九年级数学培优讲义与测试

第一讲一次函数和反比例函数

知识点、重点、难点

函数了=任+/左彳0）称为一次函数，其函数图像是一条直线。若6=0时，则称函数_y=丘

为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当左〉0时，函数y=H+b是单调递增函数，即函数值歹随x增大（减小）而增大（减小）;

当左＜0,歹=依+6是递减函数，即函数值歹随x增大（减小）而减小（增大）。

函数y=称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

X

当后〉0且x〉0时，函数值y随x增大（减小）而减小（增大）；当后〉0且x＜0,函数

值丁随x增大（减小）而减小（增大），也就是说：当左＞0时，反比例函数y=士分别在第一

X

或第三象限内是单调递减函数；当左＜0时，函数歹=七分别在第二或第四象限内是单调递增

X

函数。

若y=A/+4（女产0）,歹=k2x+b2（k2w0）.

当勺=《时,[—历时,两面直线平行。

当左=与时，时，两面直线重合。

当:H七时,两直线相交。

当上上=-1时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解

题过程中要重视数形相结合。

例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点4-1,-2）、6（4,2）、C（l,c）,求c为何值时NC+6C取最小值。

解显然，当点C在线段Z8内时，NC+8C最短。

设直线Z8方程为y=+代入，（-1,-2）、8（4,2）

4

k.

-k+h=-2

解得■5

4k+b=2,6

b

5

所以线段Z8为丁=gx一（（-lAxW4）,

462

代入C（l,c）,得c=—xl=.

555

例2：求证：一次函数歹=竺二1》一纪"的图像对一切有意义的左恒过一定点，并求这个定点。

女+2左+2

解由一次函数得/+2»=（2k-l）x-（左-10）,整理得

（2x-y-lM-x-2y+10=0。因为等式对一切有意义的人成立，所以得

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12

JC——

「'一、一：°八解得:当》=乜，y=2时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图

x+2y-10=0,195'5

像过定点

例3：已知加、n、c为常数，ni~-n20,并且时(工一1)+“(l-x)=cx,求/(x)。

解用1-x代换原方程中的x,得句‘(X-l)+"(x)=c(l-x).①用x+1代换原方程中的

X,得W(x)+棚(一工)=c(x+1).②

加x0一〃x①得m2f(x)-n2f(x)=mcx+ncx+me-nc.因为m2-n2^0,所以

c\(m+n\xm-n\~,cc

f(x)=-------2---2-----，所以/(x)=-----工+------

m-nm-n加+〃

例4:如图，设/(x)=wx+—(1-x)=\m--jx+L因为当加21时，w-->0,/(x)为递增函

m\mJmm

数，/(x)在［0,1］上的最小值为/(l)=fw--ll+-+^.

［m)m

所以

g（m）=jm

/（I）=〃2（0<m<1）.

因此g（加）=,在［1,+00］上为递减函

数；g（w）=加在（0,1）上为递增

函数，故g（加）的最大值为g（l）=L

X2-4

例5：画函数y=J~J的图像。

2Txi

解|%|=0,x=0,X2-4=0,x=±2,将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为

x工±2的一切实数。

x—2,x<-2;

2—x,-2<x<0;

V="

2+x,0<x<2

-X—2,x>2

例6：一次函数卜=依-左（左>1）图像交x轴于A点，将此直线沿直线y=x翻折交y轴于6点,

这两条直线相交于P点，且四边形如P8的面积为3,

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求A的值。

解设点P坐标为(仃),又AON尸与△08P是翻折而成，所以Sg"面积是四边形物加

3

的一半等于1。设y=0代入歹=丘-左，得x=l,点/为(1,0).由

113

S&OAP=~OAXPC=~xlxt=~^得/=3,即点p(3,3).因点

3

P在y-kx-k上，代入得3=3k—k,k=—.

