2023年北京市高考数学卷试题真题答案详解（精校版）

20232023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)本试卷满分150分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合L己知集合〃={xlx+220},N={x|x-l<0},则McN=()A,(x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l)C.{x|x>-2}D.{xlxvl}【答案】A【解析】【分析】先化简集合M,N,然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，A/={x|x+2>0}={x|x>-2},N={x\x-\<0}={x\x<\}t根据交集的运算可知，A/n^V={x|-2<x<l}.故选：A2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是则z的共辄复数夕=()A.1+^3/B.1-V3iC.-1+VJiD.-1-V3i【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共旎复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是根据复数的几何意义，Z=-1+J3i，由共辄复数的定义可知，z=-\-y/3i.故选：D3,己知向量刁，5满足刁+片=(2,3),刁一5=(-2,1),则区|2一|£|2=()A.-2B.-1C.0D.1第1页/共28页x【答案】Cx【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.【详解】对于A,因为y=lnx在(0,+s)上单调递增，*=7在(0,+少)上单调递减，所以/(x)=-lnx在(0,+时上单调递减，故A错误：对于B,因为y=2,在(0,+时上单调递增，卜=!在(0,+时上单调递减，所以/。)=+在(0,+时上单调递减，故B错误；对于C,因为夕=!在(0,+/)上单调递减，*=T在(0,+s)上单调递减，所以/(x)=-?在(。,+8)上单调递增，故C正确；对于D,因为/印=3日=3?=后，/⑴=3,1,I=3°=1,/(2)=3M=3,显然/(x)=3M在(0,+时上不单调，D错误.5.的展开式中*的系数为().A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】【答案】B【解析】【分析】利用平而向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量信5满足刁+5=(2,3)0—5=(—2,1),所以|U|2-|5|2=G+B)G-B)=2x(-2)+3x1=-1.故选：B4.下列函数中，在区间(0,-KO)上单调递增的是()A.f(x)=-\nxB./(x)=*C./«=--D./(x)=3i第2页/共28页[详解】[详解】(2、一上)的展开式的通项为=(-l)r25-rC；x5~2r令5-2/-=1得尸=2所以(2x-L)的展开式中x的系数为(-1)225-2。；=80故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6.已知抛物线C:/=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(ABCD.4【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线C:/=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=—2，点M在C上，所以A/到准线x=-2的距离为|砂|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|诚|+1=5,故|MF|=4.故选：D.7.在顼BC中，(o+c)(sin/-sinC)=Z?(sinS-sin8),则ZC=()【分析】写出(2x-上)的展开式的通项即可【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.[详解]因为(。+c)(sinA-sinC)=力(sinA-sinB),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c1=ab-b2^第3页/共28页nn八2丸a2+b2-cnn八2丸a2+b2-c2A.—63C.—3则/+b2-c2=ab故cosC=2abablab28.若xy^O,贝iJ“x+8.若xy^O,贝iJ“x+y=O”是u—+—=-2的()yx代入-+-化简即可，证明必要性可由-+-=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性xyA.