解三角形中的最值与范围问题4大题型

解三角形中的最值与范围问题4大题型

命题趋势

解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生

数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相

对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方

法加以解决。

满分技巧

一、三角形中的最值范围问题处理方法

1、利用基本不等式求最值-化角为边

余弦定理公式里有"平方和"和"积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等

式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意"一正二定三相等"，尤其是取

得最值的条件。

2、转为三角函数求最值-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式

难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三

角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二,边化角与角化边的变换原则

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或

余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

(2)若式子中含有“、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

热点题型解读

I

题型1与角或三角值有关的问题

题型2求周长的最值与范围问题

题型3求面积的最值与范围问题

题型4与边有关的最值与范围问题

【题型1与角或三角值有关的问题】

[例1]（2023春•江西赣州高三统考阶段练习）在锐角MC中，角A,8,C所

对■的边分另（J为。，c.已知。=1，且入cosA-cos8=l，贝[]GsinB+2sin2A的取值范

围是（）

A.（0,G+l）B.（2,G+1）C.（1,3]D.（2,3]

【变式I」】（2023•四川泸州统考二模）在ABC中，BC^2,AB=2AC，。为BC

的中点，则tan的最大值为

【变式1-2]（2023•福建福州.统考二模）记AABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c.已知"-片=2/

（1）求黑的值:

（2）求C的最大值.

【变式1-3]（2023春辽宁本溪高三校考阶段练习）已知回。的内角AB,C的对

边分别为“7，c,8为钝角.若ABC的面积为$,且46S=〃W+c2—/).

(1)证明：8=>4；

(2)求sinA+sinC的最大值.

【变式1-4](2023春湖北武汉•高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角ABC

中,角AI,C所对的边分别是“也c,满足

(1)求证：C=2B;

(2)求U-C+3sinC的取值范围.

tanBtanc

【题型2求周长的最值与范围问题】

[例2](2023春•四川成都・高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习衽A8C中，

csinB=y/3bcosC.

(1)求NC；

(2)若a+6=6,求ABC周长的最小值.

【变式2-1X2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知△ABC的内角A,

B,C所对边分别为a,b,c,且sinA=[("F'*).

2bc

(1)求8的大小；

(2)若△ABC为钝角三角形，且b=6,求△ABC的周长的取值范围.

【变式2-2】(2023.全国.高三专题练习)已知函数

f(x)=cos2(<yx)+A/3sin(twx)cos(<wx)-g,其中。>0,且函数/(x)的两个相邻零点间的

距离为5，

(1)求。的值及函数/⑺的对称轴方程；

(2)在45c中，a/,c分别是角A,8,C的对边,若/(A)=-l,a=打，求43c

周长的取值范围.

【变式2-3*2023•湖南模拟预测在4?C中，内角A，8，C所对的边分别为a,b,c,

已知"C的面积为S,且25(^-^+^-^)=(a2+/?2)sinA.

sinBsinC

(1)求C的值：

(2)若a=G,求4?C局长的取值范围.

【变式2-4】(2023春・河北邢台•高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形

_3

A3CD中，A8,C,。四点共圆，AB=5,BC=3,cosZABC=-j.

(1)若sin/ACQ=¥,求AZ)的长；

(2)求四边形ABC。周长的最大值.

【题型3求面积的最值与范围问题】

【例3】(2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=2>/3sin(7t-x)-cosx-2cos2x(XGR).

(1)求函数“X)的值域；

(2)在△A3C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若〃A)=-2,“,

求AABC的面积S的最大值.

【变式3-1】(2023浙江嘉兴统考模拟预测)已知越C中，内角A,8,C所对

sin23tanC+1

的边分别为。，b,，且满足

l+cos2BtanC-1

(1)求角A的大小；

(2)设AO是BC边上的高，且4)=2,求ABC面积的最小值.

【变式3-212023•山东临沂•统考一模在他C中角4B,C所对的边分别为〃也c,

已知“cosB+Z?cosA=2ccosC.

(1)求C;

(2)若c=l,求ABC面积的取值范围.

【变式3-3】(2023•全国•模拟预测)已知4?C的内角A,B,C的对边分别为a,

htC,>/5/>sinC=sin3(4asinC—.

