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等腰三角形中的分类讨论(含答案)

等腰三角形中的分类讨论类型1：对顶角和底角的分类讨论在等腰三角形中，已知一个角的度数，就能算出其他两个角的度数。如果不确定这个角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论。在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等。例如，若已知等腰三角形中有一个角为52°，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°。所以一腰上的高与底边的夹角为26°。如果已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°。因此，所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°。类型2：对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论。判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。例如，已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长。周长为19cm或20cm。又例如，等腰三角形的一边长等于8cm，周长等于30cm，求其他两边的长。其他两边的长为8cm，14cm或11cm，11cm。类型3：几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论有时，几何图形之间的位置关系不明确，需要进行分类讨论。例如，已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝80°，求∠CAD的度数。如果C、D两点在线段AB的同侧，则有∠CAD＝15°。根据勾股定理，得AB＝10cm，∴BP＝AB－AP＝10－2＝8(cm)，BQ＝BC＝6(cm)，∴PQ＝BQ2＋BP2＝362＝45(cm)．∴出发时间为任意时间时，△PQB不是等腰三角形．③当CQ＞BC时，如图3所示，设Q运动t秒后到达点E，则CE＝CQ－BC＝t×2－6(cm)，BE＝BP＋PE＝8＋t×1(cm)，根据勾股定理，得BE2＝BC2＋CE2，即(8＋t)2＝6t2－24t＋52，解得t＝2或3(秒)．∴当Q运动2或3秒后到达点E时，△BCQ为等腰三角形．根据题意，有BC+CQ=12cm，因此t=12÷2=6秒。当BC=BQ时，如图3所示，在B点作BE⊥AC于点E，有AB·BC=6×8，因此BE=4.8cm。又因为AC=10，所以CE=√(BC^2-BE^2)=3.6cm。因此CQ=2CE=7.2cm，BC+CQ=13.

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