网络的灵敏度分析

关于网络的灵敏度分析第1页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三概述在任何一个系统的设计中，一个很重要的问题是了解由于系统中某一个或某些参数发生变化时对系统的影响。例如由于老化或制造工艺方面的原因，使系统元件的参数偏离标称值等，都是很正常的。定量描述系统元件参数在一定范围内变化对系统性能的影响的工具之一，就是本章要讲的“灵敏度分析”。第2页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三所谓系统的性能，就是系统的广义网络函数（任何一个关心的或感兴趣的物理量均可称为广义网络函数）；所谓系统或网络元件参数，也是广义的，它可以是实际的网络元件参数，也可以是影响元件参数的某个物理量（如温度、压力等）；所谓“灵敏度”，就是广义网络函数对网络广义参数变化的敏感程度。第3页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三在网络的“灵敏度”分析中，自然要把广义网络函数表为广义网络参数的函数。第4页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三写成向量形式就是我们熟悉的梯度。称为一阶微分灵敏度。第5页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三同理也由多元函数的Taylor（series）展开式得网络灵敏度可分为时域灵敏度和频域灵敏度，本章只讲频域灵敏度分析。其它灵敏度分析可以举一反三，触类旁通。下面介绍网络灵敏度分析的具体内容。其中H称为Hessian矩阵，称为二阶微分灵敏度，依此类推。第6页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三§7-1灵敏度分析的意义～§7-2灵敏度分析的基本概念灵敏度的概念：任何一个系统或网络特性（广义网络函数），对参数变化的敏感程度。是一个函数（全体参数的函数）。网络特性（广义网络函数）：可以是任何一个感兴趣的物理量。指系统或网络的输出误差函数，网络传递函数等。分析什么什么就是被赋予了特性。如u-i，ψ-i，q-u等等。第7页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三网络参数（广义）：网络的元件参数：Z，Y，g，μ；物理参数：如温度，频率，压力等标称值，实际值（老化）。例如：2002年11月验收的电科院高压试实验室，加速老化试验装置就是一个重要组成部分。（总投入资金1200万）。若用表示任何一个系统或网络特性（广义网络函数），则：代表表示系统和网络对任何一个参数的灵敏度。第8页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三灵敏度的定义网络或系统的灵敏度可分为绝对灵敏度、相对灵敏度、微分灵敏度和增量灵敏度。下面给出相应的定义。灵敏度是系统、网络（或设备）的个重要指标，对网络的设计、分析都具有重要意义。（容差设计、调节、控制等）第9页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三(1)绝对灵敏度为比较分析不同参数的相对变化对网络特性的影响，对绝对灵敏度做归一化处理，引入相对灵敏度。(2)相对灵敏度显然这是网络特性的相对比变化量与网络参数的相对变化量之比，是无量纲的纯数。可以有以下几种定义方法。P281～P282(1)～(3)第10页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三上式称为半归一化灵敏度，例如寄生参数（特别是寄生电容和电感的高频时的作用等）。第11页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三灵敏度的基本运算：P283（1）～（7）第12页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三如果把广义网络元件参数推广到一般意义下的变量（含状态变量和控制变量），则可以进行电力系统的灵敏度分析。在电力系统的规划、设计和运行中，有时潮流计算的结果不能满足可靠性或经济性的要求，因而必须改变系统的某些变量以改善系统的潮流分布。即需要对系统的潮流进行适当的调整和控制。4.灵敏度应用的若干说明第13页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三在分析电力系统的调整问题时，总是希望知道对某些变量的调整能在多大程度上影响系统的运行状况。灵敏度分析是潮流问题的一个重要概念（华中理工大学.电力系统分析（下）p56）。在系统的故障分析中也有重要应用。详见灵敏度分析与潮流计算(王尔智)的专著；在数学课程计算数学中的梯度和共轭梯度法是按函数最大变化率的方向搜索，实际就是按函数的最大灵敏度方向搜索。第14页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三计算灵敏度最直接的方法计算机求解很容易。如果求出T的解析表达式可以直接求导。第15页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三+U0-R2IsR1R3解：可见灵敏度是网络参数的函数。对一个具体的电路网络参数是给定的。例如：第16页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例7－1的计算方法太繁。下面介绍几种工程实际中常用的灵敏度计算方法。信号流图法（参数为网络参数时，与导数（增量）网络法相同但求解方法不同）与伴随网络法。5.信号流图法（导数网络法）的特点：求解一次导数网络可求出一个参数变化时网络中各处电压、电流的改变量，也即各网络特性的灵敏度。6.伴随网络法的特点：对原网络只需求解一次，而每求解一次伴随网络可求出一个网络特性对各个网络参数的灵敏度。可见选哪种方法求网络的灵敏度应根据具体要求来确定。一位伟人说过：“马克思主义的精髓和活的灵魂，就是对具体事务作具体分析。人们常说：通向罗马的路不只一条。但有一条是捷径。下面就一一介绍。第17页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三均为α的函数。7.用信号流图SFG求灵敏度（如果不是关系式中出现x其它地方仍可用x表示参数。）