九年级数学几何培优竞赛专题专题9巧用切线长定理解题含答案

专题9巧用切线长定理解题

【知识解读】

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线

的夹角.该定理在计算和证明中应用相当广泛，常常可用来解决以下几种题型：

①求角度；②求线段长；③证线段相等；④证明线段成比例；⑤证明线段平行；⑥与三角形内切圆有

关的问题.

培优学案

【典例示范】

例1已知。。的两条切线布和PB相交于点P,与。0相切于A,B两点，C是。。上的一点，若/片

60°,求/4CB的度数.

【提示】由于点C的位置不确定，所以需要分类讨论.

【跟踪训练】

如图1-9-1,C4和CB都是。。的切线，切点分别是A,B,如果。。的半径为2力，且

48=6,求N4C8的度数.

图1-8-20

例2如图1-9-2①，ZABC中，CA=CB,点。在高C“上，OO_LCA于点D,0EJ_C8于点E,以。

为圆心，0。为半径作。O.

(1)求证：。。与CB相切于点E；

(2)如图1-9-2②，若。O过点H,且AC=5,48=6,连接£77,求』的面积.

【提示】(1)由等腰三角形的性质易得C”是N4C8的平分线，再根据角平分线的性质定理得OE=OD,

即圆心O到直线CB的距离等于半径，所以结论得证；

(2)先由等腰三角形的性质，得BC=AC=5,BH=AH=3,在R/ZBCH中，由勾股定理得C”=4；再由

切线长定理得跖=8"=3；然后，过点E作成」AB于点F,则易得48EFS4BCH,根据相似三角形的对

应边成比例得EF的长，则ZBHE的面积,BHEF.

2

图1-9-2©图1-9-2②

【跟踪训练】

如图1-9-3,在ZABC中，/ABC=90°,0是AB上的一点，以。为圆心，。8为半径的圆与AB交于

点E,与AC切于点。，连接DE,0C,若AD=2,AE=l,求CD的长.

图1-9-3

例3如图1-9-4,PA,P8切。0于A,B两点.CD切。0于点E,交孙，PB于C,D,若。0的半径

为r,』PCD的周长等于3r,则tanZAPB的值是()

D12C.jx/13

A.—V13D.------D.-713

1253

【提示】先利用切线长定理将』PCD的周长转化成线段阴长的2倍，构造出切线长定理的基本图形，利

用勾股定理、面积法或者是三角函数计算出相关线段的长度，最后将所求的Z4PB放在一个直角三角形中,

将它的正切值转化为两条线段的比值即可得到答案.

图1-9-5

如图1-9-5,OA与。8外切于点D,PC,PD,PE分别是圆的切线，C,D,E是切点，若《ED=x。，

的半径为R,则错误!的长度是()

人万(90—x)RDi(90—y)R「乃(180—x)R、i(180-y)R

A.------------------D.-------------------C.--------------------D.-------------------

9090180180

例4如图1-9-6①所示，A8为。。的直径，与。0相切于点A,DE与。。相切于点E,点C为OE

延长线上一点，且CE=CB

(1)求证：8C为。。的切线；

(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G(如图②所示).若AB=2石，AD=2,求线段8c和

EG的长.

【提示】(1)欲证明BC为。。的切线，依据切线的判定定理，需证明OB_LBC,为此要连接OC,0E,

设法证明408C"0EG得/0BC=/OEC=90。；

(2)需顺着(1)问结论，灵活运用切线长定理，勾股定理，相似三角形知识解答，关键有二：一连

接BE,发现EC=BC=CG；二通过过点。作BG边上的高构造直角三角形，应用勾股定理求出”的长。

【跟踪训练】图196°图1-9-4②

如图1一9一7,在梯形A8CO中，AD/BC,NA8C=90°,以A8为直径作00,恰与另一腰CO相切

于点E,连接O£>,OC,BE.

(1)求证：OD//BE；

(2)若梯形48co的面积是48,设0£>=X，OC=y,且x+y=14,求CD的长.

【提示】(1)由E是切点，故先连接OE,要证OZV/BE,需证明一组同位角NAOQ=NA8E,而NA3E

是圆周角，根据圆周角定理可知/A8E=L/AOE,则需证明40。=/OOE,即证明RtACM。丝RtAOED

2

即可；(2)由两对三角形全等易得/£>OC=90°,则CD=商+9,由梯形的面积是△£>oc的2倍，

可知个=48,再由x+y=14可求CD.

图197

例5在RtzMBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AB=5.

探究新知

如图1一9一8①，。。是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E,F,G.