A卷一

一、填空题

1.设了=/+2)/i是反比例函数，则左=；其图像经过第

象限时；当x>0时，y随x增大而o

2.两个一次函数y=3x+12,歹=3-；羽的图像与y轴所围成的三角形面积是。

3.等腰三角形一个底角的度数记作y，顶角的度数记作x,将y表示成x的函数是

其中x的取值范围是。

4.如果函数丁=-1-1的图像与直线y=3x-2平行，则。=0

5.已知四条直线y=祖x-3、y=-l>y=3>x=1所围成的车边形的面积是12,则m-。

6.一次函数y=+b的图像经过点p(l,2)且与x轴交于点力,与y轴交于点8。若

sinZPAO=—,则线段。8的长为。

5

7.已知一次函数y=Ax+b中，若x的值每增加4,歹的值也相应增加8,则左=o

8.如果把函数y=2x的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是

的图像。

9.已知一次函数y=(3〃—1)(2〃+1)》病+3,则〃的值为o

10.若直线y=(/w-l)x+加-5不经过第二象限，则的取值范围是o

二、解答题

11.求证：不论左为何值，一次函数(2左-l)x-(左+3亚-(攵-11)=0的图像恒过一定点。

12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采

用提高售出价的办法来增加利润.已知这种商品每提高价1元(每件)，日销售量就要减少

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10件，那么他要使每天获利最大.应把售出价定为多少元?

B卷

一、填空题

1.函数y=ax+—(l-x)(a>0,0<x<1)的最小值为。

a

k

2.如图，正比例函数夕=x和y=ax(a>0)的图像与反比例函数歹=人(左>0)的

x

图像分别交于4点和。点。若直角三角形/。8和直角三角形的面积分

别为£和S],则S,与S2的大小关系是0

3.点4-4,0)、6(2,0)是平面直角坐标系中的两定点，。是y=-；x+2图像上的动点，则满足

上述条件的直角三角形N8C或画出个。

4.直线ax+by+c=0(ah>Q,ac>0)经过象限。

5.一个三角形以4=(0,0)、8(1,1)及。(9,1)为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形

划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为

6.已知函数歹=3及y=-x+4,则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积

X

为。

7.双曲线y=&与一次函数y=-丘+4,的图像有两个不同的交点，则人的取值范围是o

X

8.已知反比例函数歹=幺/#0),当x>0时歹随x的增大而增大，则一次函数y丘一4左的

x2

图像经过象限。

9.已知实数x、y满足4x+3y-12=0,则的取值范围是。

10.一次函数夕=如担-与歹=-2%+%的图像在第四象限内交于一点，则整数

44-33

m=o

二、解答题

11.设直线夕=2(x-1)与直线夕=-2(x-5)相交于点A,它们与x轴的交点为8,。，求A48C中

8。边上的中线所在的直线方程。

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12.已知函数/(x)=(〃?-2)x+2加-3,⑴求证：无论加取何实数，此函数图像恒过某一定点;

