数学老师的三项基本功

数学教师的“三项基本功”郑毓信（2012，4）简介1965年毕业于江苏师范学院（现苏州大学）数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作28部，发表论文300多篇。背景课改十年的总结与反思：“立足专业成长，关注基本问题。”（2010）进一步的思考：一线教师如何实现自己的专业成长？一个相关的问题数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？数学教师的三项基本功：（1）善于举例；（2）善于提问；（3）善于比较与优化。这方面的具体工作郑毓信，“数学教师的三项基本功”，《人民教育》，2008年第18、19、20期连载，并已被收入“《人民教育》创刊60周年系列丛书”。郑毓信，《数学教师的三项基本功》，江苏教育出版社，2011必要的提醒面对任一新的主张或时髦潮流，我们都应冷静地思考：什么是这一主张或口号的主要内涵？这一主张或口号能为我们提供什么新的启示和教益，特别是，具有怎样的现实意义？什么是其固有的局限性或可能的消极后果？基本认识“三项基本功”集中反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。“三项基本功”不应被理解成单纯的技能；恰恰相反，只有联系深层次的教学思想和教育思想我们才能真正理解它们的内涵和意义。我们并应联系自己的个性特征创造性地对此加以应用。一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：thescienceofpatterns）数学所反映的不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

进一步的分析数学基本特性：抽象性。“善于举例”的两个具体涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？学习绳心理伙学研技究的榨相关机结论“概腊念定爽义”撤与“攻概念谦意象借”的轿必要毁区分削。概念挤意象凭的多理元性拨：它陪“由围所有芒的相络关实舅例、筑反例趟、事购实和张关系活组成尊。”帅（维巨纳与锤赫什娃科威舟兹，浑19酷80伸）（1迷）什对么是贵“适俘当的孔例子构”？标准爪之一钻：相晚对于钥学生蛇的可掠接受书性；标准偷之二续：典援型性滋，即宏是能析为相横应的杜数学胜抽象盐提供惜必要咳的基胜础。这方悉面的端一个絮基本插事实创：举因例并浙非一旨件易拘事。[例范1]敢“恋范例差教学玩法”拒（R葵.沟Da怕vi喘s)为了介帮助援学生券掌握锁负数板的概拍念，定特别掘是有糕理数装的运理算（绵如4底-盛1葡0委=吨?）抚，教分师采聋用了铲一个哀装有标豆子枣的口端袋，味再在祖桌上速摆上萌一些阿豆子尼。教师牢先在棕口袋绒中装论入4升棵托豆子家，同臂时在卵黑板启上记威下“如4”母这样抬一个矛数字供；然谋后从虚口袋富中拿崇出1伪0棵兄豆子挡，这铜时黑描板上桑就出第现了旧“4项-押1阿0”宿这样离一个姐算式掀。教师六接着量提问牧：（昨1）塑现脸在口困袋里皂的豆哨子与拴一开界始相楚比是蹦变多篇还是浓变少大了？灭（2）芳少添了多拾少？影…相关罢的分宽析这些颠实物颜和动德作对蒸于学宜生来震说都向是十孕分熟骡悉的觉。好的营“认泽知基搁础”攀并应等具有识这样砍的性子质：笼它能姑“自汇动地爱”指碑明相悦关概考念的夸基本肃性质艰或相广关的框运算透法则旱。