黑龙江省名校2023届高三上学期期中考试数学试题汇编附参考答案（共2套）

黑龙江省名校2023届高三上学期期中考试试题汇编（一）7.正四面体内放入一个可以自动充气的球,当球和四面体的面相切时•,球的半径与该正四面体的高

的比值为（）

数学试题

A.JB.~C.2D.7

试题说明:1、本试题满分150分,答题时间120分钟。

2、请将答案填写在答题卡上,考试结束后只交答题卡。8.己知:<P<a<，,且sin2asin£-cos2asin，=%sin20cosミ+cos20s呜=争贝リsin（2a-20）

第I卷选择题部分

的值为（）

ー、选择题（每小题只有一个选项正确,共12小题,每小题5分,共60分。）

A.逗B.立C.一型D.力

1.设集合ん={%]-1Vx—aVl,x€R},B={x\l<x<5,xeR},若ACB=0,则实数a的取值

9.yj4y+(y-1尸+J(2けー1)2+(y-5ア的最小值为()

范围是（）

A.5B.2+V17C.6D.1+V26

A.0<a<6B.a<0或。>6C.a<2或。>4D.2<a<4

10.已知函数f(x)=ル点二;;乂1，则方程f(/(x))=!的根的个数为()

2.已知点A（l,l）,8（4,2）和向量五=（2,ス）,若力画,则实数ス的值为（）

A.7B.5C.3D.2

A.号B玛C,10."J

H.将等比数列{0}按原顺序分成1项,2项,4项,...，2广1项的各组,再将公差为2的等差数列

3.已知（2ーりラ二岸021,则复平面内与Z对应的点在（）

{%}的各项依次插入各组之间,得到新数列{c„}:玩,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,

A,第一象限B.第二象限C.第三象限D,第四象限

新数列{cn}的前れ项和为若ユ=1,c2=2,S3=合则Sユ。。=（）

4.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党

C

史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:-謳72一(ザ］D,130一(ザ

党史学习时间（小时）789101112.已知函数/（x）=也里ア有两个零点a、b,且存在唯一的整数xo€（a,b）,则实数m的取值范围

党员人数610987

是（）

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）

A.(〇,1)B.件,1)仁時,;)D.(0,竽)

A.8,8.5B.8,8C.9,8D.8,9

5.3名男生,2名女生站成一排照相,则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（）

第D卷主观题部分

A.72种B.64种C.48种D.36种

二、填空题（每小题5分,共20分）

6.过点（3,1）作圆は-1プ+メ=1的两条切线,切点分别为小ん则直线んB的方程为（）

13.已知随机变量X~B（6,p）,丫〜N302）,且p（y^2）=ラ,E（X）=E（Y）,则p=_

A.2x+y-3=0B.2x—y—3=0C.4x—y-3=0D.4x+y-3=0

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14.已知ス={x|14x43},对于任意的士",都存在x?”,使得対-3メ2>旳+1成立,其(1)完成上面的2x2列联表,并依据a=0.05的独立性检验,能否认为求职员エ的业务水平优

良与否与性别有关联;

中"7<0,则“7的范围是^_____

(2)该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查,以获

15.已知椭圆5+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,左顶点为4,上顶点为B,点P为椭

取求职者的心理需求,进而制定正式录用的方案,按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9

圆上一点，且PF2丄F/2•若4B〃PFr则椭圆的离心率为ー

个人的样本,并在9人中再随机抽取5人进行调査,记5人中男性的人数为X,求X的分布列以

16.已知0<a<l,0<b<l,不等式a^+x+8NO对于xeR恒成立,且方程んY+イ+〇二〇有实

及数学期望.

根，则‘ー+告的最小值为______

1ー。1-b参考公式:ズ=西體課冋,n=a+b+c+d

三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,第18-22题每小题12分,共70分.解答应

a0.1510.050.01

写出文字说明、证明过程或演算步骤)

乙2.0722.7063.8416.635

17.(本小题10分)

设分是等比数列加高的前几项和,«1=1,且S「S3,S2成等差数列.