(2)当x在l4xK2内变化时，y在4WyW5内，求实数机的值。

13.若对于满足04x42的一切实数x,函数y=(2左)x-3%+7的值恒大于0,求实数上的取值

范围。

14.A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。甲店需45吨，乙店

需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商

店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？

C卷

一、填空题

1.函数y=3x-b与y=ax+2的图像关于直线y=6对称则a=

b-©

2.三个一次函数y=kxx+b}>y=k2x+b2;y=k3x+b3在同一

直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线/2>/3,则勺、&、《的

大小关系是。

3.已知函数y=(a-2)x-3a-1,当自变量x的取值范围为3WxW5时，

有丁既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数。的取值范围是

4.已知a<b<c,则函数y=卜-4|+卜-4+卜-4的最小值是

5.一次函数y=/(x)满足/{/[/(X)]}=8x+7,则/(x)=

6.已知abc^O=—=—=p,则一次函数y=P(x+l)的图像一定通过

cab

象限。

7.已知一次函数y=ax+b(a为整数)的图像经过点(98,19),它与x轴的交点为(0，0),

与y轴的交点为(0,。.若。为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是

个。

8.把函数y=匚的图像沿x轴向平移个单位，再沿y轴向

X

______平移个单位，得到y=土二L的图像。

2-x

9.方程4/_「_6》+歹+2=0表示成两个一次函数是o

10.一次函数丁=ax+b的图像经过点(10,13),它在x轴上的截距是一个质数，在y轴上的

截距是一个正整数，则这样的函数有个。

二、解答题

11.如图，设直线日+(左+1»-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积是

Sk>求S1+S2+S3+...s199s.

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12.在直角坐标系中有一个矩形Z3C。，点8与坐标原点重合，以在y轴的正半轴上，8。在

x轴的正半轴上，点尸在C。边上，直线歹=日-3经过点尸，且与x轴交于点。。若

BA+BC=10,历hBC=24,ZUOP的面积是APQC的5倍，求直线的解析式。

13.在相距为/的两个车库里，分别有犯、见辆汽车，拟在48两个车库之间设修理站以检

修车辆。若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，

修理站应设在何处？

14.已知直线乙f=以和点尸(6,4),,在直线4上求一点0,使过户。的直线与直线4以及x轴

在第一象限内围成的三角形的面积最小。

第二讲一元二次方程的解法

知识点、重点、难点

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一元方程中，一元一次方程的解法较简单，--般的三次、四次方程的求根公

式很繁，四次以上的方程在理论上又无求根公式.因此,一元二次方程的解法占

为重要的地位.在数学竞赛中,和一元二次方程布"关的问题很多•知识性、综合

性、技巧性都较强.这就要求我们不仅要熟练地掌握一元二次方程的基本解法和

基本理论，而且要在此基础上能灵活地、综合地运用这些知识和理论以及其他有

关的知识.

一元二次方程常用的解法有：

1.因式分解法.它基于这样的原理：八・九”f=0"6«=1，2,…，*)

中至少有一个为零.

2.配方法.它源于开平方法：f2=a(a>0)=f=±6.

3.公式法.对于一元二次方程az?+6工+c=0(a/0),当△20时由配方

法可导出它的两根为

—b±J7一\ac

，其中△=b2-4ac.

配方法是公式法的原理和依据•且又在求最大最小值、不等式证明、代数式

求值等方面有广泛应用，因此应熟练掌握配方的方法和技巧.

含字母系数的一元二次方程的讨论，导致r题目的『变万化.但是，如果能

灵活运用判别式和韦达定理等知识，就能在解题中想出一些绝妙的解法.

例题精讲

例1：解方程(2x-l>-3|2x-1|+2=0.

解原方程可写成I2H一1/一3।2/一1|+2=0.

得(|2x—1|—1)(|2x—1|—2)=0.

由|2彳一1|=1,得力=0,N2=1.

31

由I2z—1I=2,得73=i，彳4=——•

?1

原方程的根为X|=0,q=1,了3=j，/4=——­

例2：解方程/_疝-1卜4=0.

解令酎-1=0,得了=1,以T为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解.

(D当HV1时,则2］一1<0,原方程可以写成一+2工一5=0.

所以x——1—或z=-1+6(舍去)；

(2)当时，则2才一1、0,原方程可以写成工2-2H一3=0.

所以Z=3或JF=-1(舍去).

综上所述,原方程的根为力=-1-6,72=3.

例3：解关于x的方程(。一力+。)/+20¥+(。+/?—。)=0.

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解(1)若a—〃+c=0,则原方程成为2ax+(a+b—c)=0,

①若a=0,则c—b=0,原方程为0了+0=0,x可为一切实数.

②若a#0,则1=-4-0。土'

La

(2)若a—〃+c#0,则原方程成为(z+l)[(a—(+c)H+(a+b—c)J=0.

