考前三个月(浙江文理通用)习题高考知识方法篇：函数与导数 第8练含答案

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第8练突难点一一抽象函数与函数图象

［题型分析•高考展望］抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知

识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本

函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离

不开函数的单调性与奇偶性.

体验高考

1.（2015•安徽）函数兀0=（：；：2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

y

J飞.

Ox

i'

A.比>0,c<0

B.a<0,b>Qfc>0

C.〃<0,Z?>0,c<0

D.avO,反0,c<0

答案c

解析函数定义域为{xlxW—1:},结合图象知一c>0,

/.c<0.

令x=0,得犬0）=c、2，又由图象知人0）>0,二心。.

令|无）=。，得一°，结合图象知一^>0,6Z<（).

故选C.

2.（2015•天津）已知函数兀0=（函数gM=b—fi2—x)其中bWR.若函数y

［Q—2）2,x>2,f

=/u）—ga）恰有4个零点，则。的取值范围是（)

A@+8）B.（一8,1)

C.（0,4）D.Q,2）

答案D

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2-12-xl,GO,

得人2—尤)=

x2,x<0.

2—Ld+*,j<0,

所以於)+/(2—x)="4—Ixl—12—xl,0<xW2,

、2—12—xl+(x-2)2,x>2,

即式x)+/(2—x)=

x2+x+2,x<0,

<2,0«2,

/2—5工+8,x>2.

y-g(x)=/(x)+f(2-x)-b9所以y=/U)—g(x)恰有4个零点等价于方程兀0+犬2—X)一。

7

=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=/U)+K2-x)的图象有4个公共点，由图象知4V

b<2.

3.(2016•课标全国乙)函数y=Zr2—eM在［-2,2］的图象大致为()

答案D

解析彤)=8-e2>8-2.82>0,排除A；

/(2)=8-e2<8-2.72<i,排除B；

当x>0时，«r)=2x2—esf'(x)=4x—e”

当xe(0,：)时，/(x)<；X4—e«=0,

因此於)在(0,上单调递减，排除C,故选D.

4.(2016・天津)已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增.若实数a

满足式2。小)决一也)，则a的取值范围是.

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答案(2,2)

解析；/(x)是偶函数，且在(一8,0)上单调递增，

...在(0,+8)上单调递减，以一也)=/(*),

•)，；.2展k也=g,

la-11<1,即一；<〃一即;

x+?—3,x,l,

5.(2015•浙江)已知函数/)=［x’则欢—3))=,兀0的最小值是

.lg(x2+1),x<1,

答案024一3

解析胆一3))=/(1)=0.

2

当x2l时，/(x)=x+x—322陋一3<0,当且仅当X=0时，取等号；

当x<l时，式x)=lg(x2+l)》lg1=0,当且仅当x=0时，取等号.

.；危0的最小值为2m—3.

高考必会题型

题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题

例I已知函数“T)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则7W为［0,1］上的增函数”是

“ZW为［3,注的减函数”的()

A.既不充分也不必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.充要条件

答案D

解析①；为0在R上是偶函数，

.\Ax)的图象关于y轴对称.

,.乂x)为［0,1］上的增函数，

二区)为［—1,0］上的减函数.

又：火幻的周期为2,

：.,f(x)为区间［-1+4,0+4］=［3,4］上的减函数.

②..TU)为［3,4］上的减函数，且/(X)的周期为2,

，女)为上的减函数.

又,.-/(x)在R上是偶函数，；.兀1)为［0,1］上的增函数.

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由①②知”於)为［0,1］上的增函数''是7W为［3,4］上的减函数”的充要条件.

点评抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也

可由函数一般性质进行推理.

变式训练1已知定义在区间(0,+8)上的函数火X)满足(|)=/您)一式为),且当x>l时，7W

<0.

⑴求;U)的值；

(2)判断式x)的单调性;

(3)若式3)=-1,解不等式共团)<一2.

解(1)令々=々>0,

代人心)=做)一段,)，

X2

得式1)=式外)一/(々)=0,故AD=o.

Y

(2)任取XI,x2e(o,+8),且不>々，则

;当x>l时，fix)<0.

