+3-2x1xGx[=&.

VG

四边形DMON的外接圆的半径OD=网上=G.

sin。

故球O的半径R=G.

故选：D.

5.已知在四面体中，AB=AD=BC=CD=BD=2,平面平面即。，则四面体ABCD的

外接球的表面积为()

D.8万

【解析】解：如图取处中点H，AC中点连接

因为A8=AO=3C=8=8D=2,平面板5_1_平面3£心

所以B£)J_CH,BD±AH,则3。_1面42”，三角形ACH是等腰直角三角形.所以MHJLAC，所

以NA//M=45°,AH=6,

所以球心必落在直线MH上，设为点O,连接。4、OD，则。4=QD=OC=O3.

设OH=x,在三角形中，HD=L所以guf+i

在三角形AOH中，OA2=x2+y[32-26XCOS45°

所以x2+1=x?-2\/5XCOS45。，解得x="，所以店=0/52=9

33

故外接球的衣面积S=4%R2=20£

3

多选题

6.已知正三棱锥尸-ABC的底面边长为1,点P到底面ABC的距离为夜，贝lj()

A.该三棱锥的内切球半径为正B.该三棱锥外接球半径为述

612

C.该三棱锥体积为立D.该三棱锥体积为迈

1212

【解析】解：如图，

设等边三角形ABC的中心为G，连接AG交3c于。，可得

连接PD,得PD工BC,

在等边三角形ABC中，求得A£>=正，.•.AG=2AO=@,

233

PD=4PG2+GD-=J2+—=—.

V126

1,5g5力c_1116

—X1X---=----,=-xlxlX—=—.

2612

设三棱锥的内切球半径为r,则:S^c/G=；(3%8c+SMBC)-r,

B|JxxV2=x(3xxr,解得厂=二，故A正确；

设三棱锥外接球半径为R,贝l](0-R)2+(§『=/?：解得R=*，故8正确;

三棱锥尸—AfiC的体积V且x0=^,故C错误，。正确.

3412

故选：ABD.

7.一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是()

.x/2RA/3„n石

222

【解析】解：设长方体的另外两条棱长分别为x,y,则町=1，

长方体的对角线长d=M+y2+i,

x>0,y>0,d..J2孙+1=6.

当且仅当％=y时等号成立，.■，=&…正，

22

.-.v=更=2n

3382

结合选项可得，38正确，A错误.

故选：BCD.

8.传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的

高相等.因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后,

墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，〃，圆柱的表面积与球的表

面积之比为"，若/(x)=(竺丁-工)，则()

nx

B./(x)的展开式中的x”的系数为56

C..f(x)的展开式中的各项系数之和为0

D./(0=-16,其中i为虚数单位

【解析】解：设球的半径为「，则圆柱的底面半径为r,高为2小

所以圆柱的体积M=2仃3,球的体积为％=与/,则川=*=,,

球的表面积为2万八2厂+2万产=6%，，球的表面积为4%r2,则"="==之，故确，

442

所以‘=1,则f(x)=(Y-与，展开式的通项公式为0尸墨(W(—3'=C(T)”2i，

nxx

令24-4r=4,解得r=5,所以d的系数为C；・(一1)5=-56,故5错误,

令x=l,则展开式的各项系数和为(I-。'=0,故C正确，

令x=i,则/(/)=(z3--)8=(-i+ip=0,故。错误，

i

故选：AC.

9.已知四面体ABC£)中，AB=CD=2,BC=4,AC=BD=2y[5,直线AB与C£)所成角为巴，则下

3

列说法正确的是（)

A.4）的取值可能为2石

B.4）与8C所成角余弦值一定为拽

5

C.四面体体积一定为迪

3

D.四面体舫8的外接球的半径可能为2夜

【解析】解：由题可知，AB^BC,DCLBC,则可将四面体458的四个顶点放入如下图所示的直

三棱柱中,

考虑到直线AB与CD所成角为-,故有如下两种情况：

3

对于左图，ZABE=~,则AE=2,AO=JF弄=2右，

3

此时4）与8C所成角余弦值为辿；所以选项A正确；

5

因为匕B£-ra»=gx2x2xsi吟）x4=46，

=

所以VA.BCD=VF_BCD=YB-FCD=~^ABE-FCD3',

分别取三棱柱ABE-FCD上卜底面三角形的外心G，H,连接G〃，

则线段GH的中点O即为三棱柱ABE-FCD外接球球心，

也即为四面体的外接球心，

故四面体ABC力的外接球半径OB=4OG2+GB-=1（—）2+（-^7=也+中=速，

\2sin—V75

\3

对于右图，4ABE=q,则AE=2®AZ）=J（2回+4?=2近,

此时4）与BC所成角余弦值为2包，所以选项8错误；

7

因为匕=（gx2x2xsin笄）X4=4>/5,

所以匕-86=VF-BCD=YB-FCD='^ABE-FCD=，所以选项。止确；

同上可得四面体MCE>的外接球半径OB=40G2+GB?=（―）24-（^^7=J22+（¥）2=272,

12sin—V"

\3

所以选项。正确;

故选：ACD.