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解法一：由j+f=一2化简得到x+*=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=O得到x=—*,yxyxXVXV可由一+山通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=O代入即可，证明必要性可由一+^■通分后用yxyx配凑法得到完全平方公式，再把x+y=O代入，解方程即可.【详解】解法一：因为xy^O,且-+—=-2,yx所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=Q,即(x+j^)2=0,所以x+y=O.xyxyX所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=O.所以必要性成立.所以充分性成立；必要性：因为xy^O,J9.-+—=-2,yx解法二：充分性：因为个。0,且x+*=o,所以x=—v,所以三+史兰+工=_1_1=_2,yxy-y又0vCctt,所以c=；.故选：B.第4页供28页充分性：因为且x+充分性：因为且x+y=O,所以Xy二亍+*2二》2+「+2个2个二(x+*)22iy二一2个二%yxxyxyxyxyXv必要性：因为个。0,且+=-2,所以三+史^£=x2+r+2'-2，=("G2「=("j，)、2=_2,yxxyxyxyxy所以(I*)=0,所以(x+y)2=o,所以x+y=0,xy所以必要性成立.故选：C9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB=25m,BC=AD=\Om,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平而ABCD的夹角的正切值均为匝，则该五面体的所有校长之和为()5把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E做EOL平面ABCD,垂足为O,过E分别做EGLBC,EM1AB,垂足分别为G,M,连接。G,OM,【答案】C【解析】【分析】先根据线面角的定义求得tanZEW=tanZEGO=—，从而依次求EO，EG，EB，EF，再第5页/共28页由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为NEMO由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为NEMO和，所以tan/EMO=tan/EGO=—.5因为EO1平面ABCD,BCu平而ABCD,所以EOA.BC,因为EG上BC,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,所以BC1平面EOG,因为OGu平面EOG,所以BCIOG,.同理：OM♦BM,又BM/BG,故四边形OMBG是矩形，所以由BC=10得。"=5,所以EO=应,所以。G=5,所以在直角三角形EOG中，EG=』EO'+OG2=J(加「+5?=炳在直角三角形曲G中，BG=OM=5,EB=Jeg2+BG，=」(妨¥+5。=8,又因为"=如-5-5=25-5-5=15,所有棱K之和为2x25+2x10+15+4x8=117m.故选：C10.己知数列{%}满足an+}=1(^-6)3+6(h=1,2,3,•••),则()A.当0=3时，{%}为递减数列，且存在常数MW0，使得an>M恒成立B.当％=5时，{%}为递增数列，且存在常数M<6，使得an<M恒成立C.当6=7时，{%}为递减数列，且存在常数M>6,使得an>M恒成立D.当0=9时，{%}为递增数列，且存在常数M>0,使得an<M恒成立【答案】B【解析】【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.法2：构造/(x)=^(x-6)3+6-x,利用导数求得/⑴的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项为I9所在区间，从而判断{%}的单调性；对于A,构造/?(x)=-x3--x2+26x-47(x<3),判断得第6页/共28页an+}<an-\t进而取m=an+}<an-\t进而取m=-[M]+4推得an>M不恒成立；对于B,证明％所在区间同时证得后续结论；对于C,记w0=Iog32Iogl(A/-6)+l,取m=[mn]+1推得an>M不恒成立；对于D,构造.g(x)=-x3--x2+26x-49(x>9),判断得an+l>an+\,进而取w=[M]+1推得an<M不恒成立.