(1)求{%}的通项公式;

(2)求使S”43Q,’成立的れ的最大值.

19.(本小题12分)

18.(本小题12分)

在△ん中,内角ん,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足さ=1+吗.

某公司对400名求职员エ进行业务水平测试,根据测试成绩评定是否预录用.公司对400名求btanB

(1)求角力:

职员エ的测试得分(测试得分都在［75,100］内)进行了统计分析,得分不低于90分为“优”,得分低

(2)角4的内角平分线交BC于点M,若a=4，7，4M=3百,求sin4MC.

于90分为“良”,得到如下的频率分布直方图和2X2列联表.

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20.(本小题!2分)22.(本小题12分)

如图,在三棱柱4BC-ムBig中,侧面ル!1。ル丄底面4BC,侧面ん41cle是菱形,2M。=60。,已知函数Z"(x)=2xex—ax-alnx(aGR).

NACB=90°,AC=BC=2.

(1)若。=2e,求函数Z'(;0的单调性;

(2)若函数“乃有两个零点,求实数a的取值范围.

(1)若D为ム。的中点，求证:4D丄ムB；

(2)求二面角ん-ArC-Bi的正弦值.

21.(本小题!2分)

已知椭圆C:号+，=l(a>b>0)的离心率为キ椭圆的短轴端点与双曲线?ーメ=1的焦点重

合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线!与椭圆相交于んB两点.

(1)求椭圆。的方程;

(2)若点B关于x轴的对称点为点E,证明:直线4E与x轴交于定点.

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参考答案

（1）完成上面的2x2列联表,并依据a=0.05的独立性检验,能否认为求职员エ的业务水平优良

1-12BCCADACBCAAB

与否与性别有关联;

1D11AVs“イ4A/2

13.§14,〃［〈ー115.Y16.4+--—（2）该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调査,以获

取求职者的心理需求,进而制定正式录用的方案,按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个

17.（本小题10分）

人的样本,并在9人中再随机抽取5人进行调査,记5人中男性的人数为X,求X的分布列以及数

设治是等比数列｛即｝的前れ项和,%=1,且Si，S3,S2成等差数列.

学期望.

（1）求｛册｝的通项公式;

n(ad-bc)2

参考公式:x2=,n=a+b+c+d.

（2）求使<30n成立的n的最大值.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】解:⑴设等比数列｛册｝的公比为q（q*0）,因为&,S3,S2成等差数列,所以2s3=S1+S?,a0.1510.050.01

所以2（Q］+。2+@3）=+（%+。2）,所以。2+2a3=。2+2a20=0,ら2.0722.7063.8416.635

因为めH0,所以q=イ所以｛册｝的通项公式为る=（一力1.解:（1）得分不低于90分的人数为:400x（0.04+0.02）x5=120.所以填表如下:

男女合计

（2）由（1）得・=1ズ三鲁号ロー（ー»リ,由SnW3时,得京一（一；）力」3（ーけー,

优（得分不低于90分）8040120

即（一う吋1>;,当れ为偶数时,（一う吋1=-（5）n-1<0,舍去.当れ为奇数时,（一う"T=C）nT>；,

良（得分低于90分）160120280

所以n-1<2,即n43.所以使%<3Qれ成立的れ的最大值是3.

合计240160400

18.某公司对400名求联员エ进行业务水平测试,根据测试成绩评定是否预录用.公司对400名求职根据列联表中的数据,经计算得到ズ=喘就號響=謂二3.175<3.841=マ,

员エ的测试得分（测试得分都在［75,100］内）进行了统计分析,得分不低于90分为“优”,得分低于90所以依据小概率值a=0.05的独立性检验,不能认为求职员エ的业务水平优良与否与性别有关联.

分为“良”,得到如下的频率分布直方图和2x2列联表.