第18页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三btbt所有输入支路均按上式处理所有外施激励输入支路均按上式处理如图所示（每个节点及其输入均要处理）第19页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三ebfdac由对称性得：（b）所有输入支路分出相应的新源点第20页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三ebfdacebfdac同理可得：第21页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三§7-3伴随网络法(P286)Uk+-N原Uk+-IkN原+-Uk+∆UkIk+∆IkUk+-+-该式我们曾在第一章给大家介绍过。由特勒根定理一些特殊的支路，以简化灵敏度的计算。下面讨论伴随网络的结构和元件参数。第22页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三2.线性网络灵敏度的伴随网络法为分析方便，把网络元件按独立源（输入支路）、输出支路、R、G、L、C、CCCS、CCVS、VCVS、VCCS……把（2）式改写成：P286(7-3-3)然后据此式构造输出量的全微分(增量形式)。（1）输出支路输出支路：规定输出电压以开路线取出N原∆Uo+-+-1AUoN原+-第23页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三输出支路规定：输出电流以短路线取出N原∆IoN原Io+--1V第24页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三＝0可见伴随网络中仍取R！第25页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三-+Ir1Ir2++Ur1Ur2rIr1把上述关系代入相应的表达式，-+++令00有第26页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三可见原网络中的CCVS，伴随网络中仍为的CCVS，只是受控源的位置和控制量的位置互易换位，称为满足相互互易性。-+++++把上述关系代入相应的表达式，有令00第27页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三可见原网络中的CCCS，伴随网络中变为的VCVS，满足（受控源反号）相互互易性。同理可得原网络中的VCVS，伴随网络中为的CCCS，满足（受控源反号）相互互易性。++++++-+++可见原网络中的VCCS，伴随网络中仍为的VCCS，只是受控源的位置和控制量的位置互易换位，称为满足相互互易性。第28页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三受控源对应关系小结第29页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三各式中：凡出现伴随网路电压的为“＋”；凡出现伴随网路电流的为“－”。（5）灵敏度计算公式第30页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三（6）理想变压器的伴随网络仍可以用前边讲过的受控源处理，但较繁！+-+-n:1i1i2++u1u2n:1++对原网络，有由（1）得化简并略去二阶偏差项由（2）得同理可得把（3）、（4）式代入上式化简得令第31页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三则有（相应的全增量表达式）（5）式就是理想变压器变比n变化的微分灵敏度计算公式。n:1i1i2++u1u2n:1++第32页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三++-+-+MkjMkjIkIj++UkUj-+-+++Mkj++Mkj（7）互感元件伴随网络的说明第33页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三++Mkj++Mkj看成电流控制电压源的控制系数。第34页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三例7－3求图示电路的灵敏度解：分别求解原网络和伴随网络+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（1）确定网络特性（广义网络函数）（2）构造伴随网络Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第35页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo+-Ub5+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo伴随网络构造过程原网络伴随网络1Agm

Ub51A第36页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（3）求解原网络（4）求解伴随网络（5）按公式网络待求灵敏度Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第37页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三R1-R1R3解：（1）用SFG法：其信号流图如下I2R1+-U1R3Ip2+-UoISR2第38页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三R1-R1R3（2）用SFG法：其信号流图如下R1-R1R3第39页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三R1-R1R302=¶¶RIS第40页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三伴随网络法的步骤（1）确定原网络的网络特性（广义网络函数）一般为输出或网络函数。若输出为电压以开路线取出，若输出为电流以短路线取出，也即人为增加一条开路或短路的支路。NRkIo＝0+-UoNRkIo+-Uo＝0IoNRk+-UoIo第41页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三（3）求解原网路各支路电压和电流（4）求解伴随网路各支路电压和电流（5）按下式(P290)：求出输出对各网络元件参数的灵敏度。各式中：凡出现伴随网路电压的为“＋”；凡出现伴随网路电流的为“－”。求对电感和电容元件的灵敏度（T＝UO）由复合函数的求导法则得：第42页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三求对频率ω的灵敏度由复合函数的求导法则和频率ω与L、C的对称性：由电感和电容的灵敏度公式得（P282）：第43页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三（6）注意事项伴随网络法对求一个网络函数对所有网络参数的灵敏度较方便。