(1)求A；

(2)若。是ABC的内心，q=2,且从+c2>4,求△O5C面积的最大值.

【变式3-4】(2023•江苏南通•校联考模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中,

A5B=\,AD=73,CD=2,BC=y/2.

D

c

(1)若BC1.CD,求sinZADC；

(2)记△MO与ABCD的面积分别记为M和邑，求S；+£的最大值.

【题型4与边有关的最值与范围问题】

[例412023•江西南昌统考一模在锐角4?C中角A,B,C所对的边分别为,

若a=1,8=60，则匕的取值范围为.

【变式4-1](2023春•湖南•高三校联考阶段练习)已知的C的内角A、B、C所

对的边分别为“、b、c,acos(8-C)=(2百csinB—'cosA.

(1)求角A；

(2)若MC为锐角三角形，且外接圆的半径为6,求空式的取值范围.

b

【变式4-2]（2023.广东江门.统考一模）在锐角舫C中，角A,B,C的对边分别为

3,且心，-二，「不依次组成等差数列.

tanBs\nAtanc

（1）求1的值；

be

（2）若b>c,求的取值范围.

【变式4-3]（2023.江苏南通・统考模拟预测）在△ABC中，角A,8,C的对边

分别是。,b,c,已知8=4,且8cosc+gc=a.

（1）求8；

（2）若。在AC上，且BDLAC,求BD的最大值.

【变式4-4】（2023•新疆・统考一模）在ABC中，。也c•分别为内角A,8,C的对边，

c2=2absinC.

（1）sinCcosB+sinB=sinA,求tanC的值；

（2）求]的最大值.

限时检测

（建议用时：60分钟）

1.（2023•甘肃武威统考一模）在9C中，A8=3,AC=2,BC>短，则cosA的范

围是（）

2.（2023秋・浙江宁波•高三期末）在ABC中，内角A,B,C的对应边分别为a,

3C,已知6sin(8+C)=asin丁，且ABC的面积为坊，则四。周长的最小值

为()

A.2夜B.2gC.6应D.6+2#)

3.(2023•江西赣州・统考一模)已知锐角A3C的内角A&C的对应边依次记为

“反c,且满足c-b=2反osA,则3"。+3)+2852(4-3)的取值范围为.

4.(2023.陕西西安•统考一模)已知在.ABC中，角A,8,C所对边分别为a,b,

C,满足处cosA+a=2c,且6=26，则周长的取值范围为.

5.(2023.全国•校联考一模)在43C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,

c2+ac=b1.

(1)证明：B=2C;

(2)求一的取值范围.

6.(2023春湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)已知A8C的内角A,B,C

的对边分别为a,b,c,且2sinC-sinB=tanAcosB.

(1)求A；

(2)若。=2,求2c-b的取值范围.

7.(2023河南.校联考模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c已知标是2〃与sin(c+£|的等比中项.

(1)求A;

(2)若一钻C是锐角三角形，且c=2,求“sinB的取值范围.

8.(2023•全国•高三专题练习)在①6(〃-反。sC)=csinB,②2a-c=»cosC,③

e-b)(〃+6)=(a-c)c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该

问题.

在ABC中，内角48C的对边分别是。，b,c,且满足_______,6=26.

(1)若a+c=4,求一ABC的面积；

(2)求一ABC周长/的取值范围.

9.(2023春•山西•高三校联考阶段练习)求△ABC，角A,B,C所对的边分别为

a,h,c,已知A=g,且△ABC的周长为6.

(1)证明：税+12=4(b+c)；

(2)求△ABC面积的最大值.

10.(2023・四川凉山•统考一模)在锐角.MC中，角A,8,C所对的边分别为

a,b,c,b-cs\nA=acosC

(1)求A；

(2)若。=2,求A3C面积的取值范围.

