教师资格证数学学科(高中数学)知识与教学能力复习重点

第一章课程知识

1.高中数学课程的地位和作用：

（1）高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内

容，是培养公民素质的基础课程。

（2）高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决

问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

（3）高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。

（4）高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。

2.高中数学课程的基本理念：

（1）高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养教学专门人才的基础课。

（2）高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、

特长提供空间。

（3）让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。

（4）提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习

兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。

（5）强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、

数学建模。

（6）重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；

强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。

（7）强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的

重要作用。

（8）全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和

过程性评价。

3.高中数学课程的目标：

⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的

数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

（2）三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观

⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。

（4）五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能

力

4.高中数学课程的内容结构：

⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算

法、统计和概率）、教学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）

（2）选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：

①选修系列1（文科系列，2模块）：17（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、

推理与证明、复数、框图）

②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、

2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）

③选修系列3（6个专题）

④选修系列4（10个专题）

5.高中教学课程的主线：

函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。

6.教学建议：

（1）以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

（2）帮助学生打好基础，发展能力：

①强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

②重视基本技能的训练

③与时俱进地审视基础知识与基本能力

（3）注重联系，提高对数学整体的认知

（4）注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

（5）关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成

（6）改善教与学的方式，使学生主动地学习

（7）恰当运用现代信息技术，提高教学质量

7.评价建议：

⑴重视对学生数学学习过程的评价

⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力

（3）重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）

（4）实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）

⑸根据学生的不同选择进行评价

第二章教学知识

8.教学原则

抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原

则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）

9.教学过程

备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固

新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评

价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与

决策调控作用）

10.教学方法

（1）讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教

学语言）

（2）讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。

（3）自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学

（4）发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步臊是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问

题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。

11.概念教学

（1）概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩

小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。

（2）概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉

关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不

相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）

（3）概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，

如“有一个角是直角的平行四边形是矩彩”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，

如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如

“=炉”）

（4）数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）

12.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施

之前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产

生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）

13.推理教学

（1）推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的

⑵推理的形式：演绛推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前

提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）

14.问题解决教学

（1）数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则

⑵纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所

得到的解）

⑶非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解

数学模型；检验；交流和评价；推广）

15.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习

第三章教学技能

16.教学设计

⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科

学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动

进行系统安排的过程。

（2）教学设计与教案的关系：

①内容不同：

教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景

分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源

的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说

明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧

重教什么、如何教。

②核心目的不同：

教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达

到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好

教学内容。

③范围不同：

从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。

（3）数学课堂教学设计的意义：

①使课堂教学更规范、操作性更强

②使课堂教学更科学

③使课堂教学过程更优化

（4）数学课堂教学设计的基本要求：

①充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本

②适应学生的学习心理和年龄特征

③重视课程资源的开发和利用

④注重预设与生成的辩证统一

⑤辩证认识和处理教学中的多种关系

⑥整体把握教学活动的结构

⑸数学教学设计的准备：

①认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求

②全面关注学生需求

③认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图

④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计

⑤制定学期教学计划、单元教学计划

(6)教材分析

①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务

②整体系统的观念用教材

③理解教材的编排意图

④突出教材的重点和难点

⑺学情分析

①分析学生原有的认知基础

②分析学生的个体差异

③了解学生的生理、心理

④了解学生对本学科学习方法的掌握情况

⑤分析学习知识时可能要遇到的困难

(8)制定合理教学目标的要求

①反映学科特点，体现内容本质

②要有计划性，可评价性

③格式要规范，用词要考究

@要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等

⑤注意教学目标的层次性(记忆、理解、探究)

⑥要实在具体，不浮华

(9)教学反思

①教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思

②教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；

个人撰写反思材料：集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文

(10)教学设计的撰写：

①教学目标：知识与技能(了解、掌握、应用)；过程与方法(提高能力)；情感

态度与价值观(体脸规律、培养看问题的方法)