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(2)得分为优秀的男女比例为80:40=2:1,所以9人中男性有6人,女性有3人.在△4¢“中，由余弦定理得CM2=122+(3V5)Z-2-12-3V5COS£=63,所以CM=3け.

因此X的可能值为2,3,4,5P(X=2)=誓=合=もP(X=3)=擎=M=/P(X

由正弦定理得諮加=焉前，代入算得sin4MC=9・

典一ざ,一三.P(X_5)一碧_£ーエ

琦"126-14^^~b)~瑞"126"21*(也可在△4BM中,同理算得sin/4MB=等，然后推得)

所以X的分布列为:

X2345

20.(本小题12.0分)

51051

P如图，在三棱柱4BCームB1G中，侧面ル!停1。丄底面4BC,侧面ん41ce是菱形,ZA^AC=60°,

42211421l

NACB=90°.AC=BC=2.

X的数学期望为:E(X)=2X^+3X号+4X^+5X&=R.

19.(本小题12.0分)

在△4BC中,内角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足さ=1+"；.

btans

(1)求角ん

(2)角4的内角平分线交BC于点M,若a=4b,AM=3百,求sin4MC.

解:(1)因为さ=1+”,在△48。中，由正弦定理可得誓=1+穹,

ゝ,btanBstnBtanB

化简可得2sinCcos4=sin(ん+8),因为ス+8=アー。,所以cosA=M所以ん=g.

(1)若D为ムC的中点，求证:4D丄ムB：

(2)由S△んむ=S△んBM+S〉ACM、得:bcsinA=；-AM-bsin^CAM+；•AM•csin^fBAM,(2)求二面角4ームC-Bi的正弦值.

【答案】解:因为侧面ム。丄底面侧面底面u平面

即ンbcsinW=:,AM•附展+し4时•csin二化简得be=3(b+c).①(1)4Gy1BC,44GCnABC=AC.BC4BC,BC±AC,

所以BC丄平面ん4iGC.因为4Du平面んへGC,所以BC丄4D.

又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosAy化简得川+¢2一反=112②

又四边形ん是菱形,所以△ル!ル是等边三角形,因为为ム。的中点,

41cleZAXAC=60%D

联立①②,解得b+c=16,be=48,所以b=4,c=12或b=12,c=4.

所以丄因为平面所以丄平面

4D41C.4iC,BCuAiBC,<41CnBC=C,4D4iBC,

当ら=4,c=12时，

因为んBu平面んBC,所以ん〇丄ムB：

在△ACM中,由余弦定理得CM?=42+(38)2-23次cos£=7,所以CM=4.

(2)取4c中点。，连结ム。.因为△ん41c是等边三角形,所以ム。丄スC.

由正弦定理得最赢=諡而，代入算得sin4MC=ポ・因为侧面ん41cle丄底面んBC,侧面4ムGCn底面4BC=4C,A、0u平面AA、C、C,所以ム。丄

当b=12,c=4时,

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底面ABC.(/)求椭圆。的方程;

在底面4BC中,过点。作。E〃BC交4B于点E,则。E丄4c.以。E,0C,。ム所在直线分别为x轴,(〃)若点B关于x轴的对称点为点E,证明:直线ルE与x轴交于定点.

y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.【答案】解:①由双曲线?一M=i得焦点(0,士遅),得/,=遍,又eぞ=もa2=b2+c2.联

立解得。2=4,C=1,

故椭圆C的方程为;?+?=L

(y=%(x_4)

(〃)设直线l：y=k(x-4),点ス(Xi，yJ,8(X2，y2)，则点E(め,ーカン由1ざ+ビ=］，

得(4が+3)x2-32k2x+64k2-12=0,A=(32k2)2-4(4k2+3)(64ゼ-12)>0,

解得-：<k<う从而ム+め=謀,ムめ=う詰，

直线AE的方程为y-%=台差(x-xj,令y=o得ス=誓丝,

2XIX2-4(X1+X2)2ス淳石二返亘

代入力=々(必ー4),y=旗めー4),化简得x=即X==1故直

2XJ+X2—8

因为4c=BC=2,所以4(0,-1,0),C(0,l,0),ム(〇,0,75),5(2,1,0),所以石で=(0,1,-百),无瓦=

线AE与x轴交于定点(1,0).