参考答案

【题型1与角或三角值有关的问题】

【例11（2023春・江西赣州•高三统考阶段练习）在锐角A8C中，角A,B,C所

对的边分别为a,b,c.已知a=l,且6cosA-cosB=l,则/sin3+2sin2A的取值范

围是（）

A.（0,^+1）B.（2,6+1）C.（1,3]D.（2,3]

【答案】B

【解析】：&cosA-cosB=l,gp：Z?cosA=cosB+l,a=\,AZ?cosA=（cosB+l）«,

•••由正弦定理得：sinBcosA=（cosB+l）sinA,即：

sinBcosA=sinAcosB+sinA,

/.sin（B-A）=sinA,

3-A=A或8—A+A=7T,解彳导：8=2A或8=乃（舍），

又•.♦△ABC为锐角三角形，则C=A4-3=兀-3A,

_.7T.7T

0<A<—0<A<—

22

7T兀4兀

0<B<—=>0<2A<-，解得:—<A<一

2264

0<C<-0<TI-3A<-

22

/.>/3sinB+2sin2A=5/3sin2A+1-cos2A=2sin（2A-—）+1,

6

又建"苦（--4<sin（2/1-i）<T，二

2<2sin（2A----）+1<>/3+1,

6

即抬sinB+2sii?4的取值范围（2,若+1）.故选：B.

【变式I】（2023•四川泸州・统考二模）在旗C中,BC=2，AB=2AC,D为BC

的中点，则tanZAOC的最大值为.

【答案】|4

【解析】设AC=x,则A3=2x,

因为。为BC的中点，BC=2,所以8/）=£>C=l,

由三角形三边关系，可知2x+x>2且2x-x<2,解得：<x<2,

在中，由余弦定理，得COSZAT>5=，"¥二⑵）,

2AD

在.A8中，由余弦定理，得cosNA£>C=.空三二,

因为NAD6+NAQC=TI,所以cosNADB=cos（兀-NA£>C）=-cosNA£）C,

所以尘士色£=_改±二,解得A。、衣?」，

2AD2AD2

则cos/ADC京乒尹木/小卡卜色+2=1,

当且仅当":，即"1时，等号成立，此时/一『I,解得“竺

因为cosNADC《>0,所以NAOCe［o,£|.

因为y=cosx在代）上单调递减，y=tanx在恒）单调递增，

所以当COSZADC取得最小值时，tan/ADC取得最大值,

此时sin4£>C=J1—cos?NADC=g,贝［JtanZAOC=g,

所以tanZAOC的最大值为，

【变式1-2】（2023.福建福州.统考二模）记AABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,.已知〃2—。2=2/

（1）求鬻的值:

（2）求C的最大值.

［答案］（1）售=—3;（2）［

tanAO

【解析】（1）由余弦定理可得从=c2+/-2accosB,

代入方_02=22,得到02+/_2«88町-02=勿2,化简得

c2+2accosB=0,

即c+2acosB=0,由正弦定理可得sinC+2sinAcosB=0,

即5皿(24+3)+2§11124€：053=(),展开彳导$1048$8+005由105+2$104©0$3=0,

即3sin/4cos8=-cosAsinb所以—=一3

tanA

（2）由〃一/=2/得02=亡互

/+i2

3a+M_3a+b>f~3~_百

故2安__________2_4ab-4^+4^-V16~~2~1

2ab

当且仅当/=3〃2,即）=百4时等号成立.

因为人（。，虫所以cq，所以C的最大值为看.

【变式1-31（2023春辽宁本溪高三校考阶段练习）已知A8C的内角A,B,C的对

边分别为。力，。，8为钝角.若.ABC的面积为$,且46S=〃W+c2—/）.

（1）证明：8=畀4；

（2）求sinA+sinC的最大值.

9

【答案】（1）证明见解析；（2）?

O

【解析】（1）由余弦定理cosA="+（一。得次-4=y+/-02,

2bc

4bsA4。1.A.nX（l?始

aa21I2广

8为钝角，则A8-］均为锐角，

BIT=ATT

■-~2，即八万+A

(2)

sinA+sinC=sin(8一]]+sin(8+8一力=一cosB-cosIB=-2cos2B-cosB+1

令cosB=ft8为钝角,则f«T,0),

sinA+sinC——2-r+1=-2\t—

厂I4；।H—87.

ii9

当，=-彳，即cosB=_,时，sinA+sinC取最大值，且为

44o

【变式1-4］（2023春・湖北武汉•高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC

中，角4B,C所对的边分别是“，"c,满足＜、2=贴+力

（1）求证：C=2B;

