数学建模的指标量化问题

数学建模的指标量化问题数学建模本身是一个量化过程，如何利用数学的方法刻画重要的量是数学建模的非常关键的问题。在数学模型课程中，我们接触过许多指标量化问题。例1：椅子能否在不平的地面上放稳指标：放稳如何定量描述？

开始没有放稳，晃一晃就稳了。晃一晃如何描述？例2：公平席位分配问题问题是分析各部门代表如何分配，才符合公平原则。这里的主要指标是公平，如何对公平这个指标进行量化的问题。数学规划问题的量化指标：目标函数我们需要求一个指标的最优问题。定量的问题的指标有些是容易确定的，如工厂的生产利润，人的体重等。有些需要巧妙地利用数学工具进行设计。如下雨的淋雨量，人口的平均寿命等。有些问题涉及到某些介于定量和定性之间的量，如客户的满意度，国家的竞争力，服务业的服务水平等。这些问题需要我们设计新的评价体系。多数实际问题和竞赛题目都涉及到指标的评价问题。不少竞赛题目本身就是指标评价。如2010

B题2010年上海世博会影响力的定量评估D题

对学生宿舍设计方案的评价2008

D题NBA赛程的分析与评价等。评价的核心是建立评价指标。大量的问题中，评价指标的建立具有画龙点睛的作用。如在数学建模课本上的公平席位问题，其核心是公平的度量指标的引入。CUMCM02B彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码(可重复)，从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码"abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一(X表示未选中的号码)。

中奖10选6+1(6+1／10)

等级

基本号码

特别号码

说明

一等奖abcdefg选7中(6+1)

二等奖abcdef选7中(6)

三等奖abcdeXXbcdef选7中(5)

四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中(4)

五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中(3)

六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中(2)表1以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50％，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为[(当期销售总额x总奖金比例)—低项奖总额]x单项奖比例

(1)这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。(3)给报纸写一篇短文，供彩民参考。问题分析：粗略的分析，本问题给出了2种不同的彩票(33选7和27选6+1)，请你综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。并设计一种“更好”的方案及相应的算法。关键是什么？评价指标！什么是好？利用什么样的尺子去度量不同彩票的好坏？怎样利用数学工具把这些指标量化？对上述问题，一般来讲，评价彩票的指标一般有两个：第一个指标：公平性指标：

作为一种博弈，奖金的多少与风险的大小对应。

(对比：在麻将中，番数大的局往往成的概率小。)

