椭圆与双曲线知识点集合

椭圆与双曲线知识点集合

椭圆和双曲线是平面内的两种点的轨迹。椭圆是指与两个定点F1和F2的距离的和等于常数（大于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为椭圆的焦点。双曲线是指与两个定点F1和F2的距离的差的绝对值等于常数（大于且小于|F1，F2|）的点的轨迹，这两个点被称为双曲线的焦点。椭圆和双曲线的定义中，参数2a的范围限制符号不同。对于椭圆，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|+|MF2|=2a}(2a>|F1F2|)；对于双曲线，焦点在x轴上或y轴上，有P={M||MF1|-|MF2|=2a}(0<2a<|F1F2|)。标准方程是表示椭圆和双曲线的一种方式。在求标准方程时，一定要考虑焦点位置，即焦距|F1F2|=2c。椭圆和双曲线的长轴和短轴的长度关系为a2=b2+c2和c2=a2+b2。几何含义是|x|≤a，|y|≤b，或者|x|≤b，|y|≤a，或者|x|≥a，y∈R。椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，椭圆没有渐近线，双曲线有两条渐近线。椭圆和双曲线的顶点和长轴、短轴的长度可以通过求解标准方程得到。长轴和短轴分别被称为实轴和虚轴，实轴的长度为2a，虚轴的长度为2b。离心率是描述椭圆和双曲线形状的一个参数，其取值范围为c∈(0,1)和c∈(1,∞)。离心率越大，椭圆或双曲线越扁，离心率越小，椭圆或双曲线越圆（椭圆）或开口越小（双曲线）。在平面内，对于一个点到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e。这是第一定义。第二定义是，对于平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为（<e<1）的点的轨迹是椭圆，其中F在l外。F是椭圆的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。同样地，当常数（ee1）时，点的轨迹是双曲线。F是双曲线的一个焦点，而l是焦点F对应的准线。焦点可以在x轴上或y轴上。椭圆的准线在两侧，而双曲线的准线在两支之间。准线方程如下：左准线xa2/c，右准线xa2/c下准线yc2/b，上准线yc2/b左焦半径|PF1|aex，右焦半径|PF2|aex下焦半径|PF1|aey，上焦半径|PF2|aey左焦半径|PF1||aex|，右焦半径|PF2||aex|下焦半径|PF1||aey|，上焦半径|PF2||aey|焦准距pb2/c焦半径公式是焦半径取值范围[a-c,a+c]左焦点弦|AB|2ae(x1x2)，右焦点弦|AB|2ae(x1x2)下焦点弦|AB|2ae(y1y2)，上焦点弦|AB|2ae(y1y2)左|AB||2ae(x1x2)|，右|AB||2ae(x1x2)|下|AB||2ae(y1y2)|，上|AB||2ae(y1y2)|焦点弦为长轴时最长，长为2a；焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；同侧焦点弦为通径时最短，长为2b2/a；异侧焦点弦为实轴时最短，长为2a。焦点三角形周长为2a2c，面积为Sb2tan(F1PF2)/2或Sb2cot(F1PF2)/2。已知点（Px,y）和椭圆C：x2/a2+y2/b2=1，其中F1,F2是椭圆的两焦点，则点的位置关系如下：已知点（Px,y）和双曲线C：x2/a2-y2/b2=1，其中F1,F2是双曲线的两焦点，则点的位置关系如下：1.当点P在双曲线的两支之间时，有公式|PF1|-|PF2|<2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在双曲线内部。2.当点P在双曲线上时，有公式|PF1|-|PF2|=2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在双曲线上。3.当点P在双曲线的两支外部时，有公式|PF1|-|PF2|>2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在双曲线外部。4.当点P在椭圆C内部时，有公式|PF1|+|PF2|<2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在椭圆C内部。5.当点P在椭圆C上时，有公式|PF1|+|PF2|=2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在椭圆C上。6.当点P在椭圆C外部时，有公式|PF1|+|PF2|>2a^2b^2/x^2+y^2=1。这表示点P在椭圆C外部。7.已知直线l：Ax+By+C=0和椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，联立方程并消元，得到一个一元二次方程。计算其Δ：Δ<0时，直线l与椭圆C相离；Δ=0时，直线l与椭圆C相切；Δ>0时，直线l与椭圆C相交。8.已知直线l：Ax+By+C=0和双曲线C：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>b>0)，联立方程并消元：若得到一个一元一次方程，表示直线l与双曲线C相交于一个交点，此时直线l与双曲线C的渐近线平行；若得到一个一元二次方程，计算Δ：Δ<0时，直线l与双曲线C相离；Δ=0时，直线l与双曲线C相切；Δ>0时，直线l与双曲线C相交（两个交点）。9.直线l与圆锥曲线交于两点A（x1,y1）和B（x2,y2）。根据弦长公式，若直线l的斜率k存在，则|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=√[1+k^2][(x1+x2)^2-4x1x2]；若直线l的斜率k存在且不为无穷大，则|AB|=√[(y1-y2)^2+(x1-x2)^2/k^2]=√[1+1/k^2][(y1+y2)^2-4y1y2]。10.已知点（Px,y）在椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)上，则过点（Px,y