例4：已知首项系数不相等的两个关于x的二次方程

(a-l)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0

(h-\)x2-(b2+2)x+(h2+26)=0

2,h

及(a,b是正整数)有一个公共根，求-V的值。

ah+b-a

解由题意知a>1.6>1，ar尻利用因式分解可解得上述两个方程的根

分别为

a+2.〃十2

a，E，>，E

因为两个方程有一个公共根，则必有

6+2-a+2

a-1或-一b.

上述两式都化简为

ah-a—b-2=0.

即(a—1)3—1)=3

所以，由a、6都是大于1的正整数，得

=3

(a-l=lra-i=

U-l=3U-i==1.

解之得

产=2或f=4

l/>=4=2.

故

ha2

♦+'=ab=4«2'=256.

a-

例5：若二次方程/+22,+2[=0有实根，其中0、q为奇数。

证明：此方程的根是无理数。

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证明由题设为、工2为实根，所以△=4(立z_2q)>0.但p-是奇数,"W

2q,△>0,X|.2=—p±.y/p?—2g.若ri、心是有理数.则△=4(/>2—2q)是完

全平方数.于是P1-2g也是完全平方数•设2q=k\k为奇数).由于以及是

奇数•则/>+4、？一及均为偶数,不妨设立+归=2m,p-k=为整数).

则2q=p2—k?=Amn.q—2mn与g是奇数矛盾.所以Hi、Hz不可能是有理数.

又由为、工2是实数，从而X,、2是无理数根.

例6：解关于x的方程：2x2+(l-z)x2-2tx+(t2-Z)=0.

解按字母，降鼎排列，构成一个关于，的二次方程：〃一(一+2工+1)，+

dCr+D=0,得(，一/)口一(2工+1)]=0,所以工2=»或2H+1=t.

当t>0时,=石，工2=—41、了3=’21；当，V0时，H=12~'

习题

A卷

一、填空题

1.设方程(加2_1)》2_(加+])》+3=0,当机时，是一元一次方程；当初时，是一

元二次方程。

2.方程(x+l)3-(X-1)3=2,用方法较简捷，其根是。

3.用公式法解4x=l-士其根是。

2

4.将方程2-+7工+3=0化成。(x+m)(x+〃)=0的形式,可得o

5.若x=1是方程ax?+6x+c=0的——个根，则Q+b+c=o

6.若方程+工+加2+2加-3=0有一个根为0,则加=。

7.关于x的方程-4f+4bx-/=0,贝ijx=o

8.若Q是方程/+bx+a=0的根，贝！Ja+b=。

9.已知x=则4",的值是。

10.如果对于任意两个实数a、b,定义a*b=a+2b,解方程：

/*(2x)+2*l=0,可得x=。

二、解答题

1L用公式法解(m-l)x2-2(m+2)x+in—0.

12.若方程/+云+1=0与方程x—b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值。

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B卷

一、填空题

1.解方程573F—1lx—584=0,贝Ux=0

2.解方程丁-忖-1=0,贝！Jx=o

3.当初时，方.程(VI+Df+g—⑼*—2忘=0有一个根是1。

4.已知x+'=3,则/+3/一16/+3%-17=o

X

5.已知6、°为方程—+bx+c=0的两个根，且cw0,bw0,则6=，c-。

6.若也8-106是方程1+以+6=0的一个根，其中。、b为有理数，则必=o

7.若1、J是一元二次方程42+队+2=0的两个根，则。=o

2

8.若加是方程⑪2+bx+a=0(aH0)的一个根，则这个方程的另一个根是O

9.已知二次方程a(x+1)(%+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=0有根0与1,贝U

a:b:c=o

10.已知关于x的方程面一1*_2(4+1)》+1=0恰有一个实根，则a应取值为。

二、解答题

11.已知方程/_1"-150=0的一个正根为。，求-1+

Va+V«+l

1_________1

的值。

Ja+1+Ja+2&+1999+3+2000

12.若a>b>c>0,在一元二次方程(a-c)x+(c-a)=0的两个实数根中，求较大的

实数根。

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13.证明：若一一上+«是方程相+〃x+c=0的一个根，贝IJ--—~4k