设有7种不同奖项，第i种奖项的中奖概率为pi,奖金数xi，则最公平的分配为

问题：如果是打麻将设置各种局的番数，公平性是主要指标。但是，在买彩票时，人们并不关心公平性，主要出于一种博彩心理。因此还要有描述这种博彩心理的指标。第2个指师标：眉博彩荒心理捧指标在数级学模令型课丈程中提，我辟们曾贩经给颠出心打理指雹标的远分析鲜，如蜂在实泼物交日换中羊，给妄出满咽意度型的描揪述和贪无差乘别曲寸线的杰概念斑。但订实际尊上对河心理盛学问当题的蚊定量锐是困乓难的坏。但朴由于般博彩险是一忽个热倚点问求题，兴人们虽给出笋了大晕量的钢研究箩，给竭出了遮一些里指标鞠模型猴。我架们可赔以直浓接引挨用。鹿例如其中t是单梯注的改收益古率20蛋09肆B题眼科臂病床拜的合帅理安吴排医院趴就医愧排队锤是大俱家都隔非常术熟悉懒的现坏象，酱它以渔这样少或那班样的勿形式膝出现药在我绸们面助前，堂例如胆，患竹者到度门诊复就诊壶、到胖收费只处划矩价、娘到药膜房取劳药、搂到注占射室尤打针老、等拴待住蹦院等易，往拴往需呜要排当队等该待接甩受某互种服面务。我们古考虑铲某医棵院眼五科病仍床的风合理奇安排总的数缘瑞学建凉模问治题。该医幻玉院眼墨科门伐诊每暂天开匠放，黎住院大部共针有病冷床79张。轰该医争院眼漠科手到术主择要分隙四大闲类：捕白内菠障、缓视网库膜疾专病、适青光盟眼和指外伤。附录法中给闷出了20跪08年7月13日至20超08年9月11日这漫段时艰间里钻各类玩病人内的情衣况。白内贤障手勺术较残简单负，而勺且没激有急躁症。胃目前服该院疾是每碍周一踪蝶、三间做白茫内障疗手术恨，此麻类病伪人的污术前暗准备喝时间款只需1、2天。术做两层只眼留的病霉人比申做一锣只眼骗的要练多一李些，旋大约返占到60阀%。如是果要揭做双漏眼是炭周一锄先做挑一只坊，周敢三再航做另份一只态。外伤苦疾病突通常米属于属急症挂，病义床有朽空时纠立即威安排助住院形，住毫院后拼第二尿天便殖会安另排手胖术。其他挣眼科雨疾病齐比较畏复杂覆，有擦各种序不同挪情况扔，但押大致饭住院执以后2-泊3天内斤就可加以接窄受手睬术，晓主要钩是术疫后的素观察溉时间马较长蚂。这羡类疾浓病手魄术时刚间可披根据母需要非安排法，一女般不鸟安排名在周传一、搂周三扯。由予于急且症数害量较清少，狸建模僚时这电些眼晕科疾露病可穴不考胳虑急芬症。该医免院眼欣科手症术条炊件比重较充写分，叫在考夫虑病债床安执排时丽可不陵考虑丧手术雅条件馋的限唉制，风但考填虑到稿手术技医生卖的安铜排问吃题，笑通常章情况岁下白蒸内障蒸手术冤与其跨他眼查科手楚术（半急症填除外忽）不伙安排援在同柏一天若做。市当前巾该住欣院部积对全宗体非翅急症粥病人骑是按睡照FC床FS（Fi斯rs蝴t秃co亮me览,嗽Fi欺rs娇t发se垃rv栽e）规谢则安恋排住卫院，驼但等依待住织院病密人队卫列却厅越来晕越长谷，医盈院方聪面希嘴望你容们能伙通过震数学粱建模弹来帮愚助解被决该律住院衣部的夫病床确合理杆安排疫问题宇，以仿提高登对医商院资忌源的宫有效捐利用疑。问题锦一：试分币析确患定合械理的地评价裤指标钥体系微，用夏以评轻价该汇问题吵的病月床安鱼排模婚型的貌优劣丧。问题盖二：巩试就总该住钟院部荒当前言的情稼况，答建立宰合理功的病厦床安醉排模涛型，医以根描据已长知的风第二说天拟脊出院抱病人哭数来坑确定窜第二燃天应仪该安连排哪惑些病默人住凡院。摸并对辫你们束的模棉型利搞用问跑题一扑中的慨指标定体系饶作出过评价。这一问似题的验核心障是如乞何合普理安亏排医狠院的集病床径，提颗高病院床的宫使用侧效率闷和社先会效通益。医院担是一颜个服仅务单陕位，旋它既性要追夕求经碍济效舱益，俩又要壁兼顾趴社会若效益暮。提踢高病趴床的斥使用骗率是士经济册效益煎，而另提高狡社会面效益梳如何警体现拦呢？我们恭仔细据分析苍问题究：医孟院有穷若干符种不责同眼袭病的经病人桥在排红队等刚候看默病，邪不同穗病情抹的病揉人的讽治疗币时间保不同胖，服势务的孔时间省长度贿不同备，手森术前桂准备宰时间弱不同苦。如功何根战据这洁些病教人的吩排队仙情况掌，制寒定治限疗的斯先后溉顺序文方案孕？我们勤可以货制定皆各种稍治疗酬顺序缘瑞方案江，关赢键的祖是从创中找允出“郑好”令的来劫。这想就需岸要制款定量览化指粘标来惠描述巴什么番是好携，度壤量好霜的程而度。我们芹从两擦个角达度分凶析什斧么是洒好。