近=(2,2,0).

22.已知函数/(x)=2xex—ax-alnx(a62).

1ム&即(五.ムc=y-V3z=o,

设平面ム。当的法向量石・=(x,y,z),则｛?

丄A^BltI広,スi瓦=2x+2y=0,

(1)若Q=2C,求函数Z'(x)的单调性;

取z=l,则y=V5,x=一遍,即/=(一V5,6,1).取平面ん41c的法向量雨=(1,0,0),

若函数/有两个零点,求数的取范.

设二面角ル-A.C-Bi的大小为9,则|cos9|=|cos<ス6|=萼署=阴=亨,所以sin。="(2)'(X)实a值围

所以二面角ん-ムC-的正弦值为平.解:(l)Q=2e,广(x)=2(x+l)e"-2"レ=(x+1)(2靖一，)=ユ紹收二%

设g(x)=xe，-e,显然g(x)在(0,+河上单调递增,又g(i)=0,

21.(本小题12.0分)

故xW(0,1)时/'(x)V0,f(x)单调递减,xW(1,+叼时广(x)>0,/(x)单调递增.

已知椭圆C:各g=l(a>b>0)的离心率为右椭圆的短轴端点与双曲线?-/=1的焦点重

合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线,与椭圆相交于4,B两点.

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(2)函数/(%)的定义域为(0,+8),

由//(め=2(%+1)靖一Qーゝ=(才+1)(2婚_*=(/3グ靖一の,

侬aVO时,f(x)>0,此时，(x)单调递增,最多只有一个零点;

②当a>0时，令g(x)=2xe*-a(x20),由g'(x)=2(x+l)e*>0,可知函数g(x)单调递增，

aa

又g(0)=-a<0,5(a)=2ae-a=a(2e-1)>0,可得存在％)W(0,a),使得g(x0)=0,有

も靖。吋,可知函数f(x)的减区间为(0,x()),增区间为g,+8).若函数f(x)有两个零点,必有

xx

/(%〇)=2xoe0—ax0—alnx0=a—a(x0+lnx0)=a—aln(xoe0)=a—aln^<0»得a>2e.

又由，(。ー。))ー。，ー。ーaln=Q2-q=>°,令/Z7(x)=x—Inx,有O'(x)=l-丄=

x-l

X

令ワ‘(x)>0,可得x>1J故函数。(x)的增区间为(1,+8),减区间为(0,1),有。(X)>。(1)=1.

当x>Ina时,ex>a,/(x)=x(2ex—a)—a\nx>ax-alnx=a(x—Inx)>a>0.

可得此时函数/"(x)有两个零点.

由上可知,若函数/(x)有两个零点,则实数a的取值范围是(2e,+8).

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黑龙江省名校2023届高三上学期期中考试试题汇编（二）

数学

考试说明:（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分,满分150分.

考试时间为120分钟;

（2）第I卷,第II卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第丨卷（选择题,共60分）

ー、选择题（共60分）

（一）单项选择题（共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的）

x

1.A={x|5x-3>0},B={x|2-'<1},则AcB=

D-[rw]