【详解】法1：因为％+i=彳(口”一6)+6,故％+i-6=；(%-6)3,对于A,若6=3,可用数学归纳法证明：an-6<-3即％《3,证明：当〃=1时，^-6=-3<-3,此时不等关系a„<3成立；设当n=k时，ak-6<-3成立，则练+i一6=：(《一6)3€(一54,一号}故^.+|-6<-3成立，由数学归纳法可得an<3成立.而心+1一4=!(4一6)3-(。"一6)=(4-6)：(。“一6)2-1,-(^-6)-1>--1=->O,an-6<0,故％+l%<0,故an+i<an,故{%}为减数列，注意^+1-6<-3<0故％1-6如6)3=(%-6)；(%6)2<|(«zi6),结合a„+1-6<0,9/q(qY-1故A不成立.对于B,若《=5,可用数学归纳法证明：-1《弓一6<0即5<an<6,证明：当〃=1时，一1<《一6=-1<0,此时不等关系5<an<6成立；设当n=k时，5<%<6成立，6—M(9Y-11.6-M故L,故w<l+Iog9——,故an>M恒成立仅对部分〃成立，3⑴§3所以6-£7n+1>-(6-aw),故6-外+]23(1»故an+]<6-3-J»若存在常数MWO，使得an>M恒成立，则6-3^1>M，第7页供28页则-6=则-6=-6)3£(_：,())，故一1<一6v0成立即：(弓一6)2-1<0,。”一6<0,故an+x-an>0,故an+i>an,故仅}为增数列,若M=6，则an<6恒成立，故B正确.对于C,当6=7时，可用数学归纳法证明：0<«”-6<1即6<。/7,证明：当〃=1时，0<%-6<1,此时不等关系成立；设当n=k时，6<《<7成立，由数学归纳法可得6<an<l成立.而。丽一％=(《一6)|(a„-6)2-l<0,故an+l<an,故{〃”}为减数列，又％l6=S”-6)x：0—6)七：(。”一6)，结合％-6>0可得：财_6《(角-6)(§,所以I。危6+则M-6^-恒成立，故〃<log[(A/-6),〃的个数有限，矛盾，故c错误.对于D,当角=9时，可用数学归纳法证明：《一623即《Z9,证明：当〃=1时，《一6=323,此时不等关系成立:设当n=k时，ak>9成立，则^+|-6=-^(^-6)3>y>3,故。zN9成立若+,若存在常数M〉6,使得a*>M恒成立,第8页供28页IzI9法IzI9法2：因为弓.1-。”=脾”-6)+6-an=-a--a；+26aw-48,Io3令/(x)=-x3-jx2+26x-48,则/'(x)=jj一*+26,令”(x)>。，得056-乎或x>6+牛由数学归纳法可得an>9成立.而％+1一%=(%一6)：(%-6)2-1>0,故an+i>an,故{%}为增数列,又。”+l6=(%-6)x?(%-6)2>：(%-6),结合an-6>0可得：t/M+1-6>(a,-6)=3(；若存在常数M>0,使得an<M恒成立，则冲>6+3Y-1,9、(M-6\故凹〉6+3闫，故〃<log?[=—J+1,这与〃的个数有限矛盾，故D错误.故选：B.令/'(x)<0，得6--------vx<6+------:33所以_/(》)在-oo,6-罕[和(6+孕,+00上单调递增，在6-答,6+答)上单调递减，I1令/'(x)=。,则—x3--%2+26x-48=0,即-(x-4)(x-6)(x-8)=0,解得x=4或x=6或x=8,注意至iJ4<6-—<5»7<6+—<8.33所以结合/(》)的单调性可知在(-oo,4)和(6,8)上/(x)<0,在(4,6)和(8,+<x>)±/(x)>0,对于A,因为。z=?(%-6)3+6,则。“i-6=!(%-6)3,当〃=1时，6=3,务—6=彳(《—6)<—3,则角<3,第9页/共28页第10页供28页假第10页供28页假设当n=k时，缉v3,综上：an<3,即ane(^o,4),因为在(f,4)上/(x)<0,所以an+x<a„,则{%}为递减数列,因为％初一为+1=；(《一6)+6-+1=-+26-47,g3令A(x)=-x3--x2+26x-47(x<3),则^(x)=-x2-9x+26,3所以/("在(*,3]上单调递减，故h\x)>Af(3)=-x32-9x3+26>0,所以方(对在(f,3]上单调递增，故/?(x)<A(3)=^-x33-|x32+26x3-47<0,故缸-4+1<0,即假设存在常数MW0,使得an>M恒成立，取也=一[材]+4,其中,且[；W]gZ,上式相加得，«4a/]+4<^|-(-[^]+3)<3+M-3=M,则。”=%小4<〃，与a.M恒成立矛盾，故A错误：对于B,因为。]=5,当〃=1时，《=5<6,缶=：(%-6)3+6=：x(5-6)3+6<6,假设当n=k时，练<6,当〃=&+1时，因为线<6,所以^-6<0,则(气一6)3<0,所以％1=；(0-6)3+6<6,4_因为〃_因为〃(x)开口向上，对称轴为*=_猜想当n>2时,当猜想当n>2时,当〃=2与〃=3时，。2=：+6与“3=(?)+6满足an=f~2+6,第11页决28页假设当n=k时，+6，所以ane(6,7],因为在(6,8)±/(x)<0,所以。