江苏省镇江市2022-2023学年高一年级下册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023高一期中数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知复数z满足；(为虚数单位)，则z的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．ABC中，，，ABC的面积为，则=（

）A． B． C． D．4．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．5．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（

）km．A． B． C． D．7．已知平面向量，，均为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．8．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.)9．在复平面内有一个，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（

）A．点C位于虚轴上 B．C． D．10．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则为直角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则为直角三角形11．tan75°＝（

）A． B． C． D．12．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（

）A．设，，若，则，B．设，则C．设，，若，则D．设，，若与的夹角为，则三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知，复数为纯虚数，则_____________．14．已知为第二象限角，且，则___________.15．在中，点满足:，，若，则=_________.16．如图所示，在等腰直角中，，O为中点，E，F分别是线段，上的动点，且．当时，则的值为______；的最大值为______．四、解答题(本大题共6小题，共计70分.)17．已知向量．(1)若向量与垂直，求实数k的值；(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．18．设是虚数，是实数，且．（1）求的值；（2）求的实部的取值范围．19．已知向量，，.（1）求的值.（2）若，，且，求的值.20．在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，___________.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.21．扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？22．已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.1．C【分析】根据条件，利用复数的运算法则求出，再利用共轭复数的定义即可得出结果.【详解】因为，得到，所以.故选：C.2．D【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线，和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底，，故和共线，不能作为平面的基底，D错误，故选：D3．B【分析】利用三角形的面积求出，利用余弦定理求出，然后求出的值．【详解】因为，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故选：．4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．A【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得：，故向量在向量方向上的投影向量为.故选：A.6．B【分析】由余弦定理求出AC，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：，即，所以，解得.故选：B7．A【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质求解即可.【详解】平面向量，，均为单位向量，所以，又所以，平方得，则.故选：A.8．C【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理确定点的位置即可求解作答.【详解】如图，令，，于是，而，并且不共线，因此，解得，令，，则，从而，解得，因此点是线段的中点，所以，所以.故选：C【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．9．ABC【分析】先利用复数的几何意义，得出两点的坐标，再利用条件得出点的坐标，进而得出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为点对应的复数为，点对应的复数为，故，，又因为是平行四边形，设，则，，由，得到，故，所以选项A正确，选项B，因为，所以，故选项B正确；选项C，，故选项C正确；选项D，，故选项D错误.故选：ABC.10．ABD【分析】利用正弦定理推理判断A；利用三角形射影定理计算判断B；利用正弦定理计算判断C；利用二倍角余弦公式及射影定理计算判断D作答.【详解】在中，正弦定理，对于A，，A正确；对于B，由射影定理得，又，即，而，则，，为直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理可得，即，而，则有或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C不正确；对于D，，由射影定理得，即，而，则，，为直角三角形，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．11．ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由，令即可判断出D.【详解】，故A正确；由正切的半角公式知，故B错误；，故C正确；∵，令，得，可得D正确.故选：ACD.12．AC【分析】根据题意得：，，对于A结合向量相等理解判断；对于B、D：利用以及进行运算判断；对于C：若，则，使得．【详解】，对于A：即，则，A正确；对于B：即B错误；对于C：若，当即时，显然满足：；当即或时，则，使得，即则可得，消去得：；C正确；对于D：结合可A、B知：若，则，，根据题意得：即，可得：即D不正确；故选：AC．13．6【分析】根据纯虚数的概念列式可求出结果.【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：6.14．【分析】根据的范围可求得的范围，结合可确定为第二象限角，结合同角三角函数关系求得，利用二倍角公式和诱导公式可求得，由同角三角函数关系可求得结果.【详解】为第二象限角，，，又，，，，，又为第二象限角，，.故答案为：.【点睛】易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值时出现符号错误.15．3【分析】根据条件，利用向量的线性运算得到，再利用平面向量基本定理求出，即可求出结果.【详解】因为，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.

故答案为：3.16．；##【分析】（1）由正弦定理得,再利用余弦定理求解；（2）设由正弦定理得，.再求出取最小值，即得解.【详解】解：（1）因为是等腰直角三角形，又，所以，所以.因为，所以,在△中，由正弦定理得,在△中，由余弦定理得.（2）设所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因为，所以当即时，取最小值.所以,所以的最大值为.故答案为：；.17．(1)(2)【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；【详解】（1）因为，所以，又与垂直，所以，即，解得，所以.（2）因为，，因为，又与向量平行，所以，即，解得，所以.18．（1）；（2）．【分析】(1)根据题意，设，进而表示出，结合是实数，即可求解；(2)根据(1)表示出，结合，即可求解.【详解】(1)设，则∵z2是实数，且，∴，得，∴.(2)由(1)知，则，即，∴z1的实部取值范围为.19．（1）；（2）.【解析】（1）根据平面向量模的公式、平面数量积的定义，结合两角差的余弦公式进行求解即可；（2）利用两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）由题意，，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，又∵，，∴，20．(1)(2)【分析】（1）选条件①，由结合已知得，进而得；选条件②，结合正弦定理角化边得，再根据余弦定理求解即可得答案；选条件③，根据正弦定理边化角，结合恒等变换得，进而得；（2）根据题意，结合恒等变换得，再根据求解即可.【详解】（1）解：方案一：选条件①，由题意可得，.为的平分线，，，即又，，即，，方案二：选条件②由已知结合正弦定理得，由余弦定理得方案三：选条件③由正弦定理得，又，，，易知，；（2）解：，又，，所以.21．方式一最大值【详解】试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.试题解析：解（1）在中，设，则又当即时，（Ⅱ）令与的交点为，的交点为，则，于是，又当即时，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式一：考点：把实际问题转化为