这暗就是商指，躲借助匹于这广一实础例学座生可犯以顺铁利地麦作出管相应期的发别现。臣如学愚生在昨此显庆然就掘可借仿助所穗说的柴实例荣顺利终地实匹行缺4改-私10迅、5欧–所8鹿等运浴算，盘而无药须依洋赖于见对相它应法棵则的判机械睛记忆彼。[例滔2]傍“左植树狮问题尚”的闪教学我们咽应当辛如何酬看待狠“植番树问妥题”重的教宁学：旦这一吓问题拉所发墨挥的铜究竟面是案惯例的鸦作用限、还将是应矩当集刮中于朋“三号种情航况”榨的区责分以草及相港关规叨律的征发现态与应垒用？“模姓式的藏建构浪”比赌“三荒种情买况”森的区续分”行更加手重要肠，这与也就他是指犯，我僻们在农教学磁中应奶当更专加关矮注如估何能蛛以“伏植树育问题传”为扶背景同抽象每出普耻遍的编数学苦模式帝：“碎分隔五问题街”。（2惕）如何追帮助恢学生井由实导例抽葱象出凉相应怀的数番学概至念？关键煎之一调：去垦情境腹；一个本辩证凤的关尽系：集范例峡的作上用与屿必要季的抽外象；相关冷理论基：“挡变式票理论眯”（食“概烧念变榆式”链）。核心赤思想劝：如多何通酷过适烧当的答变化咳帮助雷学生捧掌握流相关斧概念衔的本喉质。“概帽念变逢式”腿的主姻要内监容：（1粱）“汽标准撞变式巴”与载“非房诚标准叛变式磁”：教学吗中不鸟应局贱限于腔平时抱经常乏用到暂的一世些实队例，胞而应屿有意携识地哲引入垃一些划“非龙标准佣变式阴”，风从而蹲就可京防止矛学生兽将相祥关实抽例的环一些煮非本谜质特撒性误岔认为县概念奸的本归质特抵性。（2鹊）“桑概念祸变式穗”与区“少非概疼念变抗式”董：“非系概念锯变式亩”大庸致地丧就相碎当于嫩“反顺例”贞，这悼也就元是指困，除土去“哪正例盐”以钟外，确我们挨在教岛学中狱还应勤给出智若干挽“反汤例”童，这丝式样通验过对编照就呈可帮准助学劈燕生更慕好掌米握概西念的贩本质板。[例图]灯“认司识分肺数”引入以：“龄分蛋自糕”说。教尽师并终通过吸简短舅讨论适引出症了这岔样一涝个结族论：捎“将锡一个阻蛋糕阁平均腊分成叠两份吃，每寺份是子它的糠1/批2。棕”问题餐：如报何以逝“变币式理衫论”刻（概绑念变点式）唇为指触导设祖计教槐学从例而帮海助学休生较州好掌健握分添数的狱本质胸？（1蛾）愤分割改的对供象显拥然未泻必一摘定要显是蛋测糕，沸也可研以是伸纸片评或别软的什溜么东伯西；白对于佩分割澡对象查的外翁形我晶们也全不应鼠作任驶何限峰制：胀它们看既可宅以是引圆形辛，也抚可是梢方形默或任时何其缎它形林状。（2辞）对伙分割阻方法垫也可晚作出表一定件变化齐。如磁就长吓方形茧纸片踩的分蒜割而插言，彼可以慕横着光折，但也可怖以竖狱着折债，还征可钭催着折提；另绸外，筛除去丘各个至“正除例”酷以外英，我窝们也秃应引啊入一闸定的武“反猴例”锄，如搬按照下中位撑线分暖割的小梯形献等（3与）作风为进岁一步雨的抽双象，练我们俭又应对由1卫/2撤逐步火扩展萍到1砌/3达，1员/4阁，…靠…乃京至2寨/3指，3冷/4经，…港…。芦从而晨，如摆果仍虽然集不中于喊“将违一个项蛋糕饿平均席分成重两份乖，每篮份是楚它的所1/持2”搬这一帅论述极，我除们就互可以择说，妨除去旗分割敢的对暂象与趋方法杀以外盐，我渣们也炭应对潮“平捎均分折成两愿份”座中的麦“两蕉份”显以及拔所说锅的“独每份该”作丑出适潜当变趁化。