正余弦定理应用举例

关于正余弦定理应用举例第1页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三问题提出1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？第2页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；余弦定理：两边与夹角或三边.3.在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长.对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行计算？构造三角形第3页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析.第4页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三距离测量问题第5页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考1：如图，设A、B两点在河的两岸，测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边选定一点C，若测出A、C的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B两点的距离？CAB第6页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否有影响？CAB第7页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？CAB选定一个可到达点C；→测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小→利用正弦定理求AB的距离.第8页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考4：根据上述测量方案设置相关数据，计算A、B两点的距离公式是什么？CAB设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β.第9页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考1：如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝，你能求出CD边的长吗？ABCD30°45°45°75°第10页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：设A、B两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算A、B两点间的距离吗？CDAB选定两个可到达点C、D；→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大小；→利用正弦定理求AC和BC；→利用余弦定理求AB.第11页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考3：在上述测量方案中，设CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC和BC的计算公式是什么？CDAB思考4：测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？第12页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例某观测站C在城A的南偏西20°方向，由城A出发的一条公路沿南偏东40°方向笔直延伸.在C处测得公路上B处有一人与观测站C相距31km，此人沿公路走了20km后到达D处，测得C、D间的距离是21km；问这个人还要走多远才能到达A城？ACBD东北15第13页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三小结作业1.在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高.2.距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，其中测量数据与基线的选取有关，计算时需要利用正、余弦定理.第14页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三作业：P13练习：1，2.第15页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三1.2应用举例第二课时第16页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三问题提出1.测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？CAB第17页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？CDAB第18页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题.第19页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三高度测量问题第20页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（一）：利用仰角测量高度思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角，若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？CAB计算AC的长第21页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些数据就可计算出AC的长？CABD点C、D观察A的仰角和CD的长第22页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，那么建筑物高度AB的计算公式是什么？CABD第23页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考4：如图，在山顶上有一座铁塔BC，塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？ABC第24页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考5：设在点A处测得点B、C的仰角分别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算公式是什么？ABCD第25页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（二）：利用俯角测量高度思考1：飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？A飞机与山顶的海拔差第26页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三ABCD思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β，B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计算公式是什么？第27页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（三）：借助方位角测量高度思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8°，根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？ABCD东西1047m第28页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：若在A、B两处测得山顶D的仰角分别为α、β，从A到B的行驶距离为a，能否求出此山的高度？ABCD东西思考3：在上述条件下，若在A处还测得山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？第29页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三小结作业1.解决物体高度测量问题时，一般先从一个或两个可到达点，测量出物体顶部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相关数据.具体测量哪个类型的角，应根据实际情况而定.通常在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角.第30页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三2.计算物体的高度时，一般先根据测量数据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体顶部或底部到一个可到达点的距离，再解直角三角形求高度.作业：P15练习：1，2，3.第31页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三1.2应用举例第三课时第32页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三问题提出1.测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？一个可到达点与一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离.基线长和张角.第33页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？仰角、俯角或方位角.在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角.第34页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容.第35页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三角度测量问题第36页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（一）：测量行进方向思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C，那么A、C两点间的直线距离是否确定？如何计算？CAB东北AC=113.15海里第37页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：在上述问题中，若海轮直接从海港A出发，直线航行到海岛C，如何确定海轮的航行方向？CAB东北沿北偏东56°的方向航行第38页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，以20nmile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确定？CAB东北甲船的航行速度第39页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考4：在上述问题中，若甲船的航速为 nmile/h，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在C处相遇？CAB东北沿北偏东30°的方向航行第40页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（二）：测量相对位置思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°方向，且与甲船相距9nmile的B处.在点B南偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别以28nmile/h和20nmile/h的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与小岛的距离是多少？CAB东北15海里第41页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思考2：在A处观察小岛，其位置如何？CAB东北南偏东7°，相距21海里第42页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三理论迁移

例在A处有一条小船，在点A的北偏东30°方向有一个小岛B，这附近海域内有北偏东60°方向，且速度为4nmile/h的潮流.已知小船的航速是10nmile/h，若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？CAB东北北偏东18.46°第43页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三小结作业1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计算.2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路.第44页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想处理.作业：P16练习：1.

P19习题1.2A组：1，2.第45页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三1.2应用举例第四课时第46页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三问题提出1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据.2.以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究.第47页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三三角形中的三角变换第48页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三探究（一）：三角形面积的计算思考1：在△ABC中，若B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的面积？第49页，讲稿共54页，2023年5月2日，星期三思