湖南省名校联考2022-2023学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

2022年秋季高一12月联考数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.）

1,已知集合A={.x<l},8={X|3,<1},则（）

A.AIB={x|x<0}B.AuB=R

C.AU6={x|x>l}D.Ac3=0

【答案】A

【解析】

【详解】解：因为B={x|3'<l}={x|x<0},

所以AIB={x|x<0},AUB={x|x<l},

故选：A.

2.设甲：ae（YQ,-3],乙：己知函数〃%）=工2-存在（1,+CQ）上单调递增，则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】•••/（力=%2-⑪在（1,40。）上单调递增,

由/（x）=d-冰的对称轴为x=]，开口向上，

一41,即4£2,

2

故甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

3.将—1665°化成二+2版■（（）,,a<2乃，女eZ）的形式是（）

5万门3万八

A.-----8万B.----8乃

44

【答案】D

【解析】

3"

【详解】—1665°=-1800°+135°=-10〃+—.

4

故选：D.

4.下列函数与函数y=x+l是同一个函数的是()

A.y=(Vx+l)2B.u=，(丫+1)3

_______2

C.y-J(x+1)2D.m=—+1

【答案】B

【详解】y=x+l的定义域为R,而y=(J77T)2的定义域为故A错误;

2

加=匕+1的定义域为(-8,0)11(0,+8),故D错误；

n

y=J(x+l)2=|x+4,与y=x+l对应关系不一致，故C错误；

3

w=3/(v+l)=v+l，定义域为R,与y=x+l对应关系一致，B正确.

故选：B.

5.已知。=log21.41,/?=L7°3,c=cos,则（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>h

【答案】B

【解析】

77rTTI<—

【详解】因为〃=1.7°3>1,c=cos—=cosy=—=log2\/2>6?=log21.41,

所以力>c>a,

故选：B.

6.函数/（x）=log3x+2x-8的零点一定位于区间（）

A.（1,2）B.（2,3）

C.（3,4）D.（5,6）

【答案】C

【解析】

【详解】解：/（3）=log33-8+2x3=-l<0,/（4）=log34-8+2x4=log34>0,

又因为函数>=log3X，y=2x-8在区间（0,+8）上都是增函数，

所以/（x）在区间（0,+8）上为增函数，所以其零点一定位于区间（3,4）.

故选：C.

7.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经

成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每

年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是

（参考数据:In6aL79,ln5«1.61）（）

A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年

【答案】B

【解析】

【详解】设经过〃年之后，投入资金为y万元，则y=2000（1+0.2）",

由题意可得：y=2000（1+0.2）”>10000,即1.2">5，

In5In5In51.61…

n>-----=----=---------«----------«8.94

所以疝nl.2>ln5,即In1.2.6In6-ln51.79-1.61，

In—

5

又因为〃eN*，即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.

故选：B.

x+2,x<0

8.已知函数/（尤）=1若函数g（x）="（x）F+4/（x）+a（a€R）有三个不同

X4--,X>0

的零点，则。的取值范围为（）

A.（-oo,4）B.（-8,4]

C.(-00,-12)D.(^0,-12]

【答案】D

【解析】

【详解】当x40时，函数/(x)=X+2(―8,0]上单调递增，/(x)4/(0)=2,

当x>0时，函数/(x)=尤+！2=2,当且仅当尤=1时取等号，

x\x

函数y=/(x)的大致图象，如图，

令f(x)=f,观察图象知，当f<2时，方程/(x)=f有一个根，当，22时，方程/*)=/有

两个不等根，

函数g(x)="(x)]2+4/(x)+tz(aGR)有三个零点，等价于函数力⑺=『+4r+a有两

个零点％由，并满足4<2,22,

而函数〃(。对称轴为/=—2,于是得，〃(2)_4+12<0，解得。4一12，

所以。的取值范围为(-8,72].

故选：D

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.)

9.下列说法正确的是()

A.角。为第一象限或第三象限角的充要条件是sinOcos。>0

B.终边在y轴上的角的集合为(ala=E+

a

c.若a是第三象限角，则土是第二象限或第三象限角

2

D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关

【答案】AB

【解析】

【详解】对于A，当角。为第一象限角时，sin0>0,cose>0,则sin8cos8>0；

当角。为第三象限角时，sind<0,cose<0,则sinOcos。〉。，

所以若角0为第一象限或第三象限角，则sinOcosS>0.

