河南省南阳市2022-2023学年高三上学期1月期末数学（文）试题含答案

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（文）

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1.若集合4=卜,一2x-340},B=|x|log,x<1},则Zu6=（）.

A.[-1,3]B.（-oo,3]C.（0,2]D.（0,3]

2.设复数z满足（l+i）z=|3+i|,则复数z的虚部是（）.

M

A.-5B.5C.-----D.--Vio

22

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）.

正视图侧视图

俯视图

4.从3,4,5,6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（）.

1113

A.-B.-C.-D.一

4324

5.《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在

校内设置食品小卖部、超市，己经设置的要逐步退出.为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校

对100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照[0,5）、[5,10）.[10,15）,

[15,20）、[20,25）、[25,30]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结

论不正确的是（）.

A.该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%

B.该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%

C.估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15

D.估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间

6.x£R,y£R,条件/?:|x+l|+|y-2|>1,条件q+j；2+2x-4j^+4>0,则条件p是条件夕的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在△NBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且幽空当0=2二9.角/等于().

sinCb-a

71e万一2"-5乃

A.—B•—C.---D•—

6336

8.已知函数/*(x)满足/(x)+/(—x)=0,f(—x—1)=^(—x+1),当x£(0,1)时；/(x)=2X—y/5,

则/(log480)=().

A-B.一拽C.后D.在

555

9.已知/(x)=x，+3ax2+bx+q2,该函数在尸一1时有极值0,贝!|a+6=().

A.4B.7C.11D,4或11

10.已知函数/(x)=2sin,x—£卜①>0)在［0,句上单调递增，且有/(x)N恒成立，则。的

值为().

C.1D.2

x2

11.已知过坐标原点四勺直线/交双曲线。：^^--匕=1的左右两支分别为4B两点,设双曲线的右焦点为尸,

43

若|4日=3忸日，则的面积为().

A.3B.3>/3C.6D.66

12.已知a=lnl.5,b=~,c=cos1.25,则大小关系正确的为().

3

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量£=(4,—2JJ),B=则向量否在向量Z方向上的投影是.

14.已知函数/(x)=sin(x+e)+cos(x+e)是偶函数，则；s|ne；cos.=.

15,过抛物线/=4x的焦点F的直线交该抛物线于4,8两点，且|/尸|=3忸日，则直线48的斜截式方程为

7T

16.在菱形/8CA中，A=—,AB=2,将沿8。折起，使得/C=3.即得到的四面体/8C。的外接球的

3

表面积为.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)

推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对

垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表

如下：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

男性人数22436067533015

女性人数12234054512010

（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）

两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

不太了解比较了解总计

男性

女性

总计

（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机

抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，

附：K2=------Wbe)--------其中〃=4+b+c+d.

[a+h)[c+d)[a+c)[b+d)

临界值表：

尸（腔界。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（本题满分12分）

已知数列｛4｝是各项均为正蓼的等差数列，S,,是其前〃项和，且S"J""—"""+2）

（1）求数列应｝的通项公式;

⑵若求数列低｝的最大项.

19,（本题满分12分）

JII

如图，四棱锥尸一/8CD的底面为直角梯形，N4BC=NB4D=—,PBL^ABCD,PB=AB=AD=-BC=\,

22

设平面尸/O与平面PBC的交线为/.

（1）证明：BC//1；

（2）证明：/平面P48；

（3）求点8到平面PCD的距离.

20.（本题满分12分）

已知椭圆c：W+4=1（a>ft>0）,离心率为:，其左右焦点分别为公，工，P为椭圆上一个动点，且|尸片|

a2b1

的最小值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C的上半部分取两点M,N（不包含椭圆左右端点），若丽=2可，求直线的方程.

21.（本题满分12分）

己知函数/（x）=alnx-x2+ax.（«eR）

（1）当a=l时,求证：/（x）＜0；

（2）若函数/Xx）有且只有一个零点，求实数。的取值范围.

选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按

所做的第一个题目计分.

22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）

X=2COS67

在平面直角坐标系X0F中，曲线C的参数方程为1.（9为参数），

y=sin（p

（1）在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线。的极坐标方程；

（2）若点Z,8为曲线C上的两个点J_O5,求证：-----+---■为定值.

31I网

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知存在x（）eR,使得+《一,0-训24,a,eR.

（1）求a+26的取值范围；（2）求的最小值.

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（文）参考答案

一、1—5ACBAC6—10BBDCA11—12BA

12.c=cos1.25=sin---1.25|=sin0.32<sin—<—=b

u)33

a=In1.5,6=-=-=—―.令/(x)=lnx,g(x)=--=1--

31.51,5'''，xx

易证/(x)Ng(x)(当且仅当产1时等号成立)

/(1,5)>g(1.5x)>a>b>c

,28万

二、13.-114.115.丫=&_6或丫=_瓜+小16.——

3

三、17.解：（1）由题意得列联表如下：

不太了解比较了解总计

男性125165290

女性75135210

总计200300500

,500x(125x135-165x75?

