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上海实验学校高三数学测试试卷2022.04一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)1.已知,,则___________.2.抛物线的准线方程是___________________.3.已知样本的平均数和方差分别是1和4,若的平均数和方差也是1和4,则__________.4.已知复数满足,若,则值为___________.5.某工厂的产值第二年比第一年的增长率是,第三年比第二年的增长率是,而这两年的平均增长率为,在为定值的情况下,的最大值为___________(用、表示)6.设、为两个随机事件,给出以下命题:(1)若、为互斥事件,且,,则;(2)若,,,则、相互独立事件;(3)若,,,则、为相互独立事件;(4)若,,,则、相互独立事件;(5)若,,,则、为相互独立事件;其中正确命题的个数为___________.7.若函数是幂函数,且其图象过点,则函数单调递增区间为___________.8.在中,内角成等差数列,则___________.9.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等,圆锥的母线长是底面半径的2倍,若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍,则圆柱的高是底面半径的__________倍.10.已知二次函数,当时,其抛物线在轴上截得的线段长依次为,则的值是___________.11.如图,圆是半径为1的圆,,设,为圆上的任意2个点,则的取值范围是___________.12.已知,对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,都有,则的最大值为___________.二、选择题(本大题共4题,满分20分)13.下列命题正确的个数是()①;②若,,则;③使不等式成立一个充分不必要条件是或;④若、、是全不为的实数,则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件.A. B. C. D.14.新冠疫情期间,网上购物成为主流.因保管不善,五个快递ABCDE上送货地址模糊不清,但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方,全部送错的概率是()A. B. C. D.15.如图①,用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究,其中比利时数学家Germinaldandelin()的方法非常巧妙,极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,两个球分别与截面相切于,在截口曲线上任取一点,过作圆锥的母线,分别与两个球相切于,由球和圆的几何性质,可以知道,,,于是.由的产生方法可知,它们之间的距离是定值,由椭圆定义可知,截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②,一个半径为的球放在桌面上,桌面上方有一个点光源,则球在桌面上的投影是椭圆,已知是椭圆的长轴,垂直于桌面且与球相切,,则椭圆的焦距为()A. B. C. D.16.已知实数,,满足:对任意都成立,则().A. B.C. D.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.如图①,在棱长为的正方体,设是的中点.(1)过点、且与平面平行的平面与此正方体的面相交,交线围成一个三角形,在图②中画出这个三角形(说明画法和理由);(2)求四棱锥的体积.18.已知.(1)若,,解关于的不等式;(2)若,在上的最大值为,最小值为,求证:.19.如图,在矩形中,点为的中点,分别为线段上的点,且.(1)若的周长为,求的解析式及的取值范围;(2)求的最值.20.已知动点P到定点的距离比P点到直线的距离小2,设动点P的轨迹为曲线C.过定点的直线与曲线C交于A、B两点.(1)求曲线C的方程;(2)若点E的坐标为,求证:;(3)是否存在实数,使得以为直径的圆截直线:所得弦长为定值?若存在,求出
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