因为sinGcos。〉。，即sin(9>0且cos6>0,或sin8<0且cos8<0,

当sin8>0且cos6>0时，角。为第一象限角；当sin8<0且cos6<0时，角。为第三象

限角，

所以若sinOcos。〉。，则角6为第一或第三象限角，

所以角，为第一或第三象限角的充要条件是sin&os。>0,故A正确；

对于B,终边在V轴上的角的集合为{altz=2E+],%ez}u{a[a=2^7t+^,Zrez|,

即{ala=2kn+^,kez||Jja|a=(2^+1)TT+^,Z:Gz|,即

{a|a=kn+^,k&zj,B正确；

3

对于C,若a是第三象限角，即2E+7t<a<2E+二兀欢wZ,

2

,7ia,3,〜

则kllH---<—Vklld---7T,kGZ,

224

当k为偶数时,1为第二象限角；当k为奇数时，1为第四象限角，

22

则二是第二象限或第四象限角，故C错误；

对于D,不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值定义可知度量角与所取圆

的半径无关，故D不正确，

故选：AB

10.下列各式正确的是()

2

A.*3-71)4=兀一3B.log2x=21og2x

,+log25

C.2=10D.10g39=3

【答案】AC

【解析】

【详解】）（3—兀），=|3_兀|=兀一3，故A选项正确；

2

log2x=210g2k|,故B选项错误；

2"1叫5=）乂2唾25=2x5=10.故c选项正确；

对于log,9=log332=2,故D选项错误.

故选：AC.

11.“双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定

额度，可以给予优惠：

①若购物总额不超过50元，则不给予优惠；

②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；

③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠，

④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折

优惠.

某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）

A.若购物总额为66元，则应付款为51元

B.若应付款为208元，则购物总额为260元

C.若购物总额为360元，则应付款为252元

D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元

【答案】ABD

【解析】

【详解】对于A,若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，

可以使用一张15元优惠券，则应付款51元，故A正确；

对于B,若应付款为208元，则购物总额超过100元但不超过300元，

所以购物总额为208+0.8=260元，故B正确；

对于C,若购物总额为360元，购物总额超过300元，

则应付款为300x0.8+60x0.7=282元，故C错误；

对于D,若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，

设购物总额为x元，则300x0.8+(x—300)x0.7=380,解得尤=500元，故D正确.

故选：ABD.

12.已知2"+a=log2》+〃=2,则()

A.ab<\B.2a-h>-

4

C.log,a+log,bN0D.—+->2

ab

【答案】ABD

【解析】

【详解】因2"+a=log2〃+b=2,即2a=2—a,log2b=2—〃,则a/分别为函数

y=2、y=log,x与y=2-x图象交点的横坐标，

x

而函数y=2,y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线N=%对称，

在同一坐标系中画出y=2',〉=1。82乐丁=2-*的图象，如图，

由图知，点A(a,2〃)与BS,log2/关于直线y=x对称，于是得

a>0,b>0,a^b,a+h-2,

ab<(^-^)2=1,A正确；

b=2-a,则2""=2"-")=22所2>2-2=』，B正确；

log2a+log,/?=log2czZ?<log?1=0,C错误；

111，、/11、1-b。、1小Jab、八一十,立

—I—=—(za+/7)(—I—)=—(2d---1—)>一(2+2、----)=2,D正确.

ab2ab2ab2\ba

故选：ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知tana=-2,ae(5,兀)，则cosa=.

【答案】石

55

【解析】

sinot

【详解】因为tana=—2,所以^——=-2,

cosa

由sin?a+cos?cr=1,故(-2cosa)2+cos2a=1,

即cos?a=g,而贝！Jcosa<0,

所以cosa=-旦,

5

故答案为：-且

5

14.设ak>g34=3,则牛"=.

【答案】—##27-1

27

【详解】因为。1叫4=3,所以log34〃=3,所以4"=33=27,所以4一"=二=」-,

4"27

故答案为：-

27

3

另解：由alog34=3可得”=•；---=31og3=log27,

1%444

所以4“=27,则4-。=上,

27

故答案为：—.

