(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第5篇球01（含解析）

高考数学选填题专项测试01（球）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2019·湖南长沙一中高三月考（文））某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为1:2，则该圆柱与球的体积的比值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式以及球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，球心到圆柱底面的距离为SKIPIF1<0，即该圆柱的高为SKIPIF1<0，则该圆柱与球的体积的比值为SKIPIF1<0，故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式，属于基础题.2．（·宁夏银川一中高三月考（理））已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则其外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体SKIPIF1<0放在正方体SKIPIF1<0中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以正方体的外接球半径为SKIPIF1<0，所以外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．（·山西高三月考（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为_______.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】先用正弦定理求出SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，然后利用SKIPIF1<0求出三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径SKIPIF1<0，即可算出表面积.【详解】设SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故外接球的表面积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.4．（2019·广东高三月考（文））如图，已知球SKIPIF1<0是棱长为1的正方体SKIPIF1<0的内切球，则平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0的截面面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意可知：截面是SKIPIF1<0的外接圆，而SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，所以外接圆SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2019·湖南长沙一中高三月考（文））已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图，再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，右侧面是腰长为SKIPIF1<0的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0底面的中心，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解题的关键，属于中档题.6.（·江西高三（理））已知正三棱柱SKIPIF1<0的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，先得出SKIPIF1<0，然后SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出SKIPIF1<0【详解】设正三棱柱的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，底面外接圆半径SKIPIF1<0，由球的截面圆性质知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角或补角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.7．（·广东高三期末（理））已知三棱锥SKIPIF1<0的底面是正三角形，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内的射影SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，当三棱锥SKIPIF1<0体积最大值时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设点SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影,先分析可得SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的垂心,也是外心,则SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点,则SKIPIF1<0,因为点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内的射影SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影,则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0一定在SKIPIF1<0上,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的垂心,也是外心,所以SKIPIF1<0,则当SKIPIF1<0互相垂直时体积最大,设球的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以球的体积为SKIPIF1<0，故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象能力8.（·安徽六安一中高三月考（理））在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为6的正三角形，SKIPIF1<0是正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】取BC的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正三角形ABC的中心和正方形BCDE的中心，根据已知条件可得SKIPIF1<0⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过SKIPIF1<0分别做SKIPIF1<0的平行线交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为球心，求出SKIPIF1<0，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取BC的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形ABC的中心,SKIPIF1<0为正方形BCDE的中心，连接SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过SKIPIF1<0分别做SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0⊥平面ABC，SKIPIF1<0⊥平面BCDE，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以外接球的体积为SKIPIF1<0.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.9.（·山东高三期末）用一个体积为SKIPIF1<0的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0的直观图，设底面边长SKIPIF1<0，由球的体积公式得SKIPIF1<0，再由勾股定理得正三棱柱的SKIPIF1<0，代入体积公式SKIPIF1<0，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0。【详解】如图所示，正三棱柱SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0的直观图，SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，因为SKIPIF1<0。设底面边长SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等号成立当且仅当SKIPIF1<0，故选D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。10.（2019·广东深圳中学高三月考（文））如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由三视图画出三棱锥的空间立体图形，利用球的性质找出球心的位置，再计算体积即可.【详解】由三视图画出三棱锥SKIPIF1<0如图所示，过点SKIPIF1<0做平面SKIPIF1<0的垂线，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，由三视图知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设三棱锥SKIPIF1<0外接球球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，只需让SKIPIF1<0即可，作SKIPIF1<0且交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由图SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，所以外接球半径SKIPIF1<0，所以外接球体积SKIPIF1<0.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体和求棱锥的外接球体积，考查学生的分析转化能力和空间想象能力，属于中档题.11.（2019·安徽淮北一中高三月考（理））在三棱锥A-BCD中，平面ABC丄平面ADC,AD丄AC,AD=AC,SKIPIF1<0，若此三棱锥的外接球表面积为SKIPIF1<0，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（）A．7 B．12 C．6 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2ESKIPIF1<0b，由S＝4πR2＝28π，解得RSKIPIF1<0，由正弦正理求出bSKIPIF1<0，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值．【详解】根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2ESKIPIF1<0b，由S＝4πR2＝28π，解得RSKIPIF1<0，在△ABC中，由正弦正理得2rSKIPIF1<0，∴2rSKIPIF1<0，解得bSKIPIF1<0，在Rt△OAO1中，7＝r2+（SKIPIF1<0）2，解得r＝2，b＝2SKIPIF1<0，∴AC＝2SKIPIF1<0，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC，∴12＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC，解得AB•BC≤12，∴SKIPIF1<03SKIPIF1<0，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：SKIPIF1<06．故选：C．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.（·四川高三月考（理））在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0上平面SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0的外接圆圆心分别为SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,且三棱柱外接球体积为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接SKIPIF1<0.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,先求出R,再求SKIPIF1<0的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接SKIPIF1<0.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,由题得SKIPIF1<0在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13.（·四川省泸县第一中学高三月考（文））三棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是_____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意可知三棱锥外接球，即为以SKIPIF1<0为底面以SKIPIF1<0为高的正三棱柱的外接球∵SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形∴SKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0，球心到SKIPIF1<0的外接圆圆心的距离为SKIPIF1<0，∴球的半径为SKIPIF1<0∴外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为三棱的长）；②若SKIPIF1<0面SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.14.（·山东高三期末）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设其外接球的球心为SKIPIF1<0，且球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】先计算球的半径为SKIPIF1<0，确定球心为SKIPIF1<0的中点，根据边角关系得到SKIPIF1<0，计算面积得到答案.【详解】球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，如图所示：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故三角形的外心在SKIPIF1<0中点上，故外接球的球心为SKIPIF1<0的中点.，在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.15.（·河南高三期末（理））在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与C重合于点P.若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】计算△ADP外接圆的半径SKIPIF1<0并假设外接球的半径为SKIPIF1<0，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据PM⊥面PAD，SKIPIF1<0，可得结果.【详解】由MP⊥PA，MP⊥PD，PM∩PA＝P，PM，PASKIPIF1<0平面PAD所以可得PM⊥面PAD，设△ADP外接圆的半径为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<02r，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设三棱锥M﹣PAD外接球的半径R，外接球的球心在过△ADP外接圆的圆心且垂直于底面的直线上