2m2m

也是它的一个根。

C卷

一、填空题

1.已知〃是正整数，且4〃2+17〃-15表示两个相邻正整数之和，则〃

的值有个。

2.方程中-1|+4国-2=0的实根个数是个。

3.方程||2工+1卜耳=4的解是0

4.已知加2=加+=〃+1(机H”)，则M+〃'=O

5.已知关于x的方程a?+bx+c=O(a*O)无实根，甲因看错了二次项系数解的根为2、4；乙

因看错了某项的符号解的根为一1、4,则竺上工的值是o

4

6.设p=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4),g=(x—l)(x-2)(x-3)(x-4),则p—q的结果是。

7.方程M_7国+6=0,各根的和是o

8.己知£、£是方程/-2x-4=0的两个实数根，贝|〃+8£+6的值为。

9.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程V—6x+a=0的两根，当这样的三解形只有一

个时，a的范围是o

10.已知〃是正整数，方程+〃2X+(〃一］)=o,当〃=2时，两根为火、

b2；当〃=3时，两根为生、&…；当〃=100时，两根为阳。、狐°,则代数式

-----——-+——----+•••+------!------的值等于______o

_

(a2-1)(Z?21)(%-1)(63-1)(%oo-1)3100-1)

二、解答题

11.若三个整数a、b、c使得方程办2+6x+c=0的两个根为a、b,求a+6+c的值。

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12.已知a、b、c、d是非零实数，c、d是方程/+火+6=0的两根；a、6是方程/+以+4=0

的两根，求o+b+c+d的值。

13.已知小1,且5a2+787643150a+7=0;

7〃+787643150b+5=0,求色的值。

14.已知a是方程》2一3》+1=0的根，求2亡5仁上2上史的值。

a2+l

第三讲一元二次方程根的判别式

知识点、重点、难点

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aO

一元二次方程.+c=°（a#0）通过配方可以转化为，工+场）、

根据平方根的意义，当ft2-4ac，0时.方程才有实数解；当〃-4acV0时,

方程无实数解.我们称必一4ac为一元二次方程的判别式,记作为&

当4="-4<1。>0时,方程有两个不相等的实数根，分别为

—b%/△—b一

乃=―己---，工2=-7----：

laia

当△=廿一4ac=0时，方程有两个相等的实数根（简称等根，又称重根）

h

2a

当△=〃-4ac<0时，方程无实数根.

反之，亦成立.即如要方程有两个不相等的实数根，则△>（）;如果方程有重

根，则△=（）;如果方程无实数根，则A<0.

根据方程的判别式△除了判别方程根的情况外，还可确定某些方程中参

数的值或参数的取值范围；证明某些恒等式或条件等式；解某些方程或方程组

以及求有关函数的最值问题.其中只要辅之以韦达定理和不等式（组）的有关

知识.

下面我们通过几个例题作一些具体的分析和说明.

例题精讲

例1:如4、b为实数,证明：方程（X-0（X-b）=l有两相异实数根。

证明由（7—a）（z—6）=1,得X2—（ab）x+ab-1=0,A=（a+

6）2—4（。力-1）=（a-力2+4>o,故该方程有两相异实数根.

例2：如果x的一元二次方程（女-儿）/+（反-如口+（必-女）=0有两个相等的实数根，证明:

112

--1—=一.

acb

证明因为方程有两个相等的实数根，所以判别式A=o,即（bc-ab）2一

4（ac—6c）（«6—ac）=0.展开并整理，得（abbe—Zac'）2=0,所以a6+

112

be=2ac,等式两边同时除以即得L+上=

acb

例3：设a、b、c为正数,证明：方程0?+笈+。=0和！/+1彳+1=0,至少有一个方程有

ahc

实根。

证明设两个方程的判别式分别为和△?,△尸从一4ac;△?=]一

b

■1产：如果第一个方程有实根.则△1》o.此时有〃24ac,于是△?=

acabc

UC~,4<，2&ac二=_旨V0.即第二个方程无实数根;反之,如果第二个方

ab'cab'co

程有实根,则Az）。,此时有ac>4人.于是△―b2-4ac<62-1662=

-1562V0,即第一个方程无实数根.