②学情分析

③教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析

④教学理念

⑤教学策略

⑥教学环境

⑦教学过程

⑧教学反思

17.教学实施

(1)课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法(情境导入法)趣味导入法、悬

念导入法

(2)课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进

性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则

(3)课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分

析综合提问、评价提问

(4)学生活动：

①学生活动体现了学生在学习中的主体地位

②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分

③学生活动的目的是促进学生的理解

④从总体上说，学生活动必须是思维活动

（5）课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和

启下法、发散法和拓展法

（6）结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外

沟通，立疑开拓

18.教学评价

（1）数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、

学生行为、教学效果

⑵数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能

第四章常用数学公式

一、函数、导数

1,函数的单调性

（1）设码、方雨且x、＜x?那么

fCxo＜oroo在［训上是增函数；

«xi）＞＜＞r㈤在［训上是减函数。

⑵设函数y=在某个区间内可导，若ra）＞°,则在该区间内rw为

增函数；若ra）＜°,则在该区间内汽幻为减函数

2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）

对于定义域内任意的“，都有汽一幻=，（幻，则rw是偶函数；

对于定义域内任意的x,都有r（—x）=-r（x）,则rw是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3,函数在点。处的导数的几何意义

函数在点％处的导数是曲线在取刀）处

y=〃x）r（%（Dy=ra）p31r

的切线的斜率，相应的切线方程是

y-f（XB）=fC«D）（X-«0）o

4.几种常见函数的导数

C=0（C为常数）；=^lna.

=7ix"T（nEQ）.（力■=e*；

（sinx）'=cosi.（cosx）'=—sinx.

(arcsinx)*=—(arccosx)'=j.

(arctanx)>=—(arccotr)'=

(lnx)VQog«x)=点；

5.导数的运算法则

'㈤"

(u±v)'=u±v.，(uv)=uv^-uv，.u=f(x),v=flOOrr=4

⑵如果在。附近的左侧,（城＜0,右侧f（xd）＞0则n。）是极小值;

8.凹凸函数：设rao在开区间।上存在二阶导数:

⑴若对任意xFI,有F（x）＞。，则汽无）在।上为下凸函数;

⑵若对任意xel,有fu）＜0,则rao在|上为上凸函数;

二、三角函数、三角变换、解三角形、向量

9.同角三角函数的基本关系式

csinC

sin2o04-coso20=ltan0=------tanJ・cotG=l

rcosflr

10.正弦、余弦的诱导公式

*无

(―l)2sina色为偶数)

(-1)等ssa(*为奇数)

/左

(―1)2cosa(k为儡数)

cos（T±a）=、(-1)燮sina(无为奇数,

11.和角与差角公式

sin(a±P)=smacos^±casasin^.

cos(a±P)=cosacosp+smasrn^.

tana±tan,

tan(a±p)

1Ttanatan^

asma+bcasa=Vfl?+h2sin(a±M>)(辅助角3所在象限由点（3的象限

tan。=-

决定，，

12.二倍角公式

sin2a=24n/zcnsa.

ms2a=mPa—sin?"=2ms21-1=1—2sin2zi.

2tana

tan2a=----------5―

1—tan^/i

13.三角函数的周期

函数y=i4sin(d)a+q>)XFR及函数y=cas(wa+q>)XFR

2x

T=

(43,9为常数，且A*0,m>0)的周期g;函数

xfor+"