丽〈％,则{%}为递减数列,假设当〃一*时，>5,当n=k+1时，因为％25,所以&一62—1,则(％-6)32-1,所以财=；(%一6)、625,因为在(4,6)±/(x)>0,所以所以{%}为递增数列,此时，取M=6，满足题意，故B正确：对于C,因为。丽=：(%-6)3+6,则％i-6=-6)3’注意到当《=7时，角=；(7-6)3+6=：+6,。3=：(!+6-6)+6=(：)+6,1/1/、31，1膏刃当n=k+1时，所以《+1=；(角一6)一+6=£—I部')w易知3"—1>0，则o<G)**<1»故+6-66e(6,7)(〃>2)*因为4+1一%T=因为4+1一%T=；(%一6)+6-4一1=彳4一冗。；+26%-49,令g(x)=lx3-^x2+26x-49(x>9),则g(x)=^x2-9x+26,y*-9因为g'(x)开口向上，对称轴为一2x2一，4所以g'(x)在[9,+00)上单调递增，故gf(x)>gz(9)=|x92-9x9+26>0,所以g(x)>g(9)=-x93--x92+26x9-49>0,i+】，假设存在常数M>0,使得an<M恒成立，取w=[Af]+1,其中A/-1<[M]<A/,且[M]gZ,因为4+|>4+1，所以角>6+1，％>%+1，一"[呻1>。"+1,第12页/共28页所以故a„>M不恒成立，故C错误；对于D,因为角=9,I当〃=1时，tz2-6=—(«]-6)3=—>3,则a2>9,假设当n=k时，为23,当n=k+1时，6=a(『一6)2彳(9—6)>3,则q+i>9，因为在(8,+8)上/(对>0,所以所以{%}为递增数列，假设存在常数A/>6，使得an>M恒成立，记m0=logs21ogI(A/-6)+l,取fn=[mQ]+\,其中m0-1<[m0]<w0,/n0gN*,则3”'>3“。=21理[由一6)+1,4故?(3—1)>屠(M—6),所以山即口)*"+6<”，上式相加得，a[M上式相加得，a[M]+}>al+[M]>9+M-\>Mf则七=气幻,1>冲，与%<M恒成立矛盾，故D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题：本题共5小题，每小题S分，共25分.11.己知函数f(x)=4*+log2x,则/'(J=.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，把X代入，利用指数、对数运算计算作答.2【详解】函数/(x)=4x+log2x,所以/(±)=42+log2^=2-l=L故答案为：112.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为很，则C的方程为.【答案】土—匕=122【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为。力，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c=2,由双曲线C的离心率为很，得-=V2,解得。=正,则b=>ic1-a1=41'a所以双曲线C的方程为—-^-=1.22故答案为：丈一匕=12213.已知命题P：若a,。为第一象限角，且a",则tana>tan/?.能说明p为假命题的一组的值为。=,0=.第13页/共28页【分析】根据止切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为【分析】根据止切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为,(x)=tanx在(0，；)上单调递增，若0<ao</?o<|，则地％<函腐，取。=2^兀+%,"=%丸+腐,佑4E乙令kx>k2,则。一”=(2化瓦+%)一(2财兀+腐)=2(佑一《2)兀+(%-。0)，即佑>处，则a>p.不妨取的=1,处=0,%=j,凡=；,即。=罕,0=；满足题意.答案为：-4314.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于磋码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{%},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且《=1,%=12,%=192，则％=:数列{%}所有项的和为.【解析】【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解",g,进而可求得结果；方法二：根据等比中项求％,%，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为q>0,空1：可得《=3,%=%寸=48,务]2则角=l+2d=癸，艮m+2d=3,可得1=1,L.