计算得K?=-------------------------2.771

200x300x290x210

因为2.77A2.706,所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关;

(2)由题意可知，抽到的女性有5x—=2人，抽到的男性有5x—=3人，

7575

记抽到的男性为“，b,c,抽到的女性为d,e,则基本事件分别为(a,c,d)、(a,b,d),Ca,b,e),

(a,c,d)(a,c,e),(a,d,e)(b,c>d)>(b,c,e)、(b,cl,e)、(c,d,e),共10种,

3

抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是一.

5

18.解：(1)当〃=1时，1=%=(%二1华+2),解得：《=2或卬=一1,因为a,〉0,故q=2.

,n(a,+a„)n(a„+2)_n(a,+2](a„+2)

方法一：因为S“=q—―L,所以一^—」一

2222

又““>0,即可得%=n+l.

方二：当〃=2时，52=2+a2=—~I,,3挈)，易得：a2=3.

因为数列｛4｝是等差数列，故a“=〃+l.

故%=(〃+2H.

(2)由(1)知,

当力<7时，〃+]>〃；当〃=7时，2+[=〃；当〃>7时，bn+l<bn；

08

故数列也｝的最大项为4=4=会.

19,证明：(1)由题意可知8C〃Z。，8c①平面尸49,面P4。，故，8。〃平面/〃£),

又BC(Z面P8C且面尸8CC面PAD=Z,：.BC//I.

(2)因为尸8_L底面N88,所以尸8_L8C.

TT

又底面Z8C。为直角梯形，且N/8C=N8/O=一,所以Z8_L8C.

2

且尸8cz8,...8C_L面尸又BCHI、，LL面P/8.

(3)易求得，BD=y/2,PD=>/3,DC=y[l,PC=45.

因为PC?=尸。2+。。2,所以为直角三角形.

设B到平面P8的距离为人因为腺所以LFSAPCD=LPB-SABCD，故可得，〃=逅

20.解：(1)由题意知：—=—,即a=2c且a—c=l,可得：a=2,b=V3,c=\.

a2

22

椭圆C：的方程为：F—=1.

43

(2)方法一：不妨设直线"A咬x轴于。点，由询=2可，易得，F\Q=2F\Qf故0(3,0).

设直线MN的方程为x=w+3,AZ5,必)，7V(x2,y2),

显然，必>0,必>0.

x=my+3

由Ly2得，（3加2+4）/+18叼+15=0,•'•%+%三'①乂%[②

——+—=1v'5m+43加+4

I43

——■——•2-Ji

又•：F、M=2F1N,得凹=28③，由①②③得，〃?=—一/.

所以，直线MN的方程为：x=--y+3,即丁=—述x+随.

31010

方法二：延长耳M交椭圆于点P,根据椭圆的对称性可知，獭=2可，得丽=2而.

设A/（X1，乂），P（x2,y2）,N（-2,-丫2）.显然，＞0.

x=my—1

设直线PA/的方程为—1,联立422得，（3m2+4）「-6wy-9=0,

%J-1

143

6m9

二乂+%=-2①y^2=—2—②

■'23m2+4-23加2+4

又•••FM=2PR,得乂=-2y2③

由①②③得，加=—土.

3

,,3A/5皿,、c5

=-

故乂+%，则须+x2=m（yi+y2）-2=~—,

o4

因此，直线9的斜率左=及二乒?=正匹=—占叵

阳一（一工2）10

不妨设直线MN交x轴于。点，由而=2和，易得，F\Q=2F\Q,故0（3,0）,

所以，直线MN的方程为：y=-----x+——.

1010

„,1-2x2+x+1（—2x—l）（x—1）

21.解：（1）/（zx）x=一-2x+l=-----------=--------------,

XXX

物（工）在（0,1）上是单调增加的，在（1,+8）上是单调减少的，

所以/0）年=/（1）=°，即/（小0・

lnx+x

（2）当〃=0时，/（工）=一一,不存在零点，当々WO,由/（x）=0得，—xe（0,4-oo）.

设g（x）=----2-'则g（x）=--------------'令〃（x）=l-21nx-x,

易知〃（X）在（0,+8）上是单调减少的，且九（1）=0.

故g（x）在（0,1）上是单调增加的，在（1,+8）上是单调减少的.

由于g<0,g(1)=1,且当x>l时，g(x)>0,

故若函如(x)有且只有一个零点，则只须，=1或,<().

aa

即当。w(-oo,0)时，函数/(x)有且只有一个零点.

x=2cos(Px2

22.解：(1)因为1所以面线C的直角坐标方程为二+/=1.

y=sin夕4

。4

因为x=pcos。，y=psin0,所以，曲线C的极坐标方程为：p2=——三—

3sin6+1

(2)由于0/_L08,故可设Z(g,e),5p,^+1,p；42_4