（4须）这骡事实桑上也牧可被翁看成邀“非跟标准怀变式厕”的养一个叉实例及，即狗分配梁的对腾象也振可以果是2裂个蛋险糕、存3个尤蛋糕禾，而枪未必段一定阀要是制1个驴蛋糕狐——捕容易零看出富，这想一变伙化事最实上枝也就葬意味俊着我底们已待经将价分析炕的着晨眼点锈由“姓（平犁均）睁分配洁”这啦一实咏际活哈动转捷移到稀了部怒分与攻整体酱之间衫的关缺系，羊后者裙并就身意味扇着对钩于分偶数本哑质更排为深伟入的隔认识毙。新的竖重要榨发展送：由税“变春式理柏论”肾到“丹多元他表征铜理论瞎”传统项的研帜究：偿主要趴集中就于如罩何能更够通厘过适典当的螺举例痰帮助龙学生胞较好上掌握害概念庭的本炭质（工单一同表征支）。新的苏认识讲：更稻加强难调概耳念内禽在表粉征（位概念夸意象突）的他多元录性，撞以及揉各方损面的紧必要被互补有与思修维的钢灵活辜性一些范相关庄的提损法布鲁开纳（剃19担64磨）的爷三种纠意象规形式纷：动透作的似、图侵像的货，和泼符号菜的；Le婶sh界&哀L子au感da蝴n（弊19沙83乓）的昏“五状个维蓄度”眯：实妹物操访作，异图像疑，日贞常语尽言，防符号料语言慕、现举实情活景。必要懂的概照括教学厨中应你当很亿好处尿理形苍式与李非形师式之胳间的裹关系贸。特别绝是，愉我们哄既应砍高度胃重视落由实帽例向湾严格病定义谎的必演要过肆渡，该同时毛又应购适当民的“逐淡化掠形式颤”，汉并高纷度重悦视认溪识活搞动的白复杂胆性（斩多元惊性）甩与整蛋合性泉。一些撤具体妥的教爹学建疼议（1条）视战觉形痒象与最符号犹表征带的必瘦要互性补：当前柱应当蒸加强拜的环挖节：荡“教节师用掌手势锦说明说自己些的表好征；踪蝶或者滨教师绢使用牌空间菜表征芬，比故如代抗数学明习中凡的箭剩头说苹明自违己的丢表征州；教程师并控有意按识地辟促使隐学生打建构即和运太用表等征；速教师拼要求熟学生讨以手拒臂、虎手指醋或身盈体移姑动等浓展现段表征买的肌拆体运暴动；竹……狗”（允普雷米斯梅甲杰，隐20料06浊）（2狱）日常释语言涨与数中学语口言的肢必要肿互补教学京中不笨应停婚留于除严格猴的数冠学语戏言，执而应驴注意伪应用六日常绕语言枣对相稍关内脂容作凑出必侍要的随解释望。这慎事实垦上也译就是凶比喻弊与类渔比何前以在退数学镇教学赖中同廉样具会有广垦泛应共用的老重要练原因慢，教迎师并南应要结求学窜生用惑自己桥的语曾言说单出对盘数学碗概念坝的理芬解，裳甚至相是感顺受。关键厅：我效们既僚应对蹈学生陶的非级正规粥解释马持接拼受与川理解软的态票度，氏同时衬又应专注意肝维护漂数学凤的正捎式意准义。[例霸]框正方棕形的宴认识教师昼：“袖什么路是正劳方形传？”学生要：“灰方方豆正正唤就是赞正方谱形。从”教师朽：“益什么亭是方怕方正干正？梦”学生相：“恼就是劳四边刺相等控。”教师糠在黑发板上洪画出怠菱形芬，问腐：“涌这个挖图形惜是否幸是正渡方形毫？”学生瞎：“部不是记，因锻为它燃不正才。”教师眉又在冰黑板菜上画骗一个陷矩形讽，问庄：“锁这是连否正旁方形锯？”学生肚：“尾不是析！因泄为这皆个图房诚形不东方。纯”……枯…教霉师将犬学生市回答暖得正保确的叛结论览写在胀黑板透上，朝回答茄不正奶确的绸不写吗，最谈后加焦以补畏充总挂结，幻玉抽象夏出正狂方形歉的定丹义。（3篮）操伞作性隆认识课与结困构性变认识编的必李要互犹补当前狼应当劈燕加强休的环俊节：异活动蛮的内挤化；左由操升作性亦认识打向结茧构性奸认识址的必飘要过得渡。相关孩的论损述：罗“对资概念境教学喝，课攀改以跌后更茅为强窑调概穿念的泽生成呜，这酒是正刺确的鸟。但狭不能咱忽视稠对概编念本妄身的岂分析看，这指可是尘基本舱功。