（2）求」-R+3sinC的取值范围•

tanBtanC

【答案】（1）证明见解析；（2）（竽,4）

【解析】（I）由。2=从+成及余弦定理/=a2+b2-2abcosC，得a=6（2cosC+l）,

由正弦定理得：siM=sinB（2cosC+l）,

又A+B+C=7t,

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBCosC+sinB

/.cosBsinC—sinBcosC=sinB,..sin(C-3)=sinB,

A'。都是锐角，,C—B=B,即C=2,

..、人11r.rcosBcosC_._sinCcosB-cosC-sinB_._

(2)令)=-------+3sinC=-----------+3sinC=-------------------+3sinC

tanBtanCsinBsinCsinBsinC

_sin(C-B)

+3sinC,

sinBsinC

由(।)C=2B得V=^+3sinC，

八/兀7T

0<A<一o<^--(z?+c)<-

2

0<8<四八C兀

在锐角三角形ABC中，,即0<B=­v—

222

0<C<-0<C<-

22

解得枭C",.-.since

令/=sinCG,.-.y=/(r)=y+3r,/e

在［乎,1］上单调递增，

又函数y=〃f)=7+3/

故熹-熹+3s"的取值范围是(竽

【题型2求周长的最值与范围问题】

【例2*2023春•四川成都・高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习衽中，

csinB=V3/>cosC.

(1)求NC；

(2)若a+8=6,求.ABC周长的最小值.

【答案】(1)C=；(2)9

【解析】(।)因为csin8=6〃cosC,所以由正弦定理得sinCsin8=QsinSeosC,

又因为Be(°，兀),sinBkO,所以sinC=6cosC,即有tanC=G,

又因为C«(),兀)，所以eg

7T

(2)因为C=§,a+b=6,

所以由余弦定理可得

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=36-3ab>36-3x=9,

当。=。=3时，等号成立，所以c*3,

故A8C周长的最小值9.

【变式2-1X2023.云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知△A8C的内角A,

B,C所对边分别为a,b,,且sinA=

C2bc

(1)求8的大小；

(2)若△ABC为钝角三角形，且〃=6,求△ABC的周长的取值范围.

【答案】(1)W；(2)仅63+@

【解析】(।)根据余弦定理可知，,

2ac

所以sin4—V3-2i7ccosB即sinA-CacosB=A—百sinAcos3

2bc'bsinB

贝UtanB=6/e（（）,兀），所以"三；

兀2汽

（2）设八2,~

b五=2

根据正弦定理可知sinAsinCsinB.兀

sin

3

所以a=2sinA,c=2sinC=2sin

2sin4+2sin(g-A)+

所以周长a+h+c=

=2sinA+cosA4-—sinA+

2

=3sinA+>/5cosA+百=25/3sin(A+—J+>/3,

it2花兀2兀5兀

因为AwA+—£

2'T'6T'T

KS，所以班＜2石sin（A+e）

所以如上+2+石＜3+石，

所以一"C的周长为（2"3+⑹.

【变式2-2］（2023•全国•高三专题练习）已知函数

/（x）=cos2（（«%）+＞/3sin（（9x）cos（8）,其中（y＞0,且函数/⑴的两个相邻零点间的

距离为3,

（1）求。的值及函数/⑺的对称轴方程；

（2）在4ABe中,a,"c分别是角A,B,C的对边，若〃A）=-1M=6，求一ABC

周长的取值范围.

【答案】(1)g=1,对称轴方程为：x考+处闭;;(2)(26,2+肉.

【解析】(1)f(x)=cos?(0x)+6sin(0x)cos®x)-g="co；2°x)+GSI；2OX)一；

.(c兀

〃x)=sin2a)x+-

I6

因为函数/（X）的两个相邻零点间的距离为5,

所以函数/（X）的最小正周期为2乂尹兀，因为。＞0,

所以芸=兀=。=1,即/(x)=sin2x+-,

2coI6/

令2x+?=E+g(%€Z)nx=^+9&GZ),所以对称轴为

o220

AltTC/.z\

X=T+6(；

(2)由/(A)=-lnsin(2A+/_l,

1.、，./c、LLt'ic,兀/兀13兀、c,兀37r.2兀

因为AE(O,兀)，^TUZ271+—G(—,­)=>2A+—=—=^>A=—,

666623

因为。=G,所以由正弦定理可知：

―--=---=---=—i=2nb=2sinB,c=2sinC

sinAsin3sinC，3,

T

所以三角形的周长为g+2sin8+2sinC=6+2sinB+2sin(；-8

=V3+2sinB+2^cosB——sinB=Gcos8+sin8+G=2sin[8+1)+G

因为北（。令，所以8+9（头）,

D333

因此sin（8+］）€（*,l］=2sin（3+1）+石e（2g,2+石］,

所以,校7周长的取值范围为（26,2+后.

