湖南省湘潭市湘乡陶龛学校2022年高三数学理模拟试题含解析

湖南省湘潭市湘乡陶龛学校2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两个平面，为两条直线，且，，有如下两个命题：①若，则；②若，则，那么（

）.A.①是真命题，②是假命题 B.

①是真命题，②是假命题

C.①是真命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题参考答案：答案：D2.设方程lnx=-x与方程ex=-x(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为m,则（

）A．m<0 B.m=0

C.0<m<1

D.m>1参考答案：B3.已知正数x、y满足的最小值是

A．1

B．2

C．3

D．参考答案：C略4.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.如图，在四面体A-BCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心0，且与BC、DC分别交于E、F，如果截面MF将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC表面积分别为，则必有（)A.S1与S1的大小不确定

B.C.

D.参考答案：D6.若x，y满足约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率，结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为﹣．故选；C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．7.已知正实数满足，则以下不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略8.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN，输出A,B，则（A）A+B为a1,a2,…,aN的和（B）为a1,a2,…,aN的算术平均数（C）A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数（D）A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数参考答案：C9.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（）A.相离. B.相切. C.相交. D.随m的变化而变化.参考答案：D直线AB的方程为.即，所以直线AB的方程为,因为,所以,所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.10.下列说法中，正确的是

A．命题“存在”的否定是“对任意”.[来B．设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的充分不必要条件.C．命题“若，则”的否命题是真命题.D．已知，则“”是“”的充分不必要条件.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量满足约束条件且的最大值和最小值分别为和，则

．参考答案：61412.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为

．参考答案：4

13.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.参考答案：（或写成60°）【分析】设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得，故，将代入可得得到，于是与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14.不等式的解集为,则的范围为

.参考答案：15.已知满足约束条件，那么的最大值为

.参考答案：试题分析：画出不等式组表示的平面区域如图,结合图形可以看出当动直线经过交点时,动直线在轴上的截距最小,此时的值最大,即,故应填.考点：线性规划等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域如图,借助题设条件搞清楚的几何意义是动直线在轴上的截距,然后数形结合,平行移动动直线,通过观察可以看出当动直线经过时,动直线在轴上的截距最小,此时的值最大,最大值为.16.若曲线：（为参数且），则的长度为

.参考答案：略17.若正数满足,则的最大值为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据tanθ=可得直线l1极坐标．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C的极坐标方程．（2）由题意，设A（ρ1，θ1），联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可．【解答】解：（1）直线l1的方程为y=x，可得：tanθ==，∴直线l1的极坐标方程为．曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ﹣2ρcosθ﹣2=0（0≤θ≤π）（2）由题意，设A（ρ1，θ1），则有，解得：设B（ρ2，θ2），则有，解得：故得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=5．19.如图，在三棱锥A﹣BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，BC=2，动点D在线段AB上．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）当OD⊥AB时，求三棱锥C﹣OBD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC?平面COD，满足定理所需条件；（2）OD⊥AB，OD=，此时，BD=1．根据三棱锥的体积公式求出所求即可．【解答】（1）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．∵BC=2，由勾股定理得OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．∵OC?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（2）解：∵OD⊥AB，∴OD=，此时，BD=1．∴VC﹣OBD==．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及三棱锥C﹣OBD的体积的求解，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，属于中档题．20.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y﹣8=0，曲线C的参数方程为．（1）已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，若点P的极坐标为，请判断点P与曲线C的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值与最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】转化思想；判别式法；参数法；坐标系和参数方程．【分析】（1）利用，把点P的极坐标化为直角坐标，把椭圆的方程化为直角坐标方程，即可判断出位置关系．（2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线l的距离为，化简再利用三角函数的单调性即可得出．法2：直线l的平行线n方程可设为：x+y+t=0，与椭圆方程联立化为4x2+2tx+t2﹣3=0，利用△=0，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（1）设点P的直角坐标系坐标为（x0，y0），则，得：P（4，4）．

…，∵，∴点P在曲线C外．（2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线l的距离为

=，当时，Q到直线l的距离d的最小值为，当时，Q到直线l的距离d的最大值为，法2：直线l的平行线n方程可设为：x+y+t=0，联立得3x2+（x+t）2=3，即4x2+2tx+t2﹣3=0，△=4t2﹣16（t2﹣3）=﹣12t2+48=0?t=±2，曲线C的两切线方程为x+y+2=0与x+y﹣2=0，Q到直线l的距离d的最大值为，Q到直线l的距离d的最小值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在第一象限，已知.（1）若，求的值；（2）若点横坐标为，求.参考答案：

略22.已知函数f（x）=ax+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，求a