综合上述两种情况可知，两个方程中至多有一个方程有实根.

例4：已知二次方程ax?+bx+c=0（ac工0）有两个异号的实数根和〃，且加<|〃?|,试判断二

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次方程ex2+(m-n)ax-Q=0根的情况。

解因为m和〃异号，旦加VI帆I•所以加V0,〃>0.

对方程ex2+(7M—n)ax—a=0而言，△=(m—n)2a2+4ac=[(m+

b0

n)2—\mn~\a2+4ac.由于m+〃=-----,vnn——，所以△=a2(zw-pw)2-

aa

\mna2+4ac=a2ini+n)2—\ac+4ac=a"(加+〃0,所以方程必有两个

实数根.

例5：解方程组

rx2+y2-xy-3x+3=0①

Lx~++z~-xy-yz-5z+6=0(2)

解将方程①变形为一-3+3)工+/+3=0,看作为关于上的一元二次

方程.由△>()得/+6y+9-4/-12>0,于是有/-2»+140,即一

l)2W0,所以y=l.将y=l代人①得/一4•r+4=0.所以z=2.由②一①

得Z2+3JT—j»z—5z+3=0,将_r=2,y—1代人得z2—6z+9=0,所以z——3.

所以原方程组的解为

x=2

=1

,2=3.

例6：如图，△/!比中，AB>AC,49为角平分线，的垂直平分线交比1延长线于反设诲a,

DE=b,BE=c.

求证：二次方程af-2bx+c=0有两个相等的实数根。

施3要证明方程有两个相等的实数根，只

要△=()即可,就是设法证明奶z-4ac=0.即

〃=ac,至此我们很自然想到是a、c的比例中

项，于是可设法通过相似形来达到目的.

证明连结AE.因为E在AD的垂直平分线

上，所以EA=ED,ZEAD=NEDA.因为

Z1=Z2.所以NB=NADE-Z1

/E4D-Z2=/E4C.乂因为ZAKC=NBEA.所以△BAEsAACE.由

此得”=县，即AE2=BE・EC,所以DEZ=BE-EC.而DE=儿BE=c

BEEA

EC=a,所以h2=ac,即b2—ac=0.而对方程a.r2—2bH+c=0而言,△=

4〃一4ac,所以△=4(62-ac)=0.所以原方程有两个相等的实数根.

K本题是几何和代数结合的一道证明题.通过几何的相似形有关判定

和性质,再结合一元二次方程根的判别式△，比较顺利地达到了所要证明的

结论.