(1)求证：内切圆的半径0=1；

(2)求tanNOAG的值；

结论应用

(1)如图1一9一8②，若半径为力的两个等圆。。1，。。2外切，且。。2,与AC,48相切，。。2与

BC,AB相切，求「2的值；

(2)如图1一9一8③，若半径为外的〃个等圆。。|,。。2.,…，00,„依次外切，且。。1与AC,

AB相切,00“与3C,AB相切,001，。。2.,…，。0“均与AB相切，求r“的值.

图1-9-8

【跟踪训练】

阅读材料：已知，如图1—9—9①，在面积为S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,内切圆。的半

径为r,连接OA,OB,OC,aABC被划分为三个小三角形.

S=SMBC+S^oAc+S^OAB=-BC,r+—AC•r+—AB,r——(a+i>+c)r.

图1—9—9

(1)类比推理：若面积为S的四边形ABC。存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图1一9一9②，各

边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AO=4,求四边形的内切圆半径r；

(2)理解应用：如图1一9一9③，在等腰梯形ABCO中，AB///DC,AB=21,CD=\\,AD=\3,00,

与00分别为△AB。与△8C£＞的内切圆，设它们的半径分别为八和2求二的值.

r2

【提示】(1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接Q4OB,OC,OD,则四边形被分为四个小三

角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似.仿照证明过程，r易

得：

(2)上问中已告诉我们内切圆半径的求法，采用类比的方法即得结果，但求内切圆半径需首先知道

三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点。作QELA8于点E,AE=-(AB—CO),可求得AE的长，

2

BE=AB-AE,求出8E的长.在Rt/XAOE中，根据勾股定理可求得OE的长，在中，根据勾股

定理求出8。的长，则外，犯易得，进而求出工的值.

r2

培优训练

直击中考

1.如图1一9—10,RtZXABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点。为圆心所作

的半圆分别与AC,BC相切于点。，E,则AO为.

图1-9-10

2.如图1一9—11,ZXABC中，A,B,C三点的坐标分别为A(0,12),8(—5,0),C(9,0).若

△ABC的内心为/,则点()

1717、

A.(一,一)B.(—,4)C.(1,一)D.(1,4)

2222

3.如图1一9—12,CO是OO的直径，且CO=2cm,点P为C£>的延长线上一点，过点P作。。的

切线雨，PB,切点分别为点A,B.

(1)连接AC,若NAPO=30°,试证明△ACP是等腰三角形；

(2)填空：

①当OP=cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP=cm时，四边形AOBP是正方形

图1-9-12图1-9-13

4.如图1一9—13,在梯形A08C中，40〃CB,点A,8分别在y轴和x轴上.P是08中点，以P

为圆心，P8长为半径作半圆，。为该半圆与AC的一个公共点，且O8=CB=C£>=4.

(1)试说明：AC与半圆相切于点。；

(2)求点D的坐标.

挑战竞赛

1.如图1—9—14,已知AB为。。的直径，AB=2,和BE是圆。的两条切线，A,B为切点，过

圆上一点C作。O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若NABC=30°,则AM=.

N

图1-9-14图1-9T5

2.如图1一9一15,。。是RtZ\A8c的内切圆，切点为。，F,E,若AF,BE的长是方程x?—13x+

30=0的两个根，则△ABC的面积为

3.如图1一9一16,。。的半径为1,点P是。。上一点，弦48垂直平分线段OP,点。是希上任

一点(与端点A,8不重合)，OELA8于点E,以点。为圆心，OE长为半径作。£>,分别过点A,8作

。。的切线，两条切线相交于点C.

(1)求弦A3的长；

(2)判断NAC8是否为定值，若是，求出N4CB的大小；否则，请说明理由；

(3)记△ABC的面积为S,若品/丁=4百，求aABC的周长.

DE2

图1-9-16

4.如图1一9—17,△ABC中，AB=1,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心/作DE/〃BC,分

别与AB,4c相交于点。，E,则DE的长为________.

专密9巧用切线长定理解明

例I如卷图1-9・1.连接。4.。8.

VPA.PB与圃。分91相切于点A・3・

・・・HPQB_PB.

・・・N(MP-NOBP-90••乂NP-8..

；・ZAOB-360•-90•-90•-60*-120*.

冲点C在优弧A8上时•如答医1・97・

乂VZACB和/AO8分别是赢所对的圜冏角和圜心角.

.・・ZACB--yZAfJB-60*।

当点C在劣蜒Ab上时./AC”-IMyZAOB-120\

你上uj知,/ACB-M或120*

例2(D・・・CA=CB•点O在高CHt.AZACH-ZBCH.