+3x2=3+3("1-，)「=384则0=—=—=16,且q>。,可得g=2,第14页供28页®.—②.—方法二：空1：因为仅},3<〃<7为等比数列，则=12x192=48?,且4>0,所以马=48；又因为=a3a7，则a3=—=3；空2：设后7项公比为0>0,则寸=线=4,解得0=2,a3x+2,x<-a,15.设。>0,函数/〈=-y/a2-x\-a<x^a,,给出下列四个结论：x>a.①/(x)在区间(a-1,+co)上单调递减；②当。21时，/(x)存在最大值；③设M(而,/(石))G<a),A^(x2,/(x2))(x2>a),KiJ|AW|>l；④设P(x3,/(x3))(x3<-6r),0(x4,/(x4))(x4>-a).若|P0存在最小值，则。的取值范围是(0,?.其中所有正确结论的序号是.【答案】②®【解析】【分析】先分析/(》)的图像，再逐一分析各结论；对于①，取。=：，结合图像即可判断；对于②，分段讨论/(X)的取值范围，从而得以判断：对于③，结合图像可知|A/N|的范围：对于④，取结合图像可知此时|P0存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，。>0,当x<—a时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线：当-a<x<a^tf(x)=Ja—2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方的图像(即第15页/共28页_3(%+务_3(%+务)2所以ax+a2+L+%=6+381-角=384.-agq3-192x2O11-2当时，/(x)=-V7-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于①，取则/(X)的图像如下，对于②，当时，当x<-a时，/(x)=x+2<-a+2<l；当一a^x<a^ff(x)=yla2-x2显然取得最大值。:当白时，/(x)=-4x-\<-4a-1<-2,综上：/(》)取得最大值。，故②正确;对于③，结合图像，易知在玉=。，易>。旦接近于X=a处,M(工”(工[))(玉<a),2V(x2,/(x2))(x2>a)的距离最小,第16页/共28页当xt=a时，N=/(Xi)=0,当x2>a且接近于x=a处，y2=f[x2)<-4a-\,此时，|mv|>凹一乃>程+1>1，故③正确；4对于④，取<?=-,则/(X)的图像如下，(A\(A\显然尸(-1,1)在/(、)=x+2(xV-?)上，满足\PQ\取得最小值，即也满足|尸。|存在最小值，故。的取值范围不仅仅是(0,?,故④错误.故答案为：®@.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得/(x)的图像，特别是当-。<工<。时，f(x)=Ja2-x2的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16如.图，在三棱锥P-ABC中，R41平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=W.因为人(*3，/(也))(也<-时,@4，/(电)。42-。),结合图像可知，要使|PQ|取得最小值，则点P在/(x)=x+2x<-—J_k,点。在同时|P0|的最小值为点。至Ij/(x)=x+2^x<--j的距离减去半圆的半径a,此时，因为/(x)=*=x+2(xv-?)的斜率为1，则瞄=-1,故直线OP的方程为y=~~x,y=-xfx=-l/、41联立厂C，解得{.,则P(—l,l)，第17页供28页BB(1)求证：BC1平面(2)求二面角A-PC-B的大小.【答案】(1)证明见解析(2)-3【解析】【分析】(1)先由线面垂直的性质证得PALBC,再利用勾股定理证得BCLPB,从而利用线而垂直的判定定理即可得证；(2)结合(1)中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平而用C与平面P3C的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PS_L平面ABC,BCu平面ABC,所以PAA.BC，同理PA1AB,所以为直角三角形，又因为pb=Jp^+ab2=&BC=\,PC=退,所以PB2+BC2=PC2＞则乙PBC为直角三角形，故BC1PB,又因gBCLPA,P那PB=P,所以BC1平面PAB.【小问2详解】由(1)BC1平面PAB,又ABa平面PAB，则BCA.AB,以A为原点，AB为x轴，过A旦与平行的直线为V轴，朋为z轴，建立空间直角坐标系，如图，第18页/共28页设平面Q4C的法向量为福设平面Q4C的法向量为福=(玉,*苛，贝「_，即〈设平面PBC的法向量为〃=(易,必/2)，贝>_，即〈x2+y2-z2=0'令x2=1,则z2=1,所以=(1,0,1)，所以cos/即—-\)=m=有1弓1，又因为二面角A-PC-B为锐二面角，所以二•面角A—PC—B的大小为一.3y(1)若/(0)=-夸，求。