九年级数学第28章锐角三角函数导学案

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第2课时余弦函数和正切函数

学习目标：

1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.

2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

重点：1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.

2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

自主学习

一、知识链接

1.在中,Z?=A/3,ZC=90°,ZA=30°,求c.

2.在RtZ\4BC中,b=T,ZC=90°,ZA=450,求c.

尸df"■一

〉合作探究

一、要点探究

探究点1:余弦

合作探究如图，△ABC和△OEF都是直角三角形,其中/C=/F=90°,

ACDF

则法=而成立吗？为什么？

I/

/

A1)F

在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是

一个常数，与直角三角形的大小无关.

如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角a,有cosa=sin(90。-a),

从而有sina=cos(90°—a).

练一练1.在RtAABC中，NC=90°,AB=13,AC=12,则cosA=.

2.已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5,a为其最小的锐角，求a的正弦值和

余弦值.

探究点2：正切

合作探究如图，△A8C和△£>£：/都是直角三角形，其中/C=/F=90°,

BCEF

则就二而成立吗?为什么?

由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻

边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做ZA的正切，记作tanA,即

4的对边_BC

tan/=

4的邻边一旅.

锐角A的正弦、余弦、正切都是/A的三角函数.

J

/对边

A邻边C

想一想如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？

练一练1.如图，在平面直角坐标系中，若点P坐标为（3,4）,连接0P,求则0P与x

轴正方向所夹锐角a的正弦值=______.

，/P(3,4)

0]1234F

2.如图，4ABe中一边BC与以AC为直径的。。相切与C,若BC=4,AB=5,贝1」

tanA=_______・

A

BC

【典例精析】

瓯［如图，在RtZXABC中,ZC=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tan4的值.

上

练一练1.在RtZiABC中，Z（7=90°,AC=12,AB=13.A

sinA=______,cos/=______,tanA=____,/

72

8]C

sinB=,cosB=,tanB=

2.在RtZSABC中，ZC=90°,402,BC=3.

sinA=，cosA=,tanA=

sinB=，cosB=,tanB=

【方法总结】在直角三角形中，如果己知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦

和正切值.

3

距如图，在中，NC=90°BC-6,sinA=—,求cosA、tanB的值.

5

【方法总结】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求

出其他的所有锐角三角函数值.

练一练1.如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC=8,

2.在RtZ\ABC中，NC=90°,且sinA=1,则下列结论正确的是（）

2

131

A.cosA=—Bi立C.cosA=—j=D.tanA=—f=

22V3

二、课堂小结

1.如图，在RtAABC中，斜边AB的长为m,NA=35。，则直角边BC的长是（）

A./%sin35°

B.mcos35

m

C.

cos35°

m

D.

cos35°

2.sin70°,cos70°,tan70。的大小关系是()

A.tan700<cos700<sin70°

B.cos70°<tan70°<sin70°

C.sin700<cos700<tan70°

D.cos700<sin700<tan70°

3.如图，在RtAABC中，ZC=90°,cosA=—,求sinA.tanA的值.

17

AC

4.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,CC_LAB,垂足为£>.若A£>=6,CQ=8.求

tanB的值.

5.如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=6.求cosB及tanB的值.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：c=2.2.解：c=.

课堂探究

一、要点探究

探究点1：余弦

合作探究

A(JDF

解：VZA=ZD,/C=NF=90°,.,.ZB=ZE,从而sinB=sinE,因此——=——.

ABDE

12

练一练1.—

13

2.解：•.,直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5,令斜边为7x,则该直角边为5x,

25

另一直角边为2jdx<5x,/.sina=--y--,cosa=—

77

探究点2：正切

合作探究

⑼BCACBCEF

解：ZC=ZF=90°，.;RtAABCsRtAD£F.——=——.二——=——

EFDFACDF

想一想解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数.