VOD±CA,OE±CB./.OE=OD,

•,.◎O与CB相切于E点.

(2)VCA-CB,CHft«.AAH=BH»yAB=yX6-3.

ACH-/CA1-AH1-修二3，二C

•1点O在育CH上,©O过点H・・・・OO与AS相切于"点.

由(1)如OO耳CB相切于E点，・・・BE・B”3.

如谷图1・9—2,过£作£尸」.48于点F・

用EF//CH.••・△BEFsZ\BCH.

嗜嚼,武哼,...EF/I・・・NOBC=90・..・・BC为0O的切线.

ASAAHT-1-BHXEF—

例2・踩训练CD-3

例3B提示，根据题您可知,PA,PB,CD均为©O的切线.

AP4-PB.CE-CA,DE-DB.

・•・△PCD的周长=PC+CD+PD=PC十CE+DE+PDR.

PC+CA+DB+PD-PA+PB-2PA.即2PA-3r.HPPA«yr.

«B1-9-4

如若图1-9・3,连接AO.BO.PO,由勾股定理可知・尸。二季「,由切

(2)如答图卜9・4②,过点D作DF^BC于点F.

线长定理可知,AB1PO,被垂足为H,则AH=BH=t浮•：AD,DC.BG分则切©O于点A.E・B.

.%DA=D£.C£=Ca

会/Hr.JAB=2否,.再过点A作AMJ_PB于M.设BC为工,则CF»x-2.DC=r^2.

在RtADFC中•(x+2»-(x-2)1=(23汛解得x=y.

由面枳法可知：AM-PB・PH・AB,

PH・AB弥/®X各O]8•・・AD〃BG・・・・NDA£-NEGC

即AM-~PH-----------------3--------------W7DA=DE,・・・NDAEN/人ED.

TrVZAED-ZCBG.：・NEGC=NCEG.

；,PM=J(G1(存);知••,CG-CE-CB-y.ABG-5.

AAG«/(2却+5J745-375.

方宏1；连接BE,S&ub­i-AB•BG-yAG•BE,

・・・2々X5=3&BE,I.BE-y.

在RtABEG中.EG=VBCf-Be=/，-(号)-yV5.

方法2SVZDAE-ZEGC.ZAEI7-ZCEG,

.•.△ADKtoAGCE

嘴噎牌方晦^解得3季

的4・片谓・

答图1-9-3

(D如答图卜95•连接。£

例3AU9憾K

VCD是OO的出线.AOE1CD.

B提示:根据孤长的计算公式，整可知只要求出NEBD的度

1©0在RtZSCMD和RtZSOED中.QA-OE.OD-QD,

一

数就能求出DE的长度.连接DB.EB.因为。A与0B外切于点D・:.RtAOAD^RtAOCD.

PC.PD.PE分别是园的切线，所以PE-PD-PC,/PEB-/PDB・・・NAOD=NEOD=十/AOE.

TO,.根据四边形内角和虺3M可得/EBD780,一NEPD-\

在。中,

180*-(ZCPE-ZCPD)-180--[180*-2/PCE-(180,-\OZABE-3ZAOE.

2ZFCD)]=180・+2NPCE-2/PCD=180•-2/DCE-・•・ZAOD-ZABE,：.OD//BE,

18O*-2y.

*

所以金的长度■£!即湍山通-丛磊讪与故选a*

«4(1)如答阳l-9-4(D,连接QE.8.

VCB-CE,OB«OE.OC-OC,

/.△OBC^ZSOEG

:.“SC./OEQ

又・・・DE与OO相切于点E.答圉1・9・5

.••ZOEC-90*.

<2)PJ«3Tif»RtACOEk2RtACOB.例5・航训■

Q)如若图1-97①，连接QAQH.OC.8.

・；S-Sme+S2ac+SAai>+S28u-1-ar+-1-Ar4--|-cr-F

・・・/DD£+/8EN90',•・•△COD是双角三翕形.

■:S&W♦S/MMO♦S&DE.S&DB，+〃=-1-《。+5+c+d)r

••・S・iMBCD-ZlS/ycr+SACDK)=2SAflac**OC•OD=48,

即“厂48,

t

又•・・jr+yl4.・・・x*+y=Gr+y»-2<ry・】4f-2X48N100.*

在RtZ^CQD中・CD-"XROD3=,即CD的长

为10.

例5探究新知ND在答图】・9・6①中,连接O£.QF.QA.

,:四边形CEOF是正方形・CE-CF-n.

又・；£一反一3一八.BG-BF=4-ri.AG+BG=5,

・；(3—r))+(4-F|>-5.郎n™l.