【变式2-3*2023湖南模拟预测在一MC中，内角AB,C所对的边分别为“也c,

已知加C的面积为S,且2S（包£+包_1）=（/+/）制”4.

—sinBsinC

（1）求c的值；

（2）若a=6,求ABC周长的取值范围.

【答案】（1）J；（2）（2"+引.

【解析】（1）在A8C中，由三角形面积公式得:sjcsinA,

由正弦定理得：2x次sir心+升.+小4,

整理得：a~+b~-c2-cib,由余弦定理得：cosC="”———=—,

冗

又0<C<%,故C=§.

（2）因为八百，C吟,由正弦定理得，=不三,

3^Slrlz*

八GsinS13叫§乃-AJ3cosA石，

b-----=---------=----+—

sinAsinA2sin42

33cosA3y/33(l+cosA)3G

即ABC的周长/=a+b+c=

2sinA2sinA~2~~~2sinA~~

,2A

2,3^3+3^

因为Ae〔O仔J,则）（。9），故0<tan1<百,

3+3>/37-

所以募7F，即一MC的周长的取值范围是（26,+8）.

2

【变式2-4]（2023春・河北邢台・高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形

_3

ABCZ）中，48,。,。四点共圆，AB=5,BC=3,cosZABC=--.

（1）若sin/AC£>=^,求AL）的长；

（2）求四边形ABC。周长的最大值.

【答案】（1）病；（2）8+2病

【解析】(1)因为ABC。四点共圆，所以ZA8C+ZAQC=TT,

33

g]cosZABC=--,所以cos/AOC=-cosZA8C=g,

——;------4

因为ZADCe(O,7t),故sinZA£)C=7i^cosZADC=—

5

在MC中，由余弦定理得：

3

AC2=AB2+BC2-2AB-8。cosZABC=25+9—30x二52

故AC=2g,

AnAC

在AADC中，由正弦定理得：诉°揄加,，

AD2V13

即而=丁，解得：AD=A;

r5

3

(2)由(1)知：4c=2而,cosZADC=1,

在人4。。中，由余弦定理得:

AD2+CD2-AC2AD2+CD'-52Ji

cosZADC=

2ADCD2ADCD--5

整理得：AD2+CD2ADCD+52，故(AO+C。)2-52若AOC。，

其中皿,故

,1649

(AD+CD)--52=—ADCD<-(AD+CD)-z

解得:AD+CDW2旅,当且仅当AD=8=历时，等号成立，

故四边形ABC。周长的最大值为AB+BC+AD+CD<S+2765.

【题型3求面积的最值与范围问题】

【例3】(2023.重庆渝中.高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=2\/3sin(7t-x)-cosx-2cos2x(xeR).

(1)求函数〃x)的值域；

(2)在△ABC中，角A,8,C的对边分另JJ为a,b,c,若/(力=一2,。=道，

求△ABC的面积S的最大值.

【答案】(1)HU]；(2)手

【解析】(1)〃x)=2gsinx-cosx-2」+c；2x=>/3sin2x-cos2x-l=2sin^2x-^-l,

•••/(x)的值域为[Tl].

(2)〃A)=2sin(24q卜=—2,

即sin(24-"=-；,由4e(0,兀)得-江？4-9)

\O72OOO

・c4兀7兀口门A2兀

••2A)二,即A二,

663

227r22

J^3=6Z2=b+c2-2bccos—=b+c+bc^3bc,即bcWl,

,•SABC

2224

=¥，当且仅当8=cT时取得.