y=4tan(<ixi+(p)tF7（A,3,9为常数，且A*。

3>。）的周期Wo

14.三角函数的图像变换：

（1）函数y=4sin（3a+<|>）,x^R即y=sinx横坐标伸长（0<m<1）

1里>0g<0

或缩短（3>1）到原来的3倍，再向左（3）或向右（3）

目

平移13个单位，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来

的A倍。

⑵函数y=Asin（3a+qO,KFR即y=sinx向左（4»>0）或向右

（8<0）平移I酬个单位，再横坐标伸长（0VQV1）或缩短（m>1）

1

到原来的"倍，再，最后纵坐标伸长（A>1）或缩短（»<A<1）到原

来的八倍。

15.正弦定理

±=±=上=2R

sinBsinC（R是AARC外接圆的半径）

16.余弦定理

fl2=M4-r2—2hcmsj1.h2=足4-r2—2/i/rmsH.c=fl24-b2—2/ihcnsr

t，

17.三角形面积公式

S=^ahsinC=^bcsinTl=^acsinfl

222

18.a与b的数量积（或内积）

a-b=|a|-|b|cosd（©是向量a,b的夹角）

19.向量的坐标运算

⑴设ACRMNI）,B（X21yzz2）,则

AB=OB-OA=（x2-xlty2-yx,zr-z^.

⑵设a(XiMNi)风乐/#?)则a-b=应切+弘力+ziz?.

⑶设a(x,yz),则|a|="T产后。

20.两向量的夹角公式

设aCriMzJ1>(即，/2)且b*<l则

*b_*l*2tJ^>2+ZlZ2

cosB=

W-I*»l7xi2+yi2+zi2Vx22+y22+222

o

21.向量的平行与垂直

a//bori_

V5

a±b(a0)oarb=0<=^xrx2+>1X2+422=0

三、数列、集合与命题

22.数列的通项公式与前11项的和的关系

_!$171=1

'&l-$-in'2(数列{«」的前71项的和为£.=«+a?+…+/)

23.等差数列的通项公式和前宣项和公式

50>^=哂+竽d

01t=%+m-i)d：

24.等比数列的通项公式和前11项和公式

吟,<7=1

S»='aaaT*)_q#1

=ai<7"-1,III，"

25.数列求和常见结论：

1+34-5+—+(2n-l)=7^.

I2+22+32+…+兀2=：4+1)(2几+1)

n7t

13+23+33+—+7^=[|n(7i+l)]2

26.有n个元素的集合，含有2”个子集，2"一1个真子集。

27.原命题：若P则Q：否命题：若iP则F；命题的否定：若P则F。

28.全称量词即“所有”，“全部”，可写作“W”；存在量词又称特称量词，写作。

四、不等式

29.均值不等式

设a,bEfl+2（当且仅当"=b时取"=”号）

30.柯西不等式

（咛+域+-+啕（邛+贻+-+片）之5月+<12与+-+.32其中

巴="=...=*

%,…，瓦，…，井，当且仅当b'fc,'时不等式取等号。

31.Jensen不等式

〃㈤+f（b）+f（c）］v/（a+b+3

32,三角不等式：1闾一|b||M|a±b|<|a|+|b|

33.指数不等式:刈网>b（a>0,b>0）<=>f（x）Iga>ifffi

五、解析几何与立体几何

34.直线的五种方程

⑴点斜式：=上口一厮）（直线/过点（x»%）,且斜率为左）

⑵斜截式：了=比五+b（b为直线/在y轴上的截距）

y~yi_ri

⑶两点式：y’f（直线/过点（%》1）（%对，且均#叼，

yi*y?）

工+1=0

（4）截距式：ab（"、b分别为直线的横、纵截距，仁力#。）

⑸一般式：Ax+By+C=Q（其中A、B不同时为0）

35.两条直线的平行和垂直

若G：y=l*+bil2：y=kjx+b2

^1//40I，

⑴1~h#"

(2)11_112-晶出=一1

36.点(0而)到直线I：Ax+By+C=Q(的距离

.I-4*D+By+C|

d=-----,0—

JA2+呼

37.角平分线所在直线的方程

.k-*Lk-k

tana=-=—^2―

TZ1*2,其中晶、的分别为角的边所在直线的斜率，2a为原

角的大小

38.圆的三种方程

(1)圆的一般方程：/4-y2+Dx4-Ey+F=OfZ>24-f2-4F>0)