(2)如答册卜9处，连接OG•在RtZSOG中.

Vn-1•AG-3-r>-2.

(2)如答图197②•过点D作DE_LAB于点E.

MAE-y(AB-DO-1-X(21-ll)-5.

DE=/Abi-AE?-/审=12.

BE-AB-AE=21-5-16.

BD»JD0JBEt=712^4-161=20.

川〃2二骁噌/

乂...S3-»"3+2l+Qn$

S3+xai+13+20)c4

结轮应用ND如答图196②,连接QA,QB,作aD_L4B交

于点D,QEJ_AB交于点E.AOi.2分别平分NCAB./ABC.

27Q.21

22n11'"a9'

由W~，如unZOiAD^-y.

修⑥申蒙

同理可傅:tan/QBE=•

1.1.6程示।如答图"9-8•连接QD.O£,设AD=*.

・

AAD—2n.DE-2nBE**3rl.•・W圜分财与AC.BC相切，・・・Na»-NC£O=90・.

••♦AD+DE4BE=5,即n-1-.VZC-90\・•・四边形ODCE是矩形..,.OD*CE.OE»CD.

(2)如等BB1・9・6③,连接QA.OLB,作。D_LAB交于点D,:ACD-CE-4-x.BE=6-(4-x)-x+2.

・・•/AOD♦/A-90°・NAOOhNfiOt=90・.

QEJLAB交于点E,….明17^交于点乂,|1!〃>|,必分别平分

・・・/A•/bQE・

ZCAB.ZABC.

unZQAD-+■=g・

AD=2，..DE-2,■・…・M8。3%•

又•；AD+DE+•-+MB-5..

2r.+27,+…+3r.=5.《2»t+3)。=5,即，"

Wffi1-9-8

2.D

3.证明ND如答图1-9-9®.ftttCH.Aa

VPA为⑥O的切融，.-.OA±PA

在Rt&AOP中./AOP,90•一NAPO«90.-30・=«r.

答图19-6③

VOB-OC,HZABC-30\?.ZBa>=ZABC-30\

AZACP-yZAOP=yX60,-30\

•・・/AOC为ABOC的外州./.Z^OC-2ZABC-60*.

.•.ZACP-ZAFO..,.AC-AP.

•1MA.MC分别为IS。的切线.

•••△ACP是等*三角形.二MA-MC.且/MAO=/MOCA90：

在RtAAOM和RtAttlM中,MA=MC.(Mf-QM.

・•・RtZkAOM^RtACXMf.

・•・ZAOM-ZCOM-yZAOC-30*.

在RR&AOM中.QA=+AB-1.NAOM-30,.

・・・un30・=需,即§一华,解得AM■冬

(2)提示।①若K边形AOBD是菱形.CXAa1J

则AO=AD-OD-1.在RtZSCMP中•当点D是OP的中点射.2.30提示।■方程得AF-1O,BE-3・AB-I3.

WOD=PD-1时•四边形AOBD是差形.设CF=CE-”•则(10+*>+(3+*)，-131,解阳1-2

②若网边形AOBP是正方形•剜/AOB-/APB-90・.所以AC-12,HC=5,则乙留的曲根为30.

即PA=R=1,可LPAaoZiPCA,工解ND如答图1-9-11,连接OA.JHQP与AH的交点为F,则

PM-PD《PD+2》,即1-PZXPDf2)，iWCM-1.

・・・PD«+2H>-l-0,解得PAV2-1或Pg-G-M舍去).

4.解：(1)连接CP,DP.

•・・AO〃CB.NAOB=90・.・・・NCBO=90・.

又・・•点B在半・上.・・・BP=DP.

VCD-CB.CP-CP.•••△CDPMZkOiP.

.•.ZCDP=ZCBP-90*.

乂，,点D在华Bl匕；,AC与半■相切于点D.

<2)VOP-PB.・•・点。在隼倒上.

又・・・/AOe-90・.；・AO与半UI相切.

.\AO-AD.

答图1-9-11

作ANJ_CB,看足为N.设AO-z,V弦AB看真平分线段OP.・・・OF・+。。十・"fF.

在RtAANC中.AN1+S-A。•

在中.

即"+(4—力*・(4+力，.解得x-1.

VAF-raA，_0^=JlT+1■亨"・AB=2AF=G.

作DM1_O3.垂足为M.与AN交于点H.

7DM//CB.・••△ADHsAACN.

(2)NACH是定值.理由如下।

.AD_AH1AH....4

,・而而,即m可.了…AH-于由⑴M知./AOBT20".

丁点D为AABC的内心,连接AD,8D.

同理，可得用.所以(卷,卷),

DH