上海市新高二暑期成果评价卷（测试范围：空间直线与平面、简单几何体）（解析版）

上海市新高二暑期成果评价卷测试范围：空间直线与平面、简单几何体一、填空题1．若两球的表面积之比是，则它们的体积之比是______.【答案】【分析】利用两球表面积之比计算出半径之比，再利用球体的体积公式可计算出答案.【详解】设两球半径分别为、，表面积分别为、，体积分别为、，则，，因此，两球体积之积为.故答案为：.【点睛】本题考查由两球的表面积之比计算两球的体积之比，计算出半径之比是关键，考查计算能力，属于基础题.2．若圆柱的轴截面面积为，则它的侧面积为________．【答案】【分析】设出圆柱的底面半径和母线长，由此根据圆柱的轴截面面积，求得它的侧面积.【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，依题意可知，故其侧面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆柱侧面积的计算，属于基础题.3．空间两个平面最多将空间分成___________部分.（填数字）【答案】4【分析】当两个平面相交时可得答案.【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分.故答案为：4.4．用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则这个直观图的面积为_________;【答案】【分析】由斜二测画法画出正方形的直观图，计算可得.【详解】方法一：如图，由直观图的斜二测画法知，边长为4的正方形的直观图为平行四边形，且，，，其高，所以其面积为.方法二：由斜二测画法的直观图的面积是原图面积的倍，因此，直观图面积为.故答案为：.5．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②在空间中，若角与角的两边分别平行，则；③若直线l上有一点在平面内，则l在平面内；④同时垂直于一条直线的两条直线平行．其中不正确的命题是______．（填序号）【答案】①②③④【分析】按照点线面的位置关系依次判读四个命题即可.【详解】对于①，两条异面直线不能确定平面，错误；对于②，角与角还可能互补，错误；对于③，应该是l与平面相交，错误；对于④，同时垂直于一条直线的两条直线也可能相交、平行或异面，错误.故答案为：①②③④.6．如图，正方体，请写出一条与边异面的边为__________．【答案】(,答案不唯一【分析】根据异面直线的定义，即可写出答案.【详解】正方体，一条与边异面的边可以是，故答案为：7．若四棱锥的底面是一个矩形，且，，，，，则二面角的大小为________．【答案】【分析】过作，过作,先证平面，利用三垂线定理得，即得为二面角的平面角，解三角形得结果.【详解】过作交延长线于，过作交延长线于,连因为四棱锥的底面是一个矩形，所以,又，所以平面,因此，而,所以平面，因为，所以由三垂线定理得，从而为二面角的平面角，故答案为：【点睛】本题考查二面角、线面垂直判定定理、三垂线定理，考查基本分析论证与求解能力，属基础题.8．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里.【答案】18【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点作的垂线，垂足为，记点为上任意一点，联结，，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的，，上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的，由，得.故答案为：18【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.9．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的水，已知，，，如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为__________．【答案】【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.【详解】水量较少，水面恰好为长方体的截面时，;水量较多，水面恰好为长方体的截面时，;因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为.故答案为：.10．如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______.【答案】【分析】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为，计算得到答案.【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为.在中，，故.故答案为：.【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．如图所示，已知五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AB＝4，CD＝8，EF＝3，CD与EF的距离为8，点A到平面CDEF的距离为6，则该五面体的体积为________．【答案】120【详解】如图所示，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AB＝4，CD＝8，EF＝3，延长FE到G，使得EG＝1，过点B作BH∥AD，交CD于H，连接AG，DG，HF，则多面体ADGFBH为三棱柱，则V三棱柱ADG-BHF＝S四边形DHFG·d，其中d为点A到平面CDEF的距离，即d＝6.因为CD与EF的距离为8，所以S四边形DHFG＝4×8＝32，所以V三棱柱ADG-BHF＝S四边形DHFG·d＝×32×6＝96，V三棱锥BHCF＝S△HFC·d＝××4×8×6＝32，V三棱锥ADEG＝S△DEG·d＝××1×8×6＝8，所以V五面体ABCDEF＝V三棱柱ADG-BHF＋V三棱锥B-HCF－V三棱锥AGDE＝96＋32－8＝120.故答案为：120.12．有下列命题：①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③侧面都是平行四边形的多面体是棱柱；④体对角线相等的平行六面体是长方体.共中正确命题是___________（填号）.【答案】②④【分析】通过反例可确定①③错误；由圆锥母线定义知②正确；利用线面垂直的判定和性质可证得体对角线相等的平行六面体各个侧面均为矩形，由此可知④正确.【详解】对于①，若上下底面上的两点连线与底面不垂直，则不是圆柱的母线，①错误；对于②，由圆锥母线的定义可知②正确；对于③，若一个直四棱柱与一个斜四棱柱底面大小相同，将其上下底面相接构成一个组合体，如下图所示，此时满足侧面都是平行四边形，但该多面体不是棱柱，③错误；对于④，若平行六面体的体对角线相等，则对角面为矩形，如下图所示，此时四边形与均为矩形，，，又，，，平面，平面；又平面，，，四边形，，，均为矩形，同理可得：平面，又平面，，四边形，均为矩形，该平行六面体为长方体，④正确.故答案为：②④二、单选题13．在长方体中，，若此长方体的八个顶点都在体积为的球面上，则此长方体的表面积为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】A【分析】根据题意，先得到长方体外接球直径等于长方体体对角线的长，由此求出长方体的侧棱长，再由表面积公式，即可得出结果.【详解】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长，因为长方体外接球的体积为，设外接球半径为，则，解得，因此，因为，所以，解得：，因此长方体的表面积为：.故选：A.【点睛】本题主要考查长方体外接球的相关计算，以及长方体表面积的计算，属于常考题型.14．关于不同的直线与不同的平面，下列四个选项正确的是（