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习题

A卷

一、填空题

1.方程4x2-2(a-b)x-ab=0的判别式是。

2.关于x的方程加1-2(3加-1口+9加-1=0有两个实数根，那么”的取值范围是。

3.当左不小于-工时，方程(左-2)/一(2左-l)x+左=0的根的情况是0

4

4.方程2/+3(左一1)+左2_4左_7=0一定实数根o

5.已知漱+4+1+1|=0,当k,方程丘2+ax+b=0有两个不相等的实数根。

6.方程(加-1)/+2(加-7)x+2帆+2=0有两个相等的实数根，则加=o

7.关于x的方程4f+6x+加=0没有实数根，则m的最小值为o

8.关于x的方程(a-b)/-2cx+(a+b)=0有两个不相等的实数根且a、b、c是A48C的三条

边，则ZU8C是______三角形。

9.方程2犬_(加一1口=3-根的根的判别式的值是4,则这个方程的根是

10.已知a为实数且使关于x的二次方程一一下工+^二。有实根，则该方程根所能取得的最小

值是0

二、解答题

11.证明：当机取任何值时，一元二次方程/+2加工+加-4=0有两个不相等的实数根。

12.已知a、b为整数，/一数+3-6=0有两个不相等的实数根；

f+(6-a)x+7-6=0有两个相等的实数根；J+(4-a)x+5-6=0没有实数根，求a、b的值。

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B卷

一、填空题

1.已知方程0+1）/+（卜+2|-卜-10以+。=5有两个不相等的实数根，则a可以是o

2.如果关于x的方程加2（加+2）x+〃?+5=0没有实数根，那么关于x的方程

（m-5）x2-2（2加+2）x+m=0的实数根的个数为。

3.加是时，方程（加J2）/一（2加+1及+1=0有两个不相等的实数根。

4.加是时，方程V-。〃-2）x+l=0有两个相等的实数根。

5.已知方程2x（Ax-4）--+6=0无实数根，则上的取值范围是o

6.加是有理数，当4=时，方程x?-4/nx+4x+3加2-2加+4左=0的根为有理数。

7.关于x的一元二次方程（"b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的两根相等，则

。、b、c的关系式是b+c2a（填"=”或">”）o

8.已知方程/+2（1+。.+（3。2一6。6+94/+2）=0有实数根，则方程的根为。

9.对于方程/一2国+2=加，如果方程实根的个数恰为三个，则加=0

10.已知关于x的方程加丫2-（加+2）x+加+1=0有两个实数根，且这两个根的平方和等于1,

那么机的值为o

二、解答题

11.判另U方程（x—a）（x—。-6）=1的实根个数，这里。、6是实数。

12.若正整数系数二次方程4/+加工+〃=0有两个不相等的有理根p、q,且p<q；又方程

x~-px+2q=0与方程犬-（fx+2p=0有一个公共根，试求X?-px+2q=0的另一个根。

C卷

一、填空题

1.方程14x2—4h+ll/_88x+34^+149=0的实数解是。

2.已知实数b、c,满足a+b+c=0,"c=8,则c的取值范围是

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3.设左为整数，且左力0,方程丘2_/_i）x+l=0有有理根，则左的值为。

4.已知关于X的方程工2-2心+如二匹-0有实数根，其中。为实数，则/99+”99的值

4

为o

5.已知x、y是实数，满足（x-3>+（y-3>=6,则上的最大值是o

X

6.设4+b〉c〉O,且那么二次方程a1x~+{b~+a2-c2）x+b2=0的实数根有

个。

7.已知对任何实数左，二次方程办2+（b-左）x+c+A=0（"0）都有两个不相等的实数根，则a、

b、c之间的关系是。

8.已知恰好有一个实数满足方程（时-1）/+25+1口+1=0,则。的值为o

9.已知关于》的一元二次方程刀2+（2加+1口+（3掰2+4〃仍+4〃2+2）=0有实数根，则

m=,n=o

10.已知（x-z）2-4（x—y）（y-z）=0,则x+z2y（填"=”或“>”）。

二、解答题

2,

11.已知实数x、y>z满足x+y+z=+/+z?=5,求证：x、y、z都不大于3a.

12.当a在什么范围内取值时，方程,2一5耳=。有且只有相异的两实数根?

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13.已知三个关于x的方程公-x+m-0>(w-l)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-l=0，若其中至

少有两个方程有实数根，求实数加的范围。

14.设p是实数，使得关于x的方程M—3px-〃=0有两个不同的实数根耳力

(1)证明：3pX[+x；-p>0；

(2)求"=——£——+3-2+)+3”的最小值。

3p%i+%2+3pp

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第四讲一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

知识点、重点、难点

一元二次方程根与系数关系：

设一元二次方程a-+6z+c=o（a#O,%b、，为实数）的两根为为、心，

则有了1+工2=--X\X-t——.反之，若两数,Cj、虫满足工1+Xi=-------,

aaa

X,x2=£，则此两数是方程+c=0的两根.

a

根据已知一元二次方程,运用根与系数关系，可求出某些含两根的代数式的

值和确定方程中字母系数的值或取值范围.