27

15.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字

命名的“高斯函数''为：设xeR,用[x]表示不超过x的最大整数，则>=[可称为高斯函数.

例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函数则函数y=[/(x)]的值域为

【答案】{1,2,3,4}

【解析】

U54I

【详解】解：==l+—,V2X>0,.-.1+2">1,0<—!—<b

V'2(+l2、+l2'+l

则1<1+^J<5,即l</(x)<5,

当l</(x)<2时，"(x)]=l；

当2W/(x)<3时，[/(x)]=2；

当3W/(x)<4时，[/(x)]=3；

当4W/(x)<5时，[/(x)]=4,

综上，函数y=[f(x)]的值域为{123,4}.

故答案为：{1,2,3,4}.

16.北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥

运冠军组合崔晓桐、吕扬、张灵、陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国

队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、

八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩1(单位：min)

与奖手数量”(单位：个)间的关系为(。为常数且a>0).已知在某次比赛中

单人艇2000m的比赛成绩为7.21min,由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min

的比赛成绩但不清楚属于哪一艇利J推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是(从

“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可)；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推

断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为min(结果保留两位小

数，参考数据：啦*1.08()，施=1.167，1.260).

【答案】①.双人艇②.5.72

【解析】

【详解】由已知得，当〃=1时，f=7.21,代入解得a=7.21,

当f=6.67时，n=\-=-=3«1.0819«2,

117k6.67J

故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；

-1--!■]721

当〃=8时，f=9=7.21x89=7.21x-=»——»5.72,

我1.260

故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为5.72min.

故答案为：双人艇；5.72

四.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程

及演算步骤.)

17.已知集合A=<x\y=J+lg(x-l)],8=｛y[y=3'^'|.

⑴求Ac3；

(2)若知=｛削〃优+4<()｝且(AI求实数加的取值范围.

【答案】(1)Ac8={x|x>l}.

(2)m<-4.

【解析】

【小问1详解】

]x+2>Q

由题意Ayn-^^r+lgG—l)上,贝।卜，解得%>1,

+2X-1>0

所以A={x|x>\],

又8={y|y=3v_1)={>>1y〉0},

所以Ac3={x|x>l}.

【小问2详解】

因为M={R〃ir+4<0},AcBuAf,即

所以机<0,二.M=jxlx>j,

--<1

所以，m,解得mWT,即实数机的取值范围时mWT.

m<0

18.已知函数/(力=(。+3/乂+人过原点，且无限接近直线y=l但又不与该直线相交.

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

(1)求该函数的解析式并判断其奇偶性；

(2)若实数/满足不等式/。+2。一，。一1)<0,求实数/的取值范围.

【答案】⑴f(x)=-e省+1,函数/(x)为偶函数.

⑵(-2,0).

【解析】

【小问1详解】

由题意函数/(》)=(4+匕》第+匕过原点，且无限接近直线y=i但又不与该直线相交.，

故在xZO时，〃x)递增，又此时y=e-W=e”递减，故需满足。+方<0,

由0<e-N知a+S〈(a+O)e"<。，.,.a+2Z?W/(x)<Z?，

而/(%)无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则b=1,

又/(0)=0,."+a=0，解得“=-2,

.­./(x)=-e^+l,因为/(x)的定义域为R,关于原点对称，

且〃一x)=-e-T+l=-e小+1=/(%),故函数/(x)为偶函数.

【小问2详解】

x

当xNO时，/(X)=-&+1,Vx,,x2G[0,+oo),设不<龙2，

则/(%)—/(玉)=(-e』+1)—(一ef+1)

「e--』炉广-1)

=e-e=---------=----------------，

9・e*2eA,-e^2

-v'

因为所以龙2-玉>O,，e*F>1,则e_V_______2〉o，

所以/(毛)>/(%)，

故函数〃x)在［0,+8)上单调递增.

原不等式可化为/(1+2。</«—1),

因为函数〃x)为偶函数，/(%)=/(-x)=/(|x|),则有.川1+2“<〃卜一力,

又函数〃力在［0,+8)上单调递增,m|l+2z|<|f-l|,

两边平方，得(1+2。2<。-1)2,即3『+6/<0,解得2,0),

即实数，的取值范围为(一2,0).

