复变函数与积分变换PPT完整全套教学课件

复数与复变函数复变函数是以复数为自变量的函数,它是本课程的研究对象.在这一章,我们将讨论复数的基本概念、复数的四则运算、复数的三角表示、平面点集的一般概念及其复数表示,以及复变量连续函数,为进一步学习解析函数的理论与方法奠定必要的基础.1.1复数1.1.1复数的基本概念1.1复数1.1.2复数的四则运算1.1复数1.2复数的几种表示1.2.1复数与复平面实数与数轴上的点一一对应，而复数z=x+iy与有序实数对(x,y)一一对应，因此复数与平面上的点可以建立一一对应关系．给定平面直角坐标系，O为坐标原点，x轴为横轴，y轴为纵轴，则复数z=x+iy与平面上坐标为(x,y)的点一一对应．此时，称x轴为实轴，称y轴为虚轴，把实轴和虚轴决定的平面称为复平面或z平面．1.2复数的几种表示1.2.2复数的模与辐角1.2复数的几种表示1.2复数的几种表示当z=0时,其模为零,其辐角不确定.以后凡涉及复数的辐角都是就非零复数而言的.1.2复数的几种表示1.2.3复数模的三角不等式1.2复数的几种表示1.2复数的几种表示1.2.4复数的三角表示和指数表示1.2复数的几种表示1.3复数的乘幂与方根1.3.1复数的乘除法1.3复数的乘幂与方根1.3复数的乘幂与方根1.3复数的乘幂与方根1.3.2复数的乘方与开方1.3复数的乘幂与方根1.3复数的乘幂与方根1.3复数的乘幂与方根1.4平面点集的一般概念1.4.1平面点集1.4平面点集的一般概念1.4平面点集的一般概念1.4.2区域与曲线1.4平面点集的一般概念1.4平面点集的一般概念1.4平面点集的一般概念1.4平面点集的一般概念1.4平面点集的一般概念1.5无穷远点、扩充复平面和复球面1.5.1扩充复平面与复球面1.5无穷远点、扩充复平面和复球面1.5无穷远点、扩充复平面和复球面1.5无穷远点、扩充复平面和复球面1.5.2关于无穷远点运算的规定1.5无穷远点、扩充复平面和复球面1.6复变函数1.5.1扩充复平面与复球面1.6复变函数1.6复变函数1.6.2复变函数的极限与连续性1.6复变函数1.6复变函数1.6复变函数1.6复变函数解析函数复变函数研究的主要对象是解析函数,它在理论和实际问题中有着非常广泛的应用.本章首先引入复变函数导数的定义和求导法则,然后给出解析函数的基本概念和判定方法,最后介绍一些初等解析函数.可以说复变函数的有些概念是由实变函数的概念推广得到的,认识到这一点,有利于我们对复变函数的学习.2.1认识解析函数2.1.1复变函数的导数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1.2解析函数的概念与求导法则2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1.3函数解析的充分必要条件2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.1认识解析函数2.2.1调和函数的概念2.2

调和函数在物理学中,有一种特殊的二元实函数,即所谓的调和函数,它是一类在实际应用中很重要的函数,并与解析函数有着密切的联系.下面先来介绍调和函数的基本定义.2.2

调和函数2.2

调和函数2.2.2共轭调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2.3解析函数与调和函数的关系2.2

调和函数下面介绍已知解析函数的实部或者虚部,根据C-R方程求出另一半的几种方法.1.偏积分法.2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.2