44

练一练1.32.I

典例精析

例1解：由勾股定理得AC=y/AB2-BC2=V102-62=8,因此

BC_6

sinA-,cosA上J,tanA上一

5AB105AC84

512512512c37132岳327133^/132

练一练1.

13TI121313T'下13~2~1313~3

例2解：在Rt^ABC中，VsinA=—,AAB=^-=6x-=10.

ABsinA3

又•••AC=^JAB2-BC2=V102-62=8,...cosA=—=-,tanB=—=-.

AB5BC3

RCa33

练b练1.解：*/tanA==—,/.BC=—AC=—x8=6,

AC444

AB—AC2+BC2=>/82+62=10,AsinA==---,cosA=.

AB105AB105

2.D

当堂检测

1.A2.D

在Rt/XABC中，由cosA=4^="，

3.解：A817设AC=15Z,则AB=17A.

BC=7AB2-AC2=J(17氏)2-(15k)2=8k,

...sinA=—上空8

ABT7k17AC15k15

4.解：：CQ_LA8,NACB=NAOC=90°，;.NB+ZA=90°,ZACD+NA=90°,

AD63

：.ZB=ZACD,；.tanZB=tanZACD=CD84

5.解：过点A作ADLBC于点D.'：AB=AC,BC=6,：.BD=CD=3,：.

cBD3

cosB---=—.

AB4

2222

AD=\JAB—BD—\/4-3=V7,•t„no_——=.

在RSAM中，..^B-BD3

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第1课时正弦函数

学习目标：

1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值

都固定（即正弦值不变）.

2.能根据正弦概念正确进行计算.

重点：理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比

值都固定（即正弦值不变）.

难点：能根据正弦概念正确进行计算.

>凄学3n<

二、知识链接

1.在Rtz^ABC中，a=l,ZC=90°,乙4=30°,求c.

2.在Rt/LABC中，a=\,NC=90°,ZA=450,求c.

合作探究

二、要点探究

探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值

合作探究为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上

建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角（NA）为30°,为使出水口的高

度为35m,需要准备多长的水管？

这个问题可以归结为：如图，在RtAABC中，NC=90°,ZA=30a,BC=35m,求AB.

【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么无论这个直角三角形大小

1

如何，这个角的对边与斜边的比都等于5.

思考1：RtAABC中，如果/C=90°,NA=45°,那么BC与AB的比是一个定值吗？

【方法归纳】在直角三角形中，如果一个锐角等于45°,那么无论这个直角三角形大小

e

如何，这个角的对边与斜边的比都等于

思考2：任意画RtZXABC和RtAA'B'C；使得NC=/C'=90°,/A=NA'=a,那么

些与Of有什么关系？你能解释一下吗？

ABA'B'

【方法归纳】这就是说，在直角三角形中，当锐角4的度数一定时，不管三角形的大小

如何，ZA的对边与斜边的比也是一个固定值.

如图，在RtAABC中，/C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正

弦，记作sinA，即

4的对边

【典例精析】

而如图，在RtAABC中，ZC=9O°,求sinA和sin8的值.

B

A

44cC?”

图①图②

练一练1.如图，判断对错：

sinA=—X:才（）

AB上。/6m

/J（）

sinA=—

AC

A\-C

sinB=—（）

AB

sinA=0.6（）

sinB-0.8（）

2.在Rt△ABC中，ZC=90°,AB=1,BC=3,贝ljsin4的值为（）

A.叵B.-C.-D.\

777V33

瓯如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4）,连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐

角a的正弦值.

//尸0,4）

1234%

【方法总结】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向x轴或y轴作垂

线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.

练一练如图，已知点P的坐标是（a,b）,则sin1，等于（）

a

Ab

o\~»x

b_

B.a

a

22

cy/a+b

b

Dda2+/

探究点2：已知锐角的正弦值求直角三角形的边长

瓯如图，在RtAABC中，NC=90°,sinA=g,8c=3,求sin8及RtA^BC的

面积.

提示：已知sinA及NA的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长，然后再利用勾股定

理，求出AC的长度，进而求出sinB及RtZ\ABC的面积.