从病贺人的胁角度丽分析闪：(1扫)排队主等待搅的时闪间越满短越然好。(2场)治疗撞顺序陵尽可耗能公墓平，聪即先完来先诞治疗监。从医慕院的句角度赞分析皇：(1茄)住院梁治疗偿的病遗人越徒多越传好。(2羊)病房霉利用翼率越滋高越崇好。引入赔下面暗的指贯标定篮量描赌述上喊述问雕题：(1爬)病人霞术前距等待头时间(从门站诊到司手术)越短务越好(2份)病人冻术前聋准备厕时间(从住青院到嘉手术)越短跪越好(3震)单位酒时间酸出院踪蝶人数肉越多谣越好阔。定量耕指标狱的表兵述病人正术前平冲均等枯待时烦间(从门初诊到泉手术)(病人到的满斧意度除的一仓种度板量尺喝度)设第j个第i类病称人的灭等待钟入院捕时间罪是Tw(i咽,j蚁)，术坐前准烟备时柱间是Tp(i源,j意)，n(千i)是一段剧时间让内到控门诊泛看病飘的第i类病人师的人签数，则城术前己平均背每个湾人的告等待翻时间勒为病人毒的平愈均术秧前准龟备时拒间：授（病坝床的逃效率恐）平均书每天晒的出去院人浑数（利雨用有占限的蔽病床刚治疗局尽可繁能多连的病游人）其中Nou棍t(i寄,j恨)为第i种病束人第j天出诊院人域数。第二到部分兔：问法题的疤优化雹。由于怕制定压了问宝题的纸衡量踩指标笼，下证一步白就是枪指标急优化指问题客。目受标函矿数为这里叶，目挥标函帽数中挨，Tw(i稿,j控),校Tp(i左,j丧)和Nou愈t(i现,j巷)如何堆表示老呢？20导06隶A题:出版欢社的算资源秆配置出版刘社的征资源害主要煌包括按人力拢资源菠、生寺产资全源、帝资金份和管封理资狱源等猴，它资们都刘捆绑看在书战号上各，经镇过各鲜个部乖门的挎运作拜，形录成成把本（弄策划厌成本仅、编滴辑成亿本、寒生产险成本雪、库农存成炕本、久销售盖成本絮、财喇务与捏管理受成本颠等）森和利跳润。某个勺以教努材类渔出版免物为怠主的驰出版怒社，敞总社姜领导胸每年叔需要男针对裳分社际提交淘的生学产计间划申绑请书因、人购力资枝源情迅况以粪及市肿场信佳息分欺析，将总呢量一滤定的落书号问数合肉理地觉分配惕给各改个分献社，使出氏版的例教材凑产生构最好统的经超济效快益。事红实上汪，由散于各句个分她社提土交的鸦需求作书号轻总量姑远大舱于总悠社的油书号乱总量价，因针此总怎社一亲般以粮增加呢强势痕产品趴支持怕力度克的原北则优叠化资障源配每置。漠资源彻配置粪完成越后，猴各个哥分社央（分劲社以狂学科状划分测）根析据分犯配到狭的书番号数巴量，烛再重芹新对混学科安所属敲每个末课程至作出扩出版秒计划状，付刷诸实脖施。资源踩配置淘是总顶社每征年进北行的互重要触决策厨，直奖接关还系到盛出版围社的当年臂经济犹效益纤和长宽远发艇展战毅略。由趁于市跨场信青息（励主要铸是需探求与染竞争皇力）食通常睡是不逢完全柄的，往企业甚自身钟的数坦据收耽集和叛积累膛也不保足，桥这种豪情况极下的汗决策庸问题溜在我谢国企励业中识是普埋遍存线在的把。本题集附录引中给贼出了卧该出爸版社童所掌孤握的值一些轨数据驾资料恶，请阅你们杂根据球这些燥数据潜资料即，利尿用数亡学建即模的五方法艺，在百信息盼不足闲的条粒件下委，提瞒出以采量化浙分析软为基像础的辰资源另（书望号）听配置嚼方法雅，给窃出一到个明恋确的孝分配盆方案雪，向酿出版伸社提剧供有俱益的坝建议艘。[附录]附件1：问名卷调炭查表石；附件2：问震卷调井查数据(五年)；附件3：各足课程扁计划蹄及实趁际销赚售数据段表(5年)）；附件4：各象课程璃计划鹅申请私或实贫际获僻得的男书号摔数列表(6年)；附件5：9个分去社人修力资须源细讽目。这是一被个管再理问荐题，储问题摇在于翼确定管决策伪变量甲和优烘化指楼标。决策间变量惊：根据闷题意(将总调量一幻玉定的闭书号壳数合阻理地邻分配眉给各轨个分削社，使出姨版的童教材皇产生欠最好犯的经且济效男益)，决策接变量变应该过描述筑书号供的分株配情资况。由一种拖自然聚的选桃择是取分配晕给第i个出梨版社戒第j种书孔籍的塑书号戴数。优化施指标述的设绩定：效益赠：设趋第i个分陷社第j门课胀程书学目利格润均暴值为Rij，销缝售数探量均常值nij，则新总利枪润为另外鸣，题戒目上匆提到当年女经济贸效益徒和长述远发宁展战略。长远楼的效聪益如目何描鉴述？孙这是锦一个梦定性窄的问模题。某许多舱文章乳把读拢者对耳出版旋社的贝满意卵度作泥为达壤到长律远目牺标程狭度的贪一种易度量乡丰。记