第5讲二次函数实际应用

1.

为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？3.

某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.2.

某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月比增长率都是x，则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝

a(1＋x)2

．请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？4. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．【解答过程】解：∵点(0，2)在y＝a(x－6)2＋h的图象上，∴2＝a(0－6)2＋h，a＝ ，函数可写成y＝

(x－6)2＋h.(1)当h＝2.6时，y与x的关系式是y＝－

(x－6)2＋2.6；(2)球能越过球网，球会出界．理由：当x＝9时，y＝－

×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，－

(x－6)2＋2.6＝0，解得：x1＝6＋2

＞18，x2＝6－2(舍去)，故球会出界．另解：当x＝18时，y＝－

×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，所以球会出界．(3)由球能越过球网可知，当x＝9时，y＝

＞2.43，①由球不出边界可知，当x＝18时，y＝8－3h≤0，②由①、②知h≥

，所以h的取值范围是h≥

.名师点评二次函数的实际应用是中考热门题目，考查的方式也多种多样，属于难度较大的题目．安徽中考对该内容的考查一般在解答题中出现．二次函数的应用题大多数与生活情境或从体现新课标的理念角度命题，解答此类试题，应在弄懂题意的前提下，建立二次函数模型，然后用配方法或公式法求出二次函数的最值，从而求得实际问题的最值．名师预测芜湖方特欢乐世界投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的解析式；(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y关于x的解析式；

(2)求纯收益g关于x的解析式；

(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大，几个月后，能收回投资？【解答过程】解：(1)由题意，得当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝2＋4＝6，代入得，由题意，得g＝33x-150-(x2＋x)＝-x2＋32

x－150；g＝-x2＋32

x－150＝－(x－16)2＋106，∴当x＝16时，g最大值＝106，即设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大，又∵当0＜x≤16时，g随x的增大而增大，当x≤5时，g＜0；而当x＞6时，g＞0，∴6个月后能收回投资.1．应用二次函数解决实际问题的一般步骤：(1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y是x的函数；

(2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；(3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围；

(4)解：利用相关性质解决问题；(5)答：检验后写出合适的答案．(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大值或最小值．①列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；②配方或利用公式求顶点；③检查顶点在不在自变量的取值范围内．若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的取值范围内，根据增减性确定．【温馨提醒】

解决最值应用题要注意两点：(1)设未知数，在“当某某为何值时，什么最大(或最小)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；(2)最值的求解，依靠配方法或者最值公式，而不是解方程.2．应用二次函数解决实际问题的常见题型：

(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．【方法指导】在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．2某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为

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m2.【方法指导】求二次函数的最值问题有两种方法：一种是根据二次函数的顶点坐标的公式计算；二是把多项式配方求二次函数的最值．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg,

经市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价P(元/kg)与时间t之间的函数关系式为且日销售量y(kg)与销售时间t(天)的关系如下表：(1)已知y与t的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象，现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．【方法指导】(1)求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．(2)用函数探究实际问题中的最值问题，一种是列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是建立二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，函数最值应结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．【解答过程】解：(1)设y＝kt＋b，把t＝1，y＝118，t＝3，y＝114代入得到∴y＝120－2t，当t＝30时，y＝120－60＝60，即在第30天的日销售量为60千克．

(2)设日销售利润为w元，则w＝(p－20)y，当1≤t≤24时，

w＝(

t＋30－20)(120－2t)＝－

t2＋10t＋1200＝－

(t－

10)2＋1250，∴当t＝10时，w最大＝1250，当25≤t≤48时，w＝(－

t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4由二次函数的图象及性质知：当t＝25时，w最大＝1085，∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250.(3)由题意，得w＝(

t＋30－20－n)(120－2t)＝-

t2＋2(n＋5)t＋1200－120n其对称轴为x＝2n＋10，要使w随t的增大而增大．由二次函数的图象及性质知：2n＋10≥24,解得：n≥7，又∵n<9，∴7≤n<9.1.

某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为(

B

)A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－73502.

国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(

)B．y＝36(1＋x)D．y＝18(1＋x2)CA．y＝36(1－x)C．y＝18(1－x)23.如图，假设篱笆(虚线部分)的长度是16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(

C

)A．60

m2C．64m24.B.63m2D．66m2矩形的周长是8cm，设一边为xcm，矩形的面积为ycm2.求y关于x的函数关系式为

y＝－x2＋4x(0<x<4)

．5.

把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h(米)与时间t(秒)，满足关系h＝20t－5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为.6.

某电商销售一款夏