・••#)vo,即兀9一曲)<。，即於

故函数兀0在区间(0,+8)上单调递减.

(3)由代)=火玉)一兀引，

9

得八3)=负9)一/(3).

而大3)=—1,・\/(9)=-2,

原不等式为/(Ld)<式9).

••・函数Jx)在区间(0,+8)上单调递减,

/.lxl>9,.'.xV—9或x>9.

...不等式的解集为{xlxV—9或x>9}.

题型二与抽象函数有关的综合性问题

例2对于函数大x),若在定义域内存在实数x,满足八一x)=一兀)则称,/(x)为“局部奇函

数”.

(1)已知二次函数式x)=ax2+2x-4a(“eR),试判断共群是否为“局部奇函数”？并说明理由；

⑵若/U)=2，+机是定义在区间上的''局部奇函数”，求实数机的取值范围.

解;U)为“局部奇函数”等价于关于x的方程4的+人-x)=0有解.

(1)当./U)=以2+〃-4a(aGR)时，

方程式x)+/(_x)=0即2a(/-4)=0.

因为方程有解x=±2,

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所以犬X)为“局部奇函数”.

(2)当.危0=2X+加时，y(x)+./(-x)=O可化为2-'+2-.'+2w=0,

因为兀0的定义域为[一1,1],所以方程2'+2-x+2m=0在[一LU上有解.

令/=2'{5，2],则-2m=f+7

设g(f)=r+；，2],

贝Ijg，⑺=1—：2,re。2J.

当「©6，1)时，/⑺V0,故g⑺在(0,1)上为减函数；

当fG(l⑵时，g'(r)>0,故g⑺在(1,2)上为增函数.

所以函数g(>)=t+；,2]的值域为[2,1],

由2W—得一：W/nW—1,

故实数机的取值范围是T，-1].

点评(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌

握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.

(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致

出错.要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数.因此掌握这

类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.

变式训练2已知函数凡r)是定义域为(-1,1)的奇函数，而且7U)是减函数，如果人机-2)+火2,"

-3)>0,那么实数，”的取值范围是()

I

C.(1,3)

答案A

解析是定义域为(一1,1)的奇函数,

1WV1,#—x)=—*戈)・

・7Am-2)+八2加-3)>0可转化为加一2)/一2相+3),

；/U)是减函数,

•\m—2<—2加+3.

—1<m—2<1,

-1<2m—3v1,

2V—2m+3,

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题型三函数图象的应用与判断

例3已知函数以)=J则y=/(x)的图象大致为()

1111人I1I人

答案B

解析令^(x)=ln(x+1)—%,

Y

则g'(x)=_]+x，X>—1.

当g'(x)>0时，-1。<0；当g'(x)<0时，A>0.

故g(x)vg(O)=O,即x>0或一l<r<0时均有加c)vO,排除A,C,D.

点评(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首

先考虑坐标轴上的点.

(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟

悉图象所能够表达的函数的性质.

(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数

的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.

变式训练3形如工3>0,。>0)的函数因其图象类似于汉字中的“冏”字，故生动地

称为“冏函数”.若当a=\,b=\时的“冏函数”与函数y=lglxl的交点个数为〃，则n=

答案4

解析由题意知，当。=1,。=1时,

],二便20且#1),

产3-1=11

〔一..VO且xWT).

在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y=lgbd的图象如图所示，易知它们有4个交点.

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高考题型精练

1.定义在R上的偶函数於)满足式2-x)=/U),且在［-3,—2］上是减函数，a,4是钝角三

角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是()

A../(sina)牙(cos夕)B./(sin«)</(cos夕)

C./(cosa)«cos£)D.«cosa)/cos夕)

答案B

解析因为兀力为R上的偶函数，所以式—x)=/(x),

又大2一力=於)，

所以力>+2)=式2—(x+2))=/(—x)=/(x),

所以函数人x)以2为周期.

因为兀0在［-3,-2］上是减函数，

所以八x)在［-1,0］上也是减函数，

故兀0在［0,1］上是增函数.