AC

3

练一练1.在RtA4BC中，ZC=90°,sin,8c=6,则AB的长为（）

A.4B.6C.8D.10

2.在△ABC中，ZC=90°,如果sinA=-,AB=6,那么BO.

3

7

雨在ZiABC中，ZC=90°,AC=24cm,sinA=—，求这个三角形的周长.

【方法总结】已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定

理解决问题.

二、课堂小结

4的对边

正弦函数的概念sinA=

斜边

正弦函数

•|已知边长求正弦值

正弦函数的应

.|已知正弦值求边长

〉居堂检

1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值将()

A.扩大为原来的2倍B.不变C.缩小为原来的』D.无法确定

2

2.如图，在△ABC中，ZB=90°,则sinA的值为)

D.半

3.如图，在正方形网格中有△ABC,则sinNABC的值为

4.如图，点。(0,3),0(0,0),C(4,0)在。4上，BD是。4的一条弦，则sin/OBO

B

4

5.如图,△A8C中，AB=8C=5,sinA=—，求△ABC的面积.

5

6.如图,在ZLABC中，NACB=90°,CDLAB.

(l)sinB可以由哪两条线段之比表示？

(2)若4C=5,CD=3,求sinB的值.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：c=2.2.解：c=.

课堂探究

一、要点探究

探究点1：已知直角三角形的边长求正弦值

合作探究

BC1

解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即一=不，可得AB=2BC

AB2

=2X35=70(m).也就是说，需要准备70m长的水管.

B

..J35ni

』二。0：…J

AC

思考1解：因为/A=45°,/C=90°,所以AC=BC.由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2,

所以=因此些=..BC=也

AB亚BC2

思考2解：因为NC=NC'=90°,/A=/A，=a,所以RtZ\ABCsRt/\A3c.所以

ABBCpnBC_B'C

A'8'BCABAB

典例精析

例1解：如图①，在Rt/XABC中，由勾股定理得=J?二T?=5.

.BC3.AC4

因此smAA=——=一，sin3D=F==.如图②，在RtAABC中，由勾股定理得

AB5AB5

AC7AB2-BC?=7132-52=12.因此sinA=生=』，sin5=——=—.

AB13AB13

练一练1.VXXVV2.C

例2解：如图，设点A(3,0),连接PA,则附_£。4.在RtZ^APO中，由勾股定理得

0P=JoT+3=打+42=5.因此sina=—=~.

OP5

练一练D

]BC1

例3解：；NC=90°,；.sinA=-.—=一，；.AB=3BC=3X3=9.

3AB3

sin人生=逑=述

AC=ylAB2-BC2=，学4=672.

AB93

Swc='AC.BC=-X6夜X3=9厄

Z-Vtov22

练一练1.D2.2

7

例4解：由sinA=—，设BC=7x,则A8=25x.在RtA/lBC中，由勾股定理得

25

AC=A/AB2—BC2=Q(25xf-(7x)2=24%,即24x-24,解得x-1cm.故BC=7x=

7cm,A8=25x=25cm.所以/XABC的周长为8C+AC+4B=7+24+25=56(cm).

当堂检测

Vio3

1.B2.A4.

lo-5

44

5.解：作BD±AC于点。，*/sinA=",BD=ABxsinA=5x—=4.

55

AD=\/AB2-BD2=V52-42=3.又・.・A8二AC,BDLAC,：.AC=2AD=6.：.S^ABC=AC

XBO+2=12.

6.解：(1)'：CDLAB,：.AADC=NACB=90°.：.ZACD=Z8=90°-NA.・•・

ACCDAD

sinB=sin/AC。=

ABBCAC

22

(2)在Rt△ACD中，AD=y/AC-CD=占-32=4.由(1)知，

AD4

sinB=sinZACD=

AC5

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第2课时余弦函数和正切函数

学习目标：

1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.

2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

重点：1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.