）A．，且，则； B．，且，则；C．，且，则； D．，且，则；【答案】A【分析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行判断即可.【详解】A．，且，可得，故正确；B．，且，则可能相交、异面或平行，故错误；C．，且，则可能异面、相交、平行，故错误；D．，且，则可能异面、平行，故错误；故选：A.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．20 B．15 C．10 D．5【答案】C【分析】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥，直接利用锥体体积公式计算即可．【详解】由三视图可知：该几何题是由一个长方体截取后剩下的一个三棱锥A-BCD，如图：∴该几何体的体积．故选C．【点睛】本题考查了三视图的有关计算、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．一个长方体的盒子内装有部分液体（液体未装满盒子），以不同的方向角度倾斜时液体表面会呈现出不同的变化，则下列说法中错误的个数是（

）①当液面是三角形时，其形状可能是钝角三角形②在一定条件下，液面的形状可能是正五边形③当液面形状是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是④当液面形状是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由余弦定理判断三角形形状即可判断①；由截面五边形必有两组平行的边，而正五边形的任意两边都不平行即可判断②；求得最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，计算出棱锥与长方体体积比即可判断③；作长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，液面六边形必在两个平面之间，计算出体积比即可判断④.【详解】对于①，当液面是三角形时，则液体所在平面必和长方体共顶点的三个面相交，和另外三个平面不相交，设相交形成的三角形为如图所示，则两两垂直，设，则有，由余弦定理得，则为锐角，同理可得为锐角，则当液面是三角形时，该三角形必是锐角三角形，①错误；对于②，当液面是五边形时，液面只与长方体的五个面只有交线，而一个平面与长方体的五个平面相交，必有两组相对面，又长方体的每一组相对面平行，由两个平面平行的性质知，截面五边形必有两组平行的边，因正五边形的任意两边都不平行，则一平面截长方体所得截面不可能是正五边形，即液面的形状不可能是正五边形，②错误；对于③，当液面形状是三角形时，液面只与长方体的三个面相交，最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中，液面三角形顶点在棱上任意移动（除点外），长方体体积，，则当三棱锥盛满液体时，液体体积与长方体体积之比的范围是，当长方体去掉三棱锥余下部分盛满液体时，液体体积与长方体体积之比的范围是，所以液体体积与长方体体积之比的范围是，③正确；对于④，作长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中和，易得平面∥，在长方体棱上任取一点（除外），过点作出与平面平行的平面截长方体可得六边形，长方体体积，三棱锥体积，令三棱锥部分有液体，当液面形状是六边形时，液面六边形必在平面和平面之间，即液面漫过所在平面但不能到所在平面，则液体体积满足；当液面六边形在两个平行平面与平面之间任意变换，不管与平面平行还是相交均满足，即液体体积与长方体体积之比的范围是，④错误.则错误个数有3个.故选：C.【点睛】本题关键点在于命题③④的判断，命题③求出最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，再求出棱锥和长方体的体积比即可判断；命题④由液面六边形必在平面和平面之间即可求得液体与长方体体积比的范围.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为线段PD的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连结，交于点，连结．可得，再由线面平行的判定可得平面；（2）先证明平面，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．【详解】（1）证明：连结，交于点，连结，如图所示：是正方形对角线交点，为的中点，由已知为线段的中点，，又平面，平面，平面；（2）证明：，为线段的中点，，平面，，在正方形中，，又，平面，又平面，，又，平面；平面，故三棱锥的体积．【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面.（2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面面，即点，即可得到答案.（3）延长交于,由于面面，则在交线上.【详解】（1）连接在长方体中、分别是和的中点、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面面即点共线.（3）延长交于面面面面面面、、三线共点.19．如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形，，是的中点，过、、三点的平面交于为的中点，求证：(1)平面；(2)平面平面；(3)求多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题设条件证得和，根据，得到，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）由（1）知平面，得到，再由，证得平面，进而得到平面平面.（3）根据，即可求解.【详解】（1）证明：因为侧面是正三角形，且，为的中点，所以且，因为，底面是边长为2的菱形，所以是正三角形，又因为为的中点，所以，又因为，所以，.因为，平面，所以平面.（2）证明：由（1）知平面，所以，又由，所以，因为，是的中点，所以，又因为，平面，所以平面，又由平面，所以平面平面.（3）解：在四棱锥中，侧面是边长为正三角形，且与底面垂直，因为为的中点，可得，又因为平面，平面平面，所以面，且，由底面是边长为2的菱形，，