•,(SABC)“ax

【变式3-1】(2023・浙江嘉兴.统考模拟预测)已知ABC中，内角A,，C所对

sin23tanC+1

的边分别为。，b,，且满足

1+cos28tanC-1

(1)求角A的大小；

(2)设AD是8c边上的高，且")=2,求ABC面积的最小值.

【答案】(1)；；(2)472-4

x.sin282sinBcosBsinB

【解析】(1t)法一：左边=不嬴方=万k=狒

sinC+]

tanC4-1cosC=sinC+cosC

右边=

tanC-1sinC[sinC-cosC

cosC

由题意得

sin3sinC+cosC一一—八厂

-------=-----------------=>sinBsinC-sinncosC=cosBsinC+cosBcosC

cos3sinC-cosC

sin(8+C)+cos(8+C)=0tan(8+C)=—1,艮|JtanA=l,

又因为0<A<兀，所以'=；・

sin2B2sinBcosB

法二：左边=---------z——=tanBn,

1+cos232cos-B

c71

tanC+tan—

tanC4-1

右边=4

tanC-1<x-.兀

1-tanCtan—

4

TTTT

由题意彳导8=—C—1+B+C=—]+E,

又因为0<8+。<兀,所以8+C=¥=A=%

(2)由SAA«c=；ax2=g%csin；na=苧Z?c,

2222

由余弦定理得=b+c-2/?ccos：na=b+c~-\f2bcf

22222222

^>-bc=b+c-42bc=>-bc+\/2bc=b+c>2bcf

88'

=bc1（2-码，当且仅当6=c时取“等号”，

而以诋=；儿疝咛=¥乩，故区皿）1nhi=.x8（2-0）=4近一4

【变式3-2］（2023.山东临沂.统考一模在ABC中角4仇。所对的边分别为“也。，

已知acosB+bcosA=2ccosC,

(I)求C；

(2)若c=l,求43c面积的取值范围.

【答案】(1)C=g;(2)(0当.

34

【解析】(1)在二MC中，由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,

1jr

而0<C<7t,sinC>0,则cosC=5,所以C=§.

(2)在ABC中,由余弦定理/=/+尸-2"cosC彳导：1=42+从-”。，

因此122成-必,即0＜必41,当且仅当a=b时取等号，

又S*=g"bsinC=；x曰=¥“匕e(0,曰］

所以枷面积的取值范围是。%

【变式3-3］(2023.全国.模拟预测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,

b!C,C=sinZ?^4asinC—\［3c\.

(1)求A；

(2)若。是MC的内心，a=2,且〃+/>4,求△OBC面积的最大值.

【答案】(1)概年；(2)乎

［解析］(1=sinsinC-s/3c)y/3bsinC+V3csinB=4asin^sinC,

由正弦定理得G(sinBsinC+sinCsinB)=4sinAsinBsinC,

所以Gsin5sinC=2sinAsinBsinC，因为sinBsinCwO,所以sinA=F,

因为A«0㈤，所以白卷或A号

(2)因为。=2,且从+/>4,所以由余弦定理得

所以A为锐角，由（1）知4咚

因为。是的内心，所以

ZBG>C=7r-^（ZABC+ZACB）=7t-1（7t-A）=y,

在AOBC中,由余弦定理得3c2=OB2+OC2-2OBOCcosZBOC,

所以4=OB2+OC2-20BOCcosy=OB2+OC2+OBOC

>2OBOC+OBOC=3OBOC,

当且仅当08=。。=芈时等号成立，所以,

.Jo

AffUIS^OBC=­OB-OCsinZ.BOC=[,

所以AOBC面积的最大值为9.

【变式3-4]（2023•江苏南通•校联考模拟预测）如图,在平面四边形ABCD中，

AB=\tAD=y/3,CD=2,BC=6.

D

c

（1）若8C_LCD,求sinZADC；

（2）记△48。与乙BCD的面积分另（!记为3和$,求s：+s；的最大值.

【答案】（1呼；（2）£

D

।hx

【解析】（1）；BC上CD,：.BD=y[4T2=y/6,

/…6+3—1820M吟，2熹:

cosNADB—ll—/——.

2-V6-V36V23

sinZBDC=,cosNBDC=~^==4

3V63

CV2B

/.sinNADC=sin(/BDC+NADB)=sin