10.已知A48c是面积为更的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16万,

4

则球心O到平面ABC的距离为.

【解析】解：设AABC的边长为“，外接圆半径为广，

224

由正弦定理可得2r=*-=2,解得r=l,

sin60°

设球。的半径为则4;*=16万，解得R=2,

则球心O到平面ABC的距离为V22-12=73.

故答案为：G-

11.已知正三棱锥尸-45C底面边长为1,高为&,则其内切球半径为

【解析】解：如图，

设等边三角形ABC的中心为G，连接AG交8c于。，可得AD_L8C，

连接P£>，得PD_LBC,

在等边三角形A8c中，求得AG=2A£>=^^,GD=.

2336

PD=>JPG2+GD2=.)2+—=—.

V126

01.573573_1..73>/3

••S^BC=Qx1X，S^BC=-x\x\x-=—.

设三棱锥的内切球半径为r，则1S.c,依=gx(3S.C+S^)-r,

1\J3/r1..5yfiA/5〃刀相>/2

即nn一x—xj2=-x(3x----1---)Xxr，胞：彳寸r=--，

3431246

故答案为：也.

6

12.在封闭的直三棱柱ABC-A4G内有一个体积为V的球，若A8_L8C,AB=6,8c=8,A4,=3,

则V的最大值是

【解析】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径氏最大.

因为M8C内切圆的半径为2,所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时,

球的半径取得最大值为|,此时球的体积为加、条

答案为：,

13.如图，正方体ABC£>-E/P〃的一个截面经过顶点A,C及棱EF上一点K,且将正方体分成体积

比为3」的两部分，贝卷的值为-

［解析］解：记a为截面所在平面，延长AK,BF交于点P,则尸在a上，故直线CP是a与平面BCGF

的交线,

设CP与尸G交于点L,则四边形AKLC为截面,

又平面ABC平行于平面K/2，且AK，BF,CL共点尸，故/WC-KFL为棱自，

不妨设正方体棱长为1,则正方体体积为1,结合已知条件知棱台MC-KFL的体积为丫=',

4

设依"则必=旦=竺=上，

ABBCPB/1+1

注意到依，PF分别是棱锥P-ABC与棱锥P-KFL的高，

于是卜唳一心.必"=（念力

14.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其

中包括他最得意的发现一“圆柱容球”.设圆柱的高为2,且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球

面的交线）为底，以球的直径为高.则球的体积与圆柱的体积之比为.

【解析】解：由题意可得，圆柱的底面半径为1,高为2,球的半径为1,

则球的体积为％;=：万*F=：乃，圆柱的体积为％桩=;rxrx2=2万,

4%

则球的体积与圆柱的体积之比为上-=2.

243

故答案为：—.

3

15.在三棱锥P—ABC中，面2钻_1_面筋。，PA=PB=AB=AC=2,ZBAC=-,则该三棱锥外接

2

球的表面积为.

【解析】解：如图,

­.•ABAC=-,BC的中点E为AA3C的外心，

2

==则为等边三角形，设其外心为F,

分别过E、尸作平面R4C与平面MB的垂线，两垂线相交于O,

则O为三棱锥P-ABC外接球的球心，则OE=-722-12=—,

33

又EC==BC=五,

2

"2=(')2+(a)2=1,

二该三棱锥外接球的表面积为4;rxZ=%.

33

故答案为：—.

3

16.在正三棱锥P-A8c中，AB=\,AP=2,过A3的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成

角的余弦值为.

【解析】解：设至，PC的中点分别为K，M，连接AW,BM•MK，CK,

由题意得平面ABM就是平面a,

由中线长公式知:

AM2=-(AP2+AC2)--PC2=-(22+12)--X22=-,

24242

KM=y/AM2-AK2=

由题意知直线PC在平面a上的射影是直线MK,

MC=1,KC=—

2

KM2+MC2-KC23#)

/.cosNKMC=44

2KMMc而

：.棱PC与平面a所成角的余弦值为述.

10

17.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AAfiC为等边三角形且其面积为9道，

则三棱锥体积的最大值为.

【解析】解：设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AA5C为等边三角形且其面积

为9/，

ixAB2xsin60°=9x/3,解得AB=6,

2

球心为O,三角形ABC的外心为O,显然。在(70的延长线与球的交点如图：

OC=|X*X6=2500=也?-(2扬2=2,

则三棱锥。-ABC高的最大值为：6,

则三棱锥体积的最大值为：1X^X63=1873.