(2)圆的标准方程：(x-a)2+(y-h)2=^

fx=a+rcosfl

(3)圆的参数方程：ty=b+rsm,

39.两个圆的公共弦所在方程

22r22

(x4-y4-D1x4-E1y4-F1)—(x4-y4-D2x4-F2y4-F2)=0

40.直线与圆的位置关系

直线I：4x+8y+C=0与圆任一幻2+卬一方/:产的位置关系有三种：

d>r<=>相离<=>A<0.d=r一相切<=>A=0.d<r—相交

2

—A>0弦长二ZVr—<P;

d_|Aa+B*+C|

其中一8+用

41.椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

~+^=l(a>b>Q},a2—c2=bze=-<lx=±—

椭圆：』」，离心率a,准线'

|x=acosfl

参数方程是ly=b疝*「，椭圆上的点与两个定点Fi(cQ、F<—c£)的距离

之和等于常数(方)

=l（a>b>0）,c2—a2=b2<?=->1x=±—

双曲线：，离心率a，准线'，

渐近线方程是2y,椭圆上的点与两个定点尸1（。期、尸2（—。，<0的距离

之差等于常数（3）。

&°）x=V|PF|=Xo+；

抛物线：尸=2卬，焦点9/,准线，焦半径7过抛

物线焦点的弦长1期1=均+必+〃，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准

线的距离。

42.双曲线的方程与渐近线方程的关系

3一言=1=3-舌=0<=>y=±-x

（D若双曲线方程为芸'?,"。

y=±-x«-±^=o=91一百=入

（2）若渐近线方程为“11双曲线可设为/,。

马一千=1日―武=入

⑶若双曲线与）有公共渐近线，可设为/'（'>°,焦点

“在轴上；x<0,焦点y在轴上）

43.若斜率为上的直线与圆锥曲线相交于Ato，71）、两点，则弦长公式为

AB=-（1++X2）2-4*1X2）=J（1+、）［5+力）2—4>比］（k^0

44.柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=力"工表面积=2roi+2d，体积="（”是柱体的底面积，

“是柱体的高）；圆锥侧面积=11rL表面积=E+m2体积=3（s

是锥体的底面积，力是锥体的高）；

V=

球的半径是R,则其体积3,其表面积v=4tiR2

六、空间几何

45.平面方程：

⑴点法式：AQ-xC+Hfy—yO+Clz-Zn）=01»=（48£）是平面的法向

量

⑵一般式：Ax+By^Cz+D=Q（AJB.C不全为。）

（3）参数式：已知平面11上一点Mlx^ynZo）以及平行于平面的两不共线向量

/x=X1t1+X2t2+x0

|y=丫由+y2t2+y。

口1=区丫跖）和口2=出口必），则有Vz=Z^+Z7t7+z0

46.两平面间的关系：

口1//02~T~—-*束

（1）A，4°）%；（法向量共线但两平面不重合）

（2）m<=>44）+$%+Cig=0

cos6—31•叼I_阂西+^祖+QQI

一扇两一月+E科彳丹+呼+.

⑶叫与“2的夹角（,）：YV

47.直线方程：

(Atx+81y+Qz+Z>1=0

(4又+82y+C*4-Z>2=®

（1）一般式（交面式）:

X=XQ+tZ

%%+E

、z=&i4-tn

⑵参数式:

xf=7-ypif

n

⑶对称式（标准式）:

48.直线与平面的关系：

+C4

⑴1//H0AI+8m+Gt=0且4-By04-D#0.