因为a,4是钝角三角形的两个锐角，

兀7C

所以1+用<2，a<2，

所以Ovsinavsing—£)=cos,

故/(sina)</(cos份,故选B.

2.定义域为R的函数人x)对任意x都有人2+x)=/(2—x),且其导函数/'(x)满足§黑>0,

则当2Va<4时，有()

A./(2«)</(log2a)</(2)

B.fi\oS1a)<ft2)<f(2-)

C..A2«)<y(2)<Alog2a)

D.Alog2a)</(2«)</(2)

答案A

解析由函数y(x)对任意x都有人2+外=共2—x),得函数/(x)图象的对称轴为直线x=2.

因为函数/U)的导函数/(x)满足;

所以函数人》)在(2,+8)上单调递减，(-8,2)上单调递增.

因为2<a<4,所以Klog2a<2<4<2«.

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又函数火x)图象的对称轴为直线x=2,

所以大2)>./Uog2a)>./(2。)，故选A.

3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：〃x)

=21og2(x+l),^(x)=log2(jc+2),^(x)=log2J；2,/4(x)=log2(2r),则''同根函数”是()

A.£(x)与力。)B.工(x)与4(x)

C.”x)与〃幻D.《(X)与力⑴

答案A

解析f4(x)^\og2(2x)=1+log2x,^U)=log2(x+2),将q(x)的图象沿着x轴先向右平移2个单

位得到y=log2》的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到《(X)的图象，根据“同根

函数”的定义可知选A.

4.函数式x)=Ld+3其中“6R)的图象不可能是()

答案C

解析当。=0时，yu)=lxl,且xWO,故A符合，

当x>0时，且”>0时，Kr)=x+：22&,

当x<0时，且。>0时，y(x)=-x+f在(-8,0)上为减函数，故B符合，

当x<0时，且a<0时，

/(x)=~x+^2yj-x^2\/^a,

当x>0时，且。<0时，y(x)=x+：在(0,+8)上为增函数，故D符合.

5.在平面直角坐标系中，若两点尸，。满足条件：

(1)P,。都在函数y=/(x)的图象上；

(2)P,。两点关于直线y=x对称，

则称点对｛尸,。｝是函数y=/(x)的一对“和谐点对”.(注：点对｛P,。｝与｛0，P｝看作同一对

“和谐点对”)

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[x2+3x+2(xW0),

已知函数yu)=则此函数的“和谐点对”有()

[log2A-(X>0),

A.0对B.1对C.2对D.3对

答案C

解析作出函数段)的图象，然后作出/(x)=log2X(x>0)关于直线y=x对称的图象，与函数人x)

="+3x+2(xW0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对.

6.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数人外称为何函数:

(1)对任意的xW[0,1],恒有段)20;

(2)当玉》0,苫220,时，总有犬/+%)宓%)+犬工2)成立.

则下列3个函数中不是M函数的个数是()

①/U)=x2;②/(力=/+1;③/(x)=2x-l.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析在[0,1]上，3个函数都满足八x)N0.

当X产0,%+尤2・1时：

对于①，AX[+%)—

=%+々)2—(X；+号)=2*唱》0,满足；

对于②，段1+々)一[/(1)+/2)]=©1+即2+1]一[(岑+1)+@+1)]="々-1<0,不满足；

对于③，/(x+x)—[/(X)+f(x)=(25+*2—1)—(2、-1+2.s-1)=22v2—2、一2$+1

1212

=(2*,-142.“-1)20,满足.故选B.

7.已知函数人》)=》：2一根卜1有三个零点，则实数机的取值范围为.

答案(1,+°°)

解析函数;(X)有三个零点等价于方程由=mlxl有且仅有三个实根..士=机皿1=卜卜。

+2),作函数y=lxl(x+2)的图象，如图所示.

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由图象可知〃［应满足：0<^<1,

故m>\.

8.设函数y=>(x+l)是定义在(一8,O)U(O,+8)上的偶函数，在区间(-8,0)是减函数,

且图象过点(1,0),则不等式a—iyu)wo的解集为.