只需要计算一次原网络，每求解一次不同的伴随网络（主要区别在于输出的位置不同，伴随网络中等效激励的位置不同），可以得到不同的一个网络函数对所有网络参数的灵敏度。与上述伴随网络构造相关结论（P293）把原网络和伴随网络中的输入支路和输出支路抽出可以形成多端口网络，则伴随网络与原网络是相互互易的，这两个网络互为伴随网络。原网络N与伴随网络相应的开路阻抗矩阵、短路导纳矩阵和第二类混合参数矩阵满足下列关系第44页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三非线性电阻网络灵敏度的伴随网络法设流控型非线性电阻的特性方程为设压控型非线性电阻的特性方程为设流控型非线性电阻的参变量有一个增量则有：展成泰勒级数取一次项代入特勒根定理的微分形式得第45页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三为了消去，令：可见在伴随网络中，流控型非线性电阻可以用其工作点的小信号电阻代替，非线性原网络的伴随网络是其工作点处的线性网络。这就是流控型非线性电阻的灵敏度公式。独立电流源－>开路，独立电压源－>短路；输出电压－>开路线取出，输出电流－>短路线取出。同理可得压控型非线性电阻的公式第46页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三设双口电阻（压控型非线性电阻）的特性为则其伴随网络为第47页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三系统化方法：以改进节点法（一个元件一条支路）为例（P295）前面介绍的伴随网络法，是一种很有效的方法，但需要画出伴随网络，这对大型网络的分析会增加很大的工作量。下面介绍不画伴随网络直接生成伴随网络方程的方法。不失一般性，以改进的节点法为例。原网络记为N，伴随网络记为，每个元件为一条支路（包括开路支路和短路支路）。把改进的节点法方程改写为第48页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三这在本质上与我们讲过的改进节点法是一致的。但增加了短路支路。即AEV为独立电压源（无伴）、短路支路和受控电压源（无伴）对应的关联矩阵。第49页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三由以上分析可得：由以上分析可知，这种处理方法可以利用原网络的计算结果简化计算（如：LU分解法，只需更换右端项。）第50页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三整体处理方法（以单输入单输出系统为例）N(b条支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1由特勒根定理得：（1）－（2）得：+-+-(b条支路)第51页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三设网络N的参数发生变化，则：把带入（4）得：令：伴随网络同理可得：可得：注意Up，Ip的参考方向！第52页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三N(b条支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1+-+-(b条支路)若原网络中的输出为电压以开路线取出，则若原网络中的输入为电压源，伴随网络中用短路线，若原网络中的输入为电流源，伴随网络中用开路线，考虑到电源一般增量为零，输出电压（以开路取出）输出电流（以短路取出）。则有：第53页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三由上式很容易得到待求量的全微分→求出灵敏度。若原网络中的输出为电流以短路线取出同理可得写成一个式子要求：（1）N中无独立源；所有支路或为压控型或为流控型；（2）CCCS→VCCS，VCVS→CCVS；（3）注意：复合函数的特点；注意△Zb、△Yb关系。注意：抽出的输入、输出支路电压、电流的参考方向；如果不满足Ib=YbUb或Ub=ZbIb

则应采用多口网络的混合参数，该方法失效。但前面介绍的方法仍成立！第54页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三如：第55页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三其系数阵与原网络方程相同，仅右端项不同，因每条支路都接在两个节点之间，每次只有一个参量变化，一般情况下右端至多有二个非零项。§7-4导数（增量）网络法导数网络的概念：设原网络的方程为TX=B，设P为求灵敏度时发生变化的某一网络元件的参数，则：为网络的全部输出量对某一网络参数的灵敏度。线性网络的导数网络法P297—P300TX=B→X一般B与外施激励有关，很多情况下有第56页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三线性网络的导数（增量）网络的建立P297—P300，P300表7-4-1ƏIG/ƏP+ƏUG/ƏP-GIG+UG-GI+U-RƏIG/ƏG+ƏUG/ƏG-GUGƏI/ƏR+ƏU/ƏR-GU/R2ƏI/ƏP+ƏU/ƏP-R第57页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三+Us-+E-+ƏUE/ƏP-ƏIE/ƏP+1V-+ƏUs/ƏP-ƏIS/ƏP+ƏUs/ƏIs-ƏIs/ƏIs1A+Us-IsIs+ƏU/ƏP-ƏIE/ƏPIS=IS第58页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三I1+U1-I2+U2-βI1I2+ƏU1/ƏP-ƏI1/ƏPβƏI1/ƏPƏI2/ƏP+ƏU2/ƏP-I2+ƏU1/Əβ-ƏI1/ƏββƏI1/ƏβƏI2/Əβ+ƏU2/Əβ-I1第59页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三一般至多只有四个非零元素（含受控源时按相应的规则处理。）步骤（2）建立导数网络方程（3）求解导数网络方程，得一个网络参数变化的全部输出灵敏度（1）对原网络建立方程（如节点法），求解保留系数矩阵（LU）

该项的非零元素来源于电压源的等效电流第60页，讲稿共72页，2023年5月2日，星期三G1=2sG3=1sG2=4s2U1ƏIs/ƏG3=0ƏU1/ƏG3ƏU2/Ə