2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

难点：能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

5^自主学习

三、知识链接

3.在RtZ\ABC中，b=y/3,ZC=90°,ZA=30°,求c.

4.在RtZkABC中，h=l,ZC=90°,ZA=45°,求c.

合作探究

三、要点探究

探究点1:余弦

合作探究如图，aABC和△QEF都是直角三角形，其中NA=N£>,/C=/F=90°,

ACDF

则IT而成立吗?为什么？

【归纳总结】在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是

一个常数，与直角三角形的大小无关.

如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角a,有cosa=sin(90。-a),

从而有sina=cos(90°—a).

练一练1.在RtA/lBC中，ZC=90°,AB=13,AC=\2,贝Ijcos4=.

2.已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7：5,a为其最小的锐角，求a的正弦值和

余弦值.

探究点2：正切

合作探究如图，△ABC和AOE尸都是直角三角形，其中NA=/。，/C=/F=90°,

BCEF

则就=而成立吗？为什么？

由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻

边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即

4的对边_BC

tan/=

4的邻边一旅.

锐角A的正弦、余弦、正切都是/A的三角函数.

J

/对边

A邻边C

想一想如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？

练一练1.如图，在平面直角坐标系中，若点P坐标为（3,4）,连接0P,求则0P与x

轴正方向所夹锐角a的正弦值=______.

，/P(3,4)

0]1234F

2.如图，4ABe中一边BC与以AC为直径的。。相切与C,若BC=4,AB=5,贝1」

tanA=_______・

A

BC

【典例精析】

阚R如图，在Rt/XABC中,ZC=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.

二

练一练1.在RtZiABC中，Z（7=90°,AC=12,AB=13.A

sinA=______,cos/=______,tanA=____,/

力

BL------]c

sinB=,cosB=,tanB=

2.在RtZSABC中，ZC=90°,402,BC=3.

sinA=，cosA=,tanA=

sinB=，cosB=,tanB=

【方法总结】在直角三角形中，如果己知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦

和正切值.

3

距如图，在中，NC=90°BC-6,sinA=—,求cosA、tanB的值.

5

【方法总结】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求

出其他的所有锐角三角函数值.

练一练1.如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC=8,

2.在RtZ\ABC中，NC=90°,且sinA=1,则下列结论正确的是（）

2

131

A.cosA=—Bi立C.cosA=—j=D.tanA=—f=

22V3

二、课堂小结

I.如图，在RtAABC中，斜边AB的长为m,NA=35。，则直角边BC的长是（）

D./〃sin35°„

E.mcos35°

mA^—~------°C

F.

cos350

m

D.

cos35°

2.sin70°,cos70°,tan70。的大小关系是（）

A.tan700<cos700<sin70°

B.cos70°<tan70°<sin70°

C.sin700<cos700<tan70°

D.cos700<sin700<tan70°

3.如图，在RtAABC中，ZC=90°,cosA=—,求sinA.tanA的值.

17

4.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D.若AD=6,CD=8.求

tanB的值.

5.如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=6.求cos8及tan8的值.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：c=2.2.解：c=.

课堂探究

一、要点探究

探究点1：余弦

合作探究

A(JDF

解：VZA=ZD,/C=NF=90°,.,.ZB=ZE,从而sinB=sinE,因此——=——.

ABDE

12

练一练1.—

13

2.解：•.,直角三角形的斜边与一直角边的比为7:5,令斜边为7x,则该直角边为5x,

25

另一直角边为2jdx<5x,/.sina=--y--,cosa=—

77

探究点2：正切

合作探究

⑼BCACBCEF

解：ZC=ZF=90°，.;RtAABCsRtAD£F.——=——.二——=——

EFDFACDF

想一想解：如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数.

44

练一练1.32.I

典例精析

例1解：由勾股定理得AC=y/AB2-BC2=V102-62=8,因此

BC_6

sinA-,cosA上J,tanA上一

5AB105AC84

512512512c37132岳327133^/132

练一练1.