调和函数2.3初等函数同高等数学中我们学习过实初等函数一样,复变量的初等函数也是由一些最简单、最基本的初等函数经过四则运算或者复合而成的.但推广到复数时,复初等函数存在一些不同之处.如指数函数的周期性;对数函数的无穷多值性;正弦函数、余弦函数的无界性,尤其在多值的情况下,我们运用时需特别注意.下面介绍一些初等函数并研究其解析性.2.3.1指数函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3.2对数函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3.3幂函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3.4三角函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3.5反三角函数2.3初等函数2.3初等函数2.2.1调和函数的概念2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数2.3初等函数本教材案例导入复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的许多重要性质都是通过复积分来证明的.本章首先引入复积分的基本概念及其计算方法,然后介绍柯西-古萨定理及其推广———复合闭路定理.在此基础上,得到柯西积分公式和高阶导数公式.其中,柯西-古萨定理和柯西积分公式是复变函数的基本定理和公式,以后的学习均直接或间接与它们有关.本章内容与实变量二元函数有紧密联系,希望读者能结合本章的学习适当复习高等数学的相关知识.3.1复积分的概念3.1.1复积分的定义与计算3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1.2复积分的基本性质3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.1复积分的概念3.2柯西积分定理曲线积分定义之后,我们会联想到高等数学中有曲线积分与积分路径无关的结论,也就是函数沿闭曲线积分为零之说.于是存在一个重要的问题:对于复变函数,它沿闭曲线的积分是否可以为零?由于复变函数积分可以转化为实函数的曲线积分,自然可以归结为曲线积分与路径无关的问题.法国数学家柯西(Cauchy)于1825年对上述问题做了肯定的回答,给出了如下的柯西积分定理,它是复变函数论的理论基础.3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.2柯西积分定理3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.3柯西积分公式3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数3.4解析函数的高阶导数本教材案例导入在上一章中,我们从积分的角度对解析函数进行了讨论,本章我们从级数的角度来研究解析函数.复级数是研究解析函数的另一重要工具,将解析函数表示成级数在理论和实际应用上都具有重要意义.本章我们先介绍复数项级数收敛的概念和判别方法,幂级数的有关概念和性质,然后对解析函数的两种级数表示———泰勒级数和洛朗级数进行研究,介绍展开式的存在性定理,并给出展开方法.4.1复数项级数4.1.1复数序列的极限4.1复数项级数易知以下定理成立.4.1复数项级数4.1.2复数项级数4.1复数项级数4.1复数项级数4.1复数项级数4.1复数项级数4.1复数项级数4.2幂级数4.2.1幂级数的概念4.2幂级数4.2幂级数4.2幂级数4.2.2幂级数的收敛半径与收敛域4.2幂级数由定理4-3可知,，幂级数(式4-4)在以原点为圆心的某圆域内绝对收敛，圆域外发散，此圆域称为幂级数的收敛(圆)域。收敛域的半径R称为收敛半径。对于只在原点处收敛的情形,约定R=0，对于在复平面处处收敛的情形，约定R=+∞。在收敛域的边界(圆周)上，幂级数(式4-4)可能收敛，可能发散。同实幂级数类似，比值法和根值法是确定收敛半径的两种常用方法.4.2幂级数4.2幂级数4.2幂级数4.2幂级数4.2.3幂级数的收敛性质4.2幂级数4.2幂级数4.2幂级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.3.1泰勒级数4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.3.2函数展开成泰勒级数4.3泰勒级数3.函数展开成泰勒级数的一些例子4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数4.4.1双边幂级数的概念4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4.2洛朗级数的概念在上一小节中,我们发现带负幂项部分的双边幂级数在圆环内收敛于一个解析函数.那么反过来,一个解析函数是否能够在一个圆环内展开为幂级数呢,如何确定系数,展开式是否唯一.4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4.3函数展开为洛朗级数同泰勒级数一样,由于唯一性,洛朗级数除了通过直接计算展开系数Cn的方式展开之外,还可以利用已知的展开式,通过代换运算、逐项求导和逐项积分等方法展开,即间接展开法.下面,我们通过几个例子进行说明.4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数4.4洛朗级数本教材案例导入留数是积分理论和级数理论结合的产物,是复变函数的重要内容.