19.已知/(x)+g(x)=21og2(2+x),其中/(x)为奇函数，g(x)为偶函数.

(1)求/(x)与g(x)的解析式；

(2)判断函数/(x)在其定义域上的单调性并用定义证明.

2

【答案】⑴/(x)=log2—,^(x)=log2(4-x)

(2)函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增，证明见解析

【解析】

【小问1详解】

由于函数”X)为奇函数，g(x)为偶函数，

可得/(-x)=-/(x),g(一无)=g(x)，

因为/(无)+g(无)=21og2(2+x),

所以/(-x)+g(-x)=21og2(2-x),

即-〃x)+g(x)=21og2(2-x),

2

解得/(尤)=log2不三，g(x)=log2(4-x).

2-x

【小问2详解】

0_1_V-

/(x)=10g2--的定义域为(-2,2),

2—%

2+x

/(x)=log

2=晦

2-xA」

VxpXje(-2,2)且％/，

44]]_444(%-xj

则>0.

2-修、2一玉,2—x,2—、%)(2—x,)(2—xj

44

1-1，即/(%)>/(%)，

所以log?------->log2-----

(2—工2)12—内/

所以函数/（X）在区间（一2,2）上单调递增.

20.已知函数〃x）=F+2x-3,覆0,

[-2+lnx,x>0.

2

（1）试讨论方程〃x）=k+?实数解的个数，其中&€凡心0:

k

⑵若方程〃x）=女+7的实数解有3个，分别记为八,马，七，其中龙1<Z<玉，求心厂

K一」工3

的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

（2）[e,e2）

【解析】

【小问1详解】

由基本不等式，A>0时，k+->2yll,当匕2,即上亚时等号成立;

kk

左<0时，k+-<-2y[l,当上一，即上一也时等号成立.

kk

令m=%+1,则相£卜8,-26]u[2及,+8）..

画出了（X）的图像与直线y=〃2,如图.

由图像可知，

当“＜Y,即丘（一0一2—夜）。12+e,0）时，〃力=1+2有1个解;

k

当〃?=-4或加＞一3,即攵£卜2±逝｝。（一2,-1）U（0,+功时，/（x）=Z+2有2个解;

k

当—4＜/，—3,即Z£（―2——1,-2+J5）时，/（X）=ZH—有3个解.

k

【小问2详解】

由（1）知，当-4＜羽，一3时，/（x）=加有3个解，

根据图像以及3个解的大小关系，有玉＜々”。＜演，其中玉+尤2=Tx2=-2,

对于X；，已知-'2+1114G（T,-3],解得龙3,则

九3

故三产e[e,e）,即上产的取值范围为Re?）.

一，工3—，43

21.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为4,经

过一段时间/后的温度为T,则T—7；=（"—?；）•",其中（.，为环境温度，a为参数.某

日室温为20。。，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变

化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100℃,8点18分时，壶中热

水自然冷却到60。口

（1）求8点起壶中水温7（单位：℃）关于时间，（单位：分钟）的函数7=/«）：

（2）若当日小王在1升水沸腾（100℃）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状

态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50°C时.，设备不加热,

当壶内水温不高于临界值50℃时，开始加热至80℃后停止，加热速度与正常烧水一致，问

养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：

1g2*0.301,1g3*0.477）

1Or+20,08,

【答案】⑴/（0=<门湍

80-1-+20/>8.

（2）27分钟后养生壶（在保温状态下）第二次开始加热

【解析】

【小问1详解】

当喷小8时，设丁=依+20,

代入「=8,7=100,解得左=10,则T=10f+20,

由题意丁一（=（4一（）•"，代入（=20,"=100,f=10,得4

10r+20,0<r<8

所以T=/（r）=,

80-1-1+20,?>8

【小问2详解】

若从100C降温至50℃，

由题意有T=80.‘°+20,代入T=50,

计算得r=10log1-=lOlog,--10x(3-log23)=10x|3-R14分钟,

28~3-I

故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热;

从50℃加热至80C需要