的值. (2)己知/V)在区间-号上单调递增，号)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使函数/(x)存在，求勿,9的值.条件①：/仲)=妊m-AC=0玉+H=0,令叫=1,则y}=-\,所以用=(1,一1,0),m-AP=0Z]=0,nBC=0*2=°B则4(0,0,0),P(0,0,1),C(l,1,0),8(1,0,0),所以辱=(0,0,1)质=(1,1,0),而=(0,1,0),PC=(1,1,-1),第19页供28页条件③：/条件③：/(同在区间上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)。=弋(2)条件①不能使函数/CO存在；条件②或条件③可解得a)=\,(p=~【解析】【分析】(1)把x=0代入，(x)的解析式求出sin。，再由|。|＜；即可求出仞的值;(2)若选条件①不合题意：若选条件②，先把/(同的解析式化简，根据f(x)在上的单调性及函数的最值可求出r,从而求出切的值；把切的值代入/(X)的解析式，由/[-y=一1和|。|＜：即可求出2。的值：若选条件③：由的单调性可知/(%)在x=-y处取得最小值-1,则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同.【小问1详解】因为所以伊=一；.【小问2详解】所以/(x)=sin(a)x+e),ty＞0,|e|v；,所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.若选条件①：因为,(x)=sin(sr+伊)的最大值为1,最小值为-1,所以/71F，故条件①不能第20页/共28页所以—=-^----—=丸，所以T所以—=-^----—=丸，所以T=27c,(y=-^=1,Z5\5J1所以0)=\,仞=-£；6所以—-+^=--+2H,^gZ,使函数/(x)存在;若选条件②：因为/(X)在-上单调递增,所以/(x)=sin(x+e),又因为一;=T所以sin—号+9=-1，it7T所以(p=-—+2kn,keZ,因为|^|<—,所以(p=-—.626若选条件③：因为/(X)在一5，一厂上单调递增，在一5'一5上单调递减,所以f(x)在x=-y处取得最小值-1,即/兀以下与条件②相同.18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示.在价格低；用“O"表示''不变"，即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天++0---++0+0++00+第21天到第40天用频率估计概率.0++0---++0+0+--+0+(1)试估计该农产品价格''上涨''的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变，，的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)第21页供28页 【解析】【分析】(1)计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算： (2)分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；(3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问1详解】根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：兰=0.4【小问2详解】在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C：xOfxC；x0.35x0.25=0.168【小问3详解】由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次,下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19.己知椭圆f：E+#=l(o＞力＞°)的离心率为手，4、C分别是E的上、下顶点，B,O分别是E的左、右顶点，IAC\=4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PZ)与直线8C交于点直线用与直线V=-2交于点N.求证：MN//CD.【答案】(1)三+己=194 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)结合题意得到土=虽,26=4,再结合a2-c2=b2,解之即可；a3第22页供28页所以椭圆E的方程为—+^=1.