.„AB

I_LHo；=—

⑵LmH

|Ai4-ftvH-Cn|

2222

⑶】与n的夹角（2）：VA+B+C-VP+m+>^

49.曲面方程:

甘+F*=i

（1）单叶双曲面：逆22（aJbjc>0)

(2)双叶双曲面：(aJbjc>0)

巨+丞=2z

(3)椭圆抛物面：p，(/四>°),当口=4时，曲面为旋转抛物面

j=2z

⑷双曲抛物面：p°(7M>0)

七、概率统计

50,平均数、方差、标准差、期望的计算

_*1^-1—

平均数："

w=-[(Xl-X)2+(X2r)2+--+(1»—X)2]

方差：

S=/-[(X!-x)2+3r)2+-+&-x)2]

标准差：W*

期望

51.回归线方程

b=障1&F(yT)=心叼

y=a+bx其中二&一W2二42Tliza=y-bi

52.独立性检脸:(。*(，词@44)

53.排列数、组合数

nJ

g=n(7i—1)—(n—m+1)

排列数公式:'"f,其中或=加,£=1;

组合数公式："V其中G=q=i

54.二项式定理：

f,,1

(1)(a+b)"=c2a"h+Clrf-M+--+^"^+-+<^00*"

(2)第「+1项：7;+i=O"Ff(0<r<7irF7)

⑶系数和：C1+G+…+y=2”

d+c?+u+=d+T+T+-=2>*T

(4)当”的绝对值与1相比很小且71不大时，有(1+a)"«14-na

(1—a)"«1—na

55.相对独立事件同时发生的概率PS-8)=P(4>P(8)

56.正态分布记为PNW2),其中期望噫=巴方差酰=接，曲线关于直线X=11对称并在

X=U时取最大值。

57.离散型随机变量的期望与方差的性质：

(1)期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量

取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

(2)噫=》小+*2%+…+3吗E(G=C(°为常数)

(3)-EO2?!+(»2-EO2??+-+~-D(G=0(C为

常数)

⑷设T|=o^+b则E(t|)=aE^4-bD(TO=a21^DfiD=E?2-(EQ2

⑸若E-W"),则庆=巾，1X=np(l-p):若如从几何分布，且

EF=ZDF=?

P代=衿=9他M则n才

八、复数

58.复数的除法运算:

a+bi(a4-bi)(c—di)(ar+bd)4-(bc—ad)i

c+di—(c+di)(c—di)—c24-<P

59,复数z=a+bi的模：|z|=|a+bi|=夜2+小

60.复数之间不能进行大小比较

61.设一元三次方程"必+%述+=+//=°(<1#0)的三个根分别是XiX/a,则有:

巧=--&工

Xt+X,+flX1X2+3+XtI3=-dXiXoX,=--4!

，，

令公的+停)3其中P=W,q=5空

当A>°时，方程有一个实根，一对共利复根；

当八=°时，方程有三个实根，其中有一个二重根：

当A<°时，方程有三个不等实根。

九、极限与级数

62.柯西收敛准则：数列laj■收敛的充分必要条件是：对于任意£》<>,存在整数N>0,使

得当n.m>N时有Iq-aJV.

limf(x)=A

63.极限的定义：*：对于任意£>°,存在正数&,当°<|x—Ml<6时，有

IfCO—川

z2..nnzi-In(14^4

,量<i八.、1—cosx^—lim—=lim---------=1

64.当家一口时，有U-l〜x〜smx〜则有*n=

吗(1+：)=吧(1+》/=6

65.函数极限的计算:

|H

lim=neJV

⑴…(+)其中各函数极限均存在

⑵洛必达法则：若函数和满足下列条件:

=limo(x)=a

T-HL

①其中

或fL=00

②在点”的某去心邻域内两者均可导，且

=lini4^

则有X-MLBW

66.拉格朗日中值定理：如果函数rw满足在闭区间【四上连续；在开区间(3内可导;那

么在开区间(物内至少有一点/9<£<b)使等式f(b)—f3)="£)(&-a)成立。

67.正项级数致散性判断：

(1)比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散

(2)比值与根值判别法：

'<1，级数心4收敛

Um9=p.>1,级数寿=[4发数，且Um』

n-»c».it-*o

=1,此判别金失效

若

（<1,级数收敛

Um咨=p1>l,级数骞=14发散，且比0。=+8

n-»coIn_*oo

I=1,此判别汰失效

若

p级数比较：设建◎Y==>°当P>I时收敛