例题精讲

例1：二次方程/+办+6+1=0的根是正整数，证明：/+〃是合数。

证明设这两正整数根分别为⑥、4，则力+及=一。且斗6=6+1.

所以。2+，>2=（Z1+Z2»+（才1工2—1）2="+Tl+Xixl+1=（X|+1）

（元+1）.证得公+〃是合数.

例2：设关于x的一元二次方程X?+mx+n=0的一根为另一根的a（aR-1）倍,试求系数加、n间

的关系。

解设方程的两根为4、且©="z2.由根与系数关系得为+工2=

—•m,X\Xi.=n,因而有azz+iz=­m>即72=----,故乃——---.由

a+1a+1

x\Xz—n得（---）（--------Yf）=n,故m2a=n（a+I）2.

例3：方程x2+4x+l=0的两根是a、（3.

（1）求g+理的值；

（2）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于a、，的倒数的立方。

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解由根与系数的关系得。+9=—4,咱=L

=4；

(2)设所求的方程为靖+川+9=0,且两根为机，〃，有P=一(6+〃)=

/11\。3+伊(Q+h3―3甲(。+伊一64+12.9

―(/+炉)=一/=------闲------=------1―=522=

加〃=2•[=1.故所求方程为y2-\-52y+1=0.

a3尸s

例4：二次方程/+"%+p=0的两根为a、£；—++g=0的两根为八b,证明:

(a—i)(a-3)(2T)(/3-b)=(p-q)2.

证明由根与系数关系得a+S=厂+合=一非，中=p.Z=q.又=

——p、P2+nfi=—p,所以(a—r)(a—8)(R—r)(B—心)=[M—(r+5)a+r^J•

¥2_(厂”)0+厂8]=(M++q)(g2+〃8+q)=(—p-|-g)2=(p—q)2

例5：Q、b、c均是实数，且a+b+c=0,abc=1.

证明：4、b、C中必有一个数大于工

2

证明由已知可得：a、Ac三数中，一个为正数，两个为负数，不失一般性.

不妨设a>0.由题设得b+c=-a,hc=，，所以6、c是关于工的方程—+”+

a

-=0的两个实数根.从而△=a—/>0,即a2》="I.所以。、从

3

C中至少有一个大于

例6：p、4为正质数，方程x2+/x+q3=o有整数根吗？

解因系数为正质数均大于零,故方程#+"工+<73=。无正根，又HI”=

q3,故整数根只可能为一1，一(?3或一q,-q2两组.

(1)若一(Xi+xj)=—(—1—g3)=l+q'=/>2,即1-pi—qi.因1为

奇数,则质数P、q中必有一为偶数2,易得》=3,q=2;

2

(2)若一(皿+工2)=-(-q-9)=q+g2=",应有p有因数q,矛盾.

故原方程为了2+32工+23=/+9h+8=0,即有整数根一1,一8.

习题

A卷

一、填空题

1.如果方程Ji/-2x=x-l的两个根是X]、x2,贝卜]+》2=,x]*x2-

2.若方程/+bx+c=0有两个正的实数根，则其中系数氏c应满足的条件是

3.关于x的一元二次方程——ax-3a=0的一个根是6,另一根是。

4.已知方程/+6一4=0的两根的绝对值相等，则这个方程的根是。

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5.已知X］、是关于*的方程一+2才+加2=0的两个根，且［-々）2=2,则加的值是

6.关于x的方程/+（2〃7_3口+/+6=0的两实数根之积是两实数根之和的2倍，

m=o

7.已知上后、上5是关于x的二次方程/+bx+l=O的两个根，则b的值是______o

22

8.设方程/-lOlx+左-2=0的一个根的3倍少7为另一个根，则％=

9.已知方程Y+p