13TI121313T'下13~2~1313~3

例2解：在Rt^ABC中，VsinA=—,AAB=^-=6x-=10.

ABsinA3

又•••AC=^JAB2-BC2=V102-62=8,...cosA=—=-,tanB=—=-.

AB5BC3

RCa33

练b练1.解：*/tanA==—,/.BC=—AC=—x8=6,

AC444

AB—AC2+BC2=>/82+62=10,AsinA==---,cosA=.

AB105AB105

2.D

当堂检测

1.A2.D

在Rt/XABC中，由cosA=4^="，

3.解：A817设AC=15Z,则AB=17A.

BC=7AB2-AC2=J(17氏)2-(15k)2=8k,

...sinA=—上空8

ABT7k17AC15k15

4.解：：CQ_LA8,NACB=NAOC=90°，;.NB+ZA=90°,ZACD+NA=90°,

AD63

：.ZB=ZACD,；.tanZB=tanZACD=CD84

5.解：过点A作ADLBC于点D.'：AB=AC,BC=6,：.BD=CD=3,：.

cBD3

cosB---=—.

AB4

2222

AD=\JAB—BD—\/4-3=V7,•t„no_——=.

在RSAM中，..^B-BD3

第二十八章锐角三角函数

28.1锐角三角函数

第3课时特殊角的三角函数值

学习目标:

1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.

2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.

重点：运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.

难点：熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.

自主学习

四、知识链接

互余的两角之间的三角函数关系:

若NA+/B=90°,则sinA.cosBicosAsinB,tanA•tanB=

合作探究

四、要点探究

探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值

合作探究两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正

切值.

【归纳总结】30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:

三角函数30°45°60°

£V2V3

sina

2V

V3

cosa也

2

V3

tana1G

【典例精析】

H求下列各式的值：

cos45°..

(1)COS2600+(sin600)2；(2)------------tan450.

sin45°

提示:COS260°表示(COS60°A，HP(cos60°)X(cos60°).

练一练计算：

(1)sin30°+cos45°；(2)(sin300)2+(cos30°)2—tan45°.

探究点2：通过三角函数值求角度

瓯(1)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=y/6,BC=J5,求NA的度数;

(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO=COB,求a的度数.

练一练求满足下列条件的锐角a.

(1)2sina—=0；(2)tana—1-0.

/7

已知Z\ABC中的NA与NB满足(1-tanA)2+|sinfi--1=0,试判断XABC

2

的形状.

练一练1.已知，△ABC中的NA和/B满足|tan8-6|+(2smA—Ji)2=0,求/A,

N8的度数.

2.已知a为锐角，且tana是方程x2+2x—3=0的一个根，求2sin%+cos2«—

百tan(a+15°)的值.

二、课堂小结

「30°、45°、60°角的三角函数值

特殊角的三角-

函数值

-通过三角函数值求角度

〉宿堂检.」

1.6tan0+20。)=1,锐角a的度数应是()

A.40°B,30°C.20°D.10°

2.已知/A为锐角，sinA=L,则下列正确的是

()

2

V26

A.cosA=-----B.cosA=-----C.tanA=1D.tanA=G

22

1(⑸2

3.在△ABC中，若sinA—+cosB-------=0,则NC=

2I2J

4.如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线0A交于点B,再以B为圆心，B0长

为半径画弧，两弧交于点C,画射线0C,则sin/AOC的值为.

5.求下列各式的值:

(1)l-2sin300cos30°；

(2)3tan300-tan450+2sin60°；

...cos6001

(3)1------------------；

1+sin60°tan30°

(4)V2sin450-geos600+(-1)202'+

6.如图，在△ABC中，NA=30°,tan5=—,AC=26，求A8的长度.

2

AB

参考答案

自主学习

一、知识链接

==1

课堂探究

一、要点探究

探究点1：30°、45°、60°角的三角函数值

合作探窕

解：设30°所对的直角边长为“，那么斜边长为2”