2.已知a=（2,-1）,b=（2,3）,且a//,则ス=

3232

A.ーーB.ーーC.—D.-

2323

3.已知等比数列{q}的公比タ>1,前〃项和为S“，q=l,ム+%=6,则眞=

A.29B.30C.31D.32

4.近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是电机和控制

器,我国永磁电机的技术处于国际领先水平.某公司用9万元进购一台新设备用于生

产电机,第一年需运营费用3万元，从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万

元,该设备每年生产的收入均为12万元,设该设备使用了〃（〃キN*）年后，年平均

盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则〃等于

A.6B.5C.4D.3

高三数学第1页共6页

5.在A4BC中,点。是线段3C上任意一点,且满足ス万=3而,若存在实数机和

れ,使得8P=〃7A8+"AC,则か+〃=

A.—2cB.l-Cc.—2D.—1

3333

6.平面直角坐标系中，角。的终边经过点P(-3,4),贝ijcos2(—+万)=

2

1149

A.—B.-C.-D.—

105510

24343

7.已知实数。=sin—,/?=—sin—,c=—cos—,则的大小关系为

33434

A.a<b<cB.a<c<h

C.a>b>cD.a>c>b

8.已知定义在/?上的奇函数バx)满足ハイ+2)=-ハ>+1).当—时,

/(%)=一口.则下列结论错误的是

A./(2022)=0

B.函数/(x)的值域为ー^^■,^^

C,函数，(x)的图像关于直线x=ー弓・对称

D.方程/(x)-x+a=0最少有两个解

(二)多项选择题(共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

高三数学第2页共6页

9.下列说法中正确的有

A.“a>0”是“丄+。ン2”的充要条件

B宀=6”是“ギー5x-6=0”的必要不充分条件

C.命题“存在无eR,x+2W0”的否定是:“存在xeR,x+2>0”

D.设のわ都是非零向量,则a=2"是向=%成立的充分不必要条件

10.已知函数，(x)=|2sinxcosx|,则下列结论正确的是

A,函数/(幻的最小正周期为万

7T

B.函数/(x)在区间一一,0上单调递减

_4_

C.函数)(x)的图像不是中心对称图形

D,函数/(x)图像的对称轴方程仅有x=丝,keZ

2

11.若数列｛凡｝的前n项和为5“,满足り=1,a,用=(一1严ム+2,则下列结论正确的有

A.521=20B.5|99=S20l

C.=(一l)"M，"eN*D.=2+(T)'i,〃eN*

12.已知函数/(x)=e'—ax,g(x)=/lnx,e是自然对数的底数，则下列正确的是

A.若函数/(x)仅有一个零点,则"=1

B.右g(X|)=g*2)，(否マち),内+ち>——

e

C.若/(x)20对任意イe(0，+8)恒成立,则aWe

D.若人x)Ng(x)恒成立，则整数。的最大值为2

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第n卷(非选择题,共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)

13.已知函数/(x)=——，定义域为(2,+8),则ア(x)的值域为.

X-1

14.已知｛ム｝是等差数列,｛2｝是等比数列,S“是数列｛し｝的前〃项和,S„=ll,

帅=3,则log3台・=.

15.如图所示,点P是正三角形AABC外接圆圆。上的动点,正三

角形的边长为3,则而•方+2而.为+4而•历的取值范

围是.

16.已知ん4BC满足sin(2C+B)=sin8-sinC,。是ん钻C的边上一点，且

BC=3BD>AD=2,则AC+2AB的最大值为.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.设函数/(x)=a-B,其中向量a=(2COSJC,1),b=■(cosx,V3sin2x-m).

(1)求函数/(x)单调递增区间;

TT

(2)当イ€--,71时，函数/(X)恰有三个零点,求机的取值范围.

_6_

18.已知数列｛%｝满足り=1,an+]-an-n.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)记b“=----------,求数列｛”,｝的前〃项和5,,.

4+1一%

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82+C

19.在①2s=，3A8-AC；®2cos-^—=l+cos2A；@c=V3asinC-ccosA；

在这三个条件中任选ー个,补充在下面问题中,并作答.

在锐角△ABC中，内角C的对边分别是a,んc,且

(1)求角A的大小;

(2)若百,求AABC周长的范围.

20.疫情期间，为保障学生安全,要对学校进行消毒处理.校园内某区域由矩形。A8C与

扇形。Cハ组成，0A=2m,AB=2届,NC。。=そ.消毒装备的喷射角

3

NE。ド=キ，阴影部分为可消毒范围,要求点E在弧CD上，点