本章先通过洛朗级数将孤立奇点进行分类,并讨论不同类型孤立奇点的判断,然后引进留数概念,给出计算孤立奇点留数的方法,最后对留数在定积分中的应用以及幅角定理进行介绍.5.1孤立奇点5.1.1孤立奇点及其分类5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1.2孤立奇点类型的判断5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1.3函数的零点与极点的关系5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.1孤立奇点5.2留数5.2.1留数的概念5.2留数5.2留数5.2留数5.2.2留数的计算将函数展开为洛朗级数并不容易,因此有必要根据孤立奇点的类型,寻求计算留数的更简便的方法.5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.2.3留数定理5.2留数5.2留数5.2留数5.2留数5.3留数的应用5.3.1留数定理在定积分中的应用在实际应用当中,通常需要计算一些特殊类型的积分,这些积分的原函数可能并不能用初等函数表示,或者即使能求出原函数,计算也比较复杂.留数定理为这些积分的计算提供了简便的方法.我们就几个特殊类型举例说明.5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3.2辐角原理和儒歇(Rouché)定理5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用5.3留数的应用本教材案例导入前几章主要是用分析的方法,也就是用微分、积分和级数等来讨论解析函数的性质和应用.内容主要涉及柯西理论.在这一章中,我们将从几何的角度来对解析函数的性质和应用进行讨论.第一章曾讲,一个复变函数w=f(z)(z∈E),从几何观点看来,可以解释为从平面z到平面w的一个变换,本章将讨论解析函数所构成的变换(简称解析变换)的某些重要特性.这种变换在导数不为零的点处具有一种保角的特性,它在数学本身以及在解决流体力学、弹性力学、电学等学科的实际问题中,都是一种使问题化繁为简的重要方法.6.1解析变换的特性6.1.1解析变换的保域性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1.2解析变换的保角———导数的几何意义6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1.3单叶解析变换的共形性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.1解析变换的特性6.2分式线性变换6.2.1分式线性变换及其分解6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2.2分式线性变换的性质6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2.3分式线性变换的保交比较6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2.4分式线性变换的保圆周(圆)性6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2.5分式线性变换的保对称点性6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2.6分式线性变换的应用6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.2分式线性变换6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3.1幂函数与根式函数初等函数所构成的共形映射对今后研究较复杂的共形映射大有作用.6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3.2指数函数与对数函数6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3.3由圆弧构成的两角形区域的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射6.3某些初等函数所构成的共形映射本教材案例导入本章将要介绍的傅立叶(Fourier)变换,是一种对连续时间函数的积分变换,即通过某种积分运算,把一个函数化为另一个函数,该变换同时还具有对称形式的逆变换.傅立叶变换既能简化计算,如求解微分方程,化卷积为乘积等,又具有非常特殊的物理意义,在许多领域被广泛地应用.如对信号进行分析和处理时,最基本、最重要的工具是频谱分析,从数学上看,就是傅立叶级数和傅立叶变换.其基本思想是:把一个复杂的连续信号,分解成许多简单的正弦信号(简谐波)的叠加.这些正弦信号的频率是已知的,相应的振幅和相位则由原始的复杂连续信号确定.这些振幅和相位,称之为信号的频谱.7.1认识傅立叶变换7.1.1周期函数的傅立叶级数7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1.2非周期函数的傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.1认识傅立叶变换7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2.1单位冲激函数的概念及性质7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2.2单位冲激函数的傅立叶变换7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.2.3周期函数的傅立叶变换7.2单位冲激函数7.2单位冲激函数7.3傅立叶变换的性质7.3.1基本性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3.2卷积与卷积定理7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质7.3傅立叶变换的性质本教材案例导入上章介绍的傅立叶变换在许多领域都有着广泛的应用,特别是在信号分析和处理方面,它发挥了极为重要的作用,是最基本的分析处理工具.但古典傅氏变换对函数的要求(狄利克雷条件和绝对可积)较为苛刻,特别是绝对可积这个条件让很多简单的函数都无法满足.δ函数的引入,虽拓宽