答案(一8,0JU(l,2］

解析>=%+1)的图象向右平移1个单位得到y=/(x)的图象，由已知可得大x)的图象的对称

轴为x=l,过定点(2,0),且函数在(一8,1)上递减，在(1,+8)上递增，则人尤)的大致图象

x>1,［x<\,

如图所示.不等式(x-iy(x)wo可化为火幻>0由图可知符合条件的解集为(一

病户0

8,0]U(l,2].

9.设函数於)是定义在R上的偶函数，且对任意的xdR恒有/(x+1)=/口—1),已知当xe［0,1］

时，段)=2，，则有

①2是函数/U)的周期；

②函数人x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数兀0的最大值是1,最小值是0.

其中所有正确命题的序号是.

答案①②

解析在yu+i)=/a—1)中，令x—l=f,

则有W+2)=/(f),

因此2是函数大制的周期，故①正确；

当xWQl］时,外)=21是增函数,

根据函数的奇偶性知，人工)在［—1,0］上是减函数，根据函数的周期性知，函数式x)在(1,2)上是

减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；

由②知犬》)在［0,2］上的最大值=/(1)=2,7U)的最小值=7(0)=犬2)=2。=1,且共X)

maxmm

是周期为2的周期函数，.•)(>)的最大值是2,最小值是1,故③错误.

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10.已知函数y=/a)(xCR)为奇函数，且对定义域内的任意x都有式l+x)=-/U-x).当

xW(2,3)时，_/(x)=k>g2(x—1),给出以下4个结论：

①函数y=«r)的图象关于点(k,0)(keZ)成中心对称；

②函数y=/(x)是以2为周期的周期函数；

③当xd(—1,0)时，式x)=-log2(l—X)；

④函数丫=/①1)在(匕k+l)(%ez)上单调递增，

则正确结论的序号是.

答案①②③

解析因为/(l+x)=—/(I—x),y=/(x)(xeR)为奇函数，

所以_/(l+x)=/(x—1),则/(2+x)=Ax),

所以y=Xx)(xeR)是以2为周期的周期函数，②正确；

所以」(2k+x)=/a),y(x—%)=/(x+k)=-fik-x),

所以式x+&)=一犬后一x),即函数y=/(x)的图象关于点(L0)(kGZ)成中心对称，①正确；

由①知，函数/U)的图象关于点(2,0)成中心对称，

即y(x+2)=一八2—X).

又因为当xG(-l,0)时，2—尤6(2,3),

所以式x)=_/(x+2)=一犬2—x)=-log,(2-x-l)--log2(l-x),③正确；

函数y=/(Lrl)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以④不正确.

11.已知函数/U)=lx2—©+31.

(1)求函数於)的单调区间，并指出其增减性；

(2)求集合M={H使方程/U)=机有四个不相等的实根}.

f(x-2)2-l,xe(-oo,1]U[3,+8),

解A-^)—_

[।一(x—2尸+1,,3),

作出函数图象如图.

(1)函数的增区间为(1,2),(3,+8)；函数的减区间为(一8,1),(2,3).

(2)在同一坐标系中作出y=/(x)和y=m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).

由图知0<机<1,.,.M={/nl0</M<l}.

12.函数式x)的定义域为。={xk#0},且满足对于任意外，有人尤「々)=大%)+加2),

⑴求小)的值;

(2)判断共外的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果式4)=1,式x-l)<2,且於)在(0,+8)上是增函数，求x的取值范围.

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解(1)..•对于任意%,x2eo,

有70/々)=｛玉)+./!>2),

.•.令玉=4=1，得犬1)=纨1)，；加1)=0.

(2次c)为偶函数.

证明：令壬=々=_1,有式1)=犬—1)+7(―1),

—1)=2^1)=0.

令%=-1,%=x,有./(-x)=/(-l)+./(x),

.•决一力=%)，

.\/(x)在£>上为偶函数.

(3)依题设有J(4X4)=/(4)+/(4)=2,

由(2)知，负力是偶函数,

：.fix-l)<2心一11)<加6).

又J(x)在(0,+8)上是增函数，

/.0<lx-ll<16,解得一15Vx<17且xWl.

；.x的取值范围是｛xl-15<x<17且x#l｝.

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