蒜”（蹲陈永萝明，铁20蝇08右）更为欣一般碎的分笨析具体鉴内涵某：“桨为了烈理解胆一个集概念珠，一缴般说昂，一楚是正艘反举偶例；独二是何扣住愁定义私的关热键词汇语；失三是岂注意弄特殊奇情况割；四昏是与诸有关雹概念旱进行裁比较锦，找获出概得念的知区别锹和联袜系。按”（陈抵永明鞠，2光00悔8）更为扑一般呼的论赞述：开概念森的生桂成、柔分析在与组率织。数学押活动特的两役个基驳本形腿式（1练）概伯念的巨生成吓、分是析与领组织依；（2凶）问宋题的剪提出肠与解贞决。举例和与“吩问题岛解决略”“要够求学柏习者两……炊解决外问题蒙时，扑必须江通过帆提供丑相关误案例蔬……认向学描习者贪提供载他们尝不具票备的唉经验搜……恶通过当在学毒习环负境中洋展示方相关拜案例煎，…应…向铸学习汽者提响供了妖一系秤列的巧经验芒和他间们可冬能已删经建肥构的违与这差些经茶验有期关的隶知识享，以蔬便与辰当前权的问税题进证行对案比。喘”（找乔纳条森样）相关娃的经它验“我京提倡顿‘一留题一煌课，漏一课逐多题肢’—丛—一挤节数场学课桥做一渠道题嫌目，须以一汪道题新为例资子讲冰解、床变化鼓、延懂伸、导拓展炒，通哈过师第生互柳动、散探讨气、尝肺试、扫修正援，最纷后真匙正学暮到的茄是很轮多题钥的知信识。信”（还李成绸良，评20讯10辩）更为棚一般脆的主序张“双块基教睛学”污的必能要发报展：基本西技能陷，不吸应求决全，顺而应蔑求变章；基础迅知识然，不酸应求疑全，烦而应午求联悦。[例欣]馋回到龄“植哈树问夺题”问题泄：教恨学中将是否联应当淋特别矛重视盆“两刑端都搬种”贵、“冶只种群一端泡”与晴“两碌端都窃不种它”这散样三姨种情叛况的贡区分潮，并旗要求孝学生破牢牢谋地记地住相册应的勺计算嫩法则挤（“雅加一继”、短“不警加不询减”献、“匀减一机”）知，从翁而在品面对丢新的仿类似驻问题怠时就愧能不延假思罚索地中直接置应用纹？有益网的思平考就“许植树狡问题筑”而继言，贩在现挽实中畜是否窝真的晨只有娘“两钻端都挨种”射、“歼只种显一端联”、砌“两贺端都熄不种繁”这六样三铲种情正况？对于虹其它拼的可皆能情作况我芝们又汗是否泼也应如要求蚂学生抛总结种出相庆关类胀型，恩并牢抵牢记亦住相响应的宵“规解律”赔（“爸加二余”、袍“减算二”妇、“脚乘二敬”、锈“除老二”桐……克）？插入婚：一腹个“贝反例切”教学拜中的撕“病舞态现逐象”窄（施季银燕药，《肌小学享教学布》，论20呆11射年第璃4期统）：“小阁明踢获球，蒙从3亭时踢劫到5识时，屠他踢洞了几菌小时运？”抗我的映孩子元有得蹈3小井时的讨，通笼过数切数就饿能检火验出敢是错捆误的街，他岛们却他深信晓不疑槐：‘影我们台学过江植树击问题最，5缎-3陆+1朱=3喷。”不同差的结勒论所谓素的“澡加一瞎”、眠“减序一”我等法纪则都猫是针逃对具爪体情围况作昼出的芒变化肃——权从而踢，在咬此所贩需要蹦的就伪不是胃“规嫌律的辽应用堂”；若而是退思维教的灵各活性蛋，也逢即如忙何能喊够通颂过基床本模左式的怀适当始变化碗适应矛变化矿了的孔情况诞。回顾肤：基裁本法太则的拼学习曲，不雄应求扎全，眼而应臭求变潜！小结“善渔于举陵例”技的主躁要意栋义即盲是有知利于冷真正锄实现代“理梨解学庙习”优。相关痕的研短究不盐应局阴限于赌如何筋能够漫针对先具体我的教改学内捞容选工择出宏适当性的“她例子鞠”，存而应劲更加更重视肺如何络很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