所以椭圆E的方程为—+^=1.94易得知。二业女"？，则直线8C的方程为尸一4一2,耽-3-033kPD=—=—t则直线PD的方程为*=-^(工一3),m-3m-3m-3 (2)依题意求得直线BC、PD与以的方程，从而求得点M,N的坐标，进而求得&皿，再根据题意求得kcD，得到=^CD,由此得解.【小问1详解】依题意，得e=-=—，则c=—a33又力,C分别为椭圆上下顶点，|/C|=4,所以2B=4,即b=2,【小问2详解】因为椭圆E的方程为—+^-=1,所以A(0,2),C(0,-2),8(-3,0),D(3,0),因为P为第一象限E上的动点，设P(，〃,〃)(0<〃?<3,0<〃<2),则—+^-=1,所以。2_。2=胪=4,即a2--a2=-a2=4,则/=9，令y=-2,则-2=—x+2,解得x=—,即N—,-2mn-2\n-2orc^—=—,贝ij直线儿的方程为’=己二工+2,m-0mm第23页供28页解得•,即解得•,即M=y联立，yx=3〃+2w-6<3(3w-2w+6)一12〃y又—+—=1，则m2=9-------，8w2=72-18w2>944所以mn3(3/?-2/n+6)-4m(9〃-6/n+18)(〃-2)+4"?(3〃+2〃?-6)3w+2m-6n-29w2+8w2+-12m-369w2+72-18/?2+6mn-\2m-36-9n2+6mn-12/n+363(-3w2+2w/?-4w+12)3又kcD=t~r=T»即知n=Ld»显然，初V与CD不重合，所以MN"CD.20.设函数/(x)=x-x3eav+\曲线*=/(x)在点(1/(1))处的切线方程为y=T+l.(1)求/力的值；(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；(2)答案见解析(3)3个【解析】【分析】(1)先对/(》)求导，利用导数的几何意义得到/⑴=o,r(i)=-i,从而得到关于。,力的方程组，解之即可；(2)由(1)得g(x)的解析式，从而求得g'(x),利用数轴穿根法求得g(x)<0与g'(x)>0的解，由此求得g(x)的单调区间：(3)结合(2)中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(-8,0),(0,玉)，(玉,工2)与(工2，*°)上尸(x)的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得/•(》)的极值点个数.【小问1详解】因为f(x)=x-x3eax+\xeR,所以f,(x)=l-(3x2+ax3)eax+bf因为，(x)在(1,/(1))处的切线方程为*=-、+1,第24页/共28页所以/所以/(i)=-i+i=o,r(i)=-i,所以a=-l,b=\.【小问2详解】由⑴得g(x)=f(x)=1-(3x2-x3)e-v+,(xgR),则gr(x)=-x(x2-6x+6)c'x+,,令》2-6工+6=0，解得x=3土JJ，不妨设、2=3+JJ,则0<^!<x,,易知e-x+,>0恒成立，所以令g'(x)〈O,解得0<、<玉或工>易；令g'(x)〉O,解得xv0或石<工<*2；所以g(x)在(0,%,),(易，*。)上单调递减，在(F，0)，(*"2)上单调递增，即g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+占,*0),单调递增区间为(-8,0)和(3-JJ,3+占).【小问3详解】由(1)^/(x)=x-x3e-x+l(XGR),/(x)=l-(3x2-x3)e~*+,,由(2)知/'(X)在(0,凡)，(沔,+8)上单调递减，在(一s,0),(x"2)上单调递增，当x<0时，r(-l)=l-4e2<0,/,(°)=1>0»即/,(-1)/,(°)<°所以/'(X)在(-少,。)上存在唯一零点，不妨设为天，则一1<易<0，此时，当x<x3时，f'(x)<0t则/(x)单调递减；当X3<x<0时,〃(x)>0,则/(x)单调递增；所以/(X)在(-8,0)上有一个极小值点：当00,而)时,广(X)在(0,石)上单调递减,则r(x,)=r(3-73)<r⑴=i-2<o,故r(o)r(x,)<o,所以f\x)在(0,叫)上存在唯一零点，不妨设为改，则o<易<和此时，当0vx<》4时，”(x)>0,则/(X)单调递增；当X4<x<x,时，r(x)<0,则/(x)单调递减:所以/(*)在(0,x.)上有一个极大值点；第25页供28页当xg当xg(xpx2)时,/r(x)在(X"2)上单调递增，则r(x2)=r(3+V3)>r⑶=1>。，故尸(电/(易)<。，所以/'(X)在(知》2)上存在唯一零点，不妨设为毛，则X}<x5<x2,此时，当x{<x<x5时，r(x)<0,则，(x)单调递减；当x5<X<x2时，r(x)<0,则/(X)单调递增：当x>x2=3+73>3时，3x-x3=x2(3-a:)<0,所以尸