34

故答案为：186.

18.如图，直四棱柱AB。-A4GA的底面是边长为2的正方形，AA,=3,E,尸分别是他，BC

的中点，过点E,尸的平面记为a,则下列说法中正确的序号是.

①平面a截直四棱柱ABC£>-4gG〃所得截面的形状为四边形；

②平面。截直四棱柱ABCD-ABCR所得截面的面积为竽；

③二面角D-EF-R的正切值为应：

④点B到平面a的距离与点D到平面a的距离之比为1:3.

【解析】解：①延长ZM,DC，交直线£F分别于点尸，Q,连接RP,RQ,交棱他，CQ分别

于点M,N,

可得平面a截直四棱柱A8O-A4GR所得截面的形状为五边形，即①错误；

②由题意知，DtM=D,N=242=MN,ME=EF=FN=6,

所以五边形QMEFN可分为等边三角形RMN和等腰梯形EFNM,

而△QMN的面积为51=gx20x2拒xsin6（r=2百，

等腰梯形EFNM的面积邑=gx（正+2后）x半=亭，

所以截面五边形的面积S=£+S,=+更=递，即②正确：

22

③连接交EF于点G,连接"G,则G为EF的中点，DGA.EF,£LDG=-DB=—,

42

由题意知，D、E=D、F,所以〃G_LE尸，

所以NRG。为二面角的平面角，

在放△£）©£）中，tanN2Go=也=」=血，即③正确；

1DG3>/2

F

④因为BG:£>G=1:3,

所以点5到平面a的距离与点D到平面a的距离之比为1:3,即④正确.

故答案为：②③④.

19.如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球心C在线段V。上，圆锥VO的底面半径为1.

母线长为2,则球C的表面积为

【解析】解：设球C半径为r,因为圆锥VO底面半径为1，母线长为2.

所以丫。=亚彳=g,设球C与圆锥VO的侧面的一个切点为5，如下图示:

所以有CO=CB=r,AO=AB=1,

在宜角三角形VBC中，依2=UB?+BC?=>(G-r)2=1+，nr='•

所以球C表面积为4%•(曰『=?.

故答案为：—.

3

20.在三棱锥尸-ABC中，平面_平面ABC,PALPB,AB=BC=AC=4,则该三棱锥外接球

的表面积是.

【解析】解：如图，取A8中点H,连P"，CH,

由A8=8C=AC=4,:.CHLAB,C〃u平面ABC,

平面平面ABC,平面R4BC平面/WC=AB,

..CH1•平面XBP，又R4_LP5，H为AB中点，

：.AH=PH=BH.在C"上取点O使得OC=04，

5l.AB=BC=AC=4,所以。为AABC重心，所以OC=Q4=O8,

二O为该三棱锥外接球的球心，设该三棱锥的外接球半径为R,

由正弦定理得」一=2R,:.R=还,

sin6003

所以该三棱锥的外接球的表面积是4万4=—,

3

故答案为：—.

3

21.如图，设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-A8C内接于同一个球O.若正三棱锥P-/1BC的侧

面与底面所成的角为45。，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.

【解析】解：如图，取43的中点连接PM,QM,则PM_L43,CM±AB.QM1AB

:.ZPMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，NQMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角,

.-.ZPMC=45°,

设PR=h,OP=R，贝=OR=R-h,

R2=4h2+(R-h)2,

:.R=2.5h

:.QR=4h

MR=h

：.正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是处=4

MR

故答案为:4.

22.设同底的两个正三棱锥P-A8C和Q-ABC内接于同一个球.若正三棱锥P-A8C的侧面与底面

所成的角为45。，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是.

【解析】解：如图，连接PQ,则PQ1•平面ABC于H,〃为正AABC的中心，且P。过球心O,

连接CH，CH交AB于V,则M为AB中点，且CMJLAB，

所以、NQMH分别为正三棱锥P-ABC和Q-ABC的侧面与底面所成的角,

所以NPMH=45。,所以PH=MH=1AH,

2

因为NPAQ=90。,

所以AH?=

AU2

所以“。=丝_,

PH

所以tanNQWH=丝=AH2AH2=（第=2』,

MHPH-MHMH2

故答案为:4.

23.在四面体438中，已知NA，）8=N8"=NCD4=60。，AD=BD=3,8=2,则四面体ABC。

的外接球的半径为_6_，内切球的半径为.

【解析】解：设四面体ASC。的外接球球心为O,则。在过AABD的外心N且垂直于平面ABZ）的

垂线上.

由题设知，AABD是正三角形，则点N为AAfi£）的中心.

设尸，M分别为/IB，CD的中点，则N在Z*上，且ONJ.DP,OMLCD.

因为NCD4=NCD8=N4r>8=60。，设8