北京市通州区2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试题（含答案解析）

通州区2022-2023学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷2023年4月本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义，即可求解．【详解】的虚部为．故选：C．2.在复平面内，点对应的复数的模等于（）A.5 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数模公式，即可得到答案．【详解】点对应的复数为，则其模为．故选：B．3.设，是单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义，即可得解．【详解】由是单位向量，知，但单位向量的方向不确定，所以选项A，B和C均错误，选项D正确．故选：D．4.已知向量，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设向量与夹角为，向量，，则，，，则．故选：A．5.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量为，故选：C.6.已知向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法分析“”和“”的关系，由此分析可得答案．【详解】根据题意，当时，向量，，则，有，则有，反之，若，则，则，解可得或1，不一定成立；故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．7.如图所示，点在线段上，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，即.故选：C.8.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】利用基本事件的定义，列举即可．【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．故选：C.9.若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（）A.0.10 B.0.15 C.0.40 D.0.45【答案】B【解析】【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，.【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，则，，则，.故选：B.10.已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，且与的方向不同，然后利用列举法列出满足条件的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】向量与所成的角为锐角等价于，且与的方向不同，即，则满足条件的向量有，其中或时，与同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又的取法共有种，则向量与所成的角为锐角的概率是．故选：B．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i是虚数单位，则_________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的乘方运算，即可求解．【详解】．故答案为：．12.在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.【答案】【解析】【分析】已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.【详解】∵AB=2，AC=3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×37，∵BC>0，∴BC.∴由正弦定理，可得.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.13.某人射击中靶概率为0.9，连续射击3次，每次射击的结果互不影响，则至少中靶一次的概率是_________．【答案】0.999##【解析】【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件，是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个独立重复试验，∵每次中靶的概率均为0.9，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，．故答案为：0999．14.一条河宽为，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为，水流速度的大小为，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为_________．【答案】3【解析】【分析】首先利用向量的模求出合速度，进一步利用求出结果．【详解】如图所示：所以故．故答案为：3．15.在正方形中，，P为边中点，Q为边的中点，M为边（包括端点）上的动点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标计算公式，结合一次函数的性质即可求解.【详解】如图，以为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以，所以.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知，i是虚数单位，复数与互为共轭复数．（1）求a，b的值，并指出复平面内对应的点所在的象限；（2）计算，，；（3）当实数取什么值时，复数是下列数？①实数；②虚数；③纯虚数．【答案】（1），，第四象限；（2），，（3）①；②；③.【解析】【分析】（1）直接由共轭复数的概念求a与b的值，再求出对应的点的坐标得答案；（2）直接利用复数代数形式的乘除运算得答案；（3），再由复数的基本概念求解①②③中的值．【小问1详解】因为与互为共轭复数，所以，．所以，．所以复平面内对应的点的坐标为，所以复平面内对应的点在第四象限．【小问2详解】，，．【小问3详解】①当，即时，复数是实数．②当，即时，复数是虚数．③当，且，即时，复数是纯虚数．17.在平面直角坐标系中，已知点．（1）求的值；（2）设点M是坐标平面内一点，且四边形是平行四边形，求点M的坐标；（3）若点N是直线上的动点，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）-2【解析】【分析】（1）由向量的坐标表示求模长即可；（2）由平行四边形的几何性质，结合向量共线的充要条件计算即可；（2）由直线PO的方程设N坐标，根据数量积的坐标表示计算求最值即可.【小问1详解】由题意可知；【小问2详解】如图所示，因为四边形是平行四边形，故有，设，即，解之得；【小问3详解】易知直线OP为，不妨设，则，当时，即时，取得最小值-2.18.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．（1）从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．【小问1详解】记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.如表1所示．表1第二次第一次1234512345第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．记“第一次摸到白球”，则．【小问2详解】在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．表2第二次第一次123451×2×3×4×5×第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.记“第二次摸到白球”，则．【小问3详解】“同时摸出两个球”的基本事件有，共10件，其中至少摸到一个白球的基本事件有，共7件，记“至少摸到一个白球”，则.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与垂直．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合正弦定理和同角的商数关系，可得所求角；（2）运用余弦定理求得c，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【小问1详解】因为，所以，即．由正弦定理得．因为，所以，所以，所以．因为，所以．【小问2详解】由余弦定理，得，所以，解得，或（舍）．所以的面积．20.在中，角的对边分别为.（1）求的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1）.（2）条件①：；条件③：.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得有两解，不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.【小问1详解】在中因为，由正弦定理得，所以，即，又因为，，所以，.【小问2详解】设边上的高为，条件①：因为，所以，，所以，根据三角形全等（角角边）可知存且唯一确定.所以，则，解得，即边上的高为.条件②：由余弦定理得，即，解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，由余弦定理得，即，解得，则，解得，即边上的高为.21.若函数，则称向量为函数的特征向量，函数为向量的特征函数．（1）若函数，求的特征向量；（2）若向量的特征函数为，求当，且时的值；（3）已知点，设向量的特征函数为，函数．在函数的图象上是否存在点Q，使得？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）不存在理由见解析【解析】【分析】（1）由三角函数的和差公式可得，再结合特征向量的定义，即可得出答案．（2）由特征向量的定义可得，代入解得，再计算，最后利用两角和差公式即可得出答案．（3）由特征向量的定义可得，三角函数倍角公式可得，若函数的图象上是否存在点Q，使得；再计算其数量积可得，再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断．【小问1详解】因为，