2023年全国中学生数学奥林匹克（贵州赛区）预赛试题 - 副本

2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题一2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.C.2.己知z为虚数，且z1=z,则z'=.3.已知a,3是单位向量，|3a+4d|=|4a-3d|,若|c|=2,则\a+b-c\的最大值是,4.己知三棱锥P-ABC的三条侧"4,PB.PC两两垂宜，设二面角P-AB-C,P-BC-A,P-&-B的大小分别为a,们Y,则血？三血/+血：乙=_____cos'a+cos*0+cos"5.MBC的三边分别为a,b,c,记BC,CA,XB边上的中线长分别为叫,虬,则-r+Tr+-f的最小值是_______a'b"c6.设a,fteN*,且满足」-?=一二，则所有正整数对(a,方)的个数为ab20237.已知函数f(x)=xi-2x1-3x+4,若/(a)=/(/>)=/(c),其中a<b<c,则a2+b2+c2=.8.己知5名同学分则报长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符的概率是.二、解答题：本大题共3小题，满分S6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.(本题滴分16分)设{%}是正项等差数列，公差为d(d>0)，前〃项和为S“，m,〃，p,q均为正整数.若n<p<m,n<q<m.且〃i+〃=p+g,证明：⑴财,<哄：A⑵S.+S.Sp+Sq.10.(本题满分20分)如图1,设P是四边形ABCD内…点，满足\\\-----DABPC=2/.BAC,ZPCA=/.PAD./.PDA=APAC.\/求证：zpbd=\abca-zpca\.BC图111.(本题满分20分)定义：若•个数列中的每•项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列.己知数列氐}满足xo=O,x,=3,x,41+x,.,=4xb.证明：{x,_f+9}是一个完方列列.是是P-BC-A,P-BC-A,P-CA-B的大小分别为a,们则,sin~g+slll/+sin.7.=cos*a+cos*p+cos*y2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题及其评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。1.设集合X={(x,y)|x+y=l},B={(x,y)\x2+y2=2},C=A(\B,则集合C的子集的个数是.答案：4.解：易知集合C有2个元素，故C的子集有22=4个.2.已知z为虚数，且z2=z,则/=..解法1：设z=a+hi(a,b&R),由z1=z,^a2-b2+2ahi=a-b\,故a2-b2=a,1,V3所以z=--±i,因此zJ=L22解法2：由z2=5,得|z2|=|5|=|z|.因为z为虚数，故zwO且zwl,所以iz咛即.于是=zz‘=z-F=|z1.3.己知如b是单位向量，|3"仙|=|4<136|,若|c|=2，则\a^b-c\的最大值是.答案：2+V2.解:因为\a\=\b\=l.|3o+4Z»|=|4o-3ft|,两边平方得ab=Q,即alb.不妨设0=(1,0),8=(0,1),D(l,l).则a+6=(l,l)=面.设c=0C.由|曰=2,知点C的轨迹是圆心在原点。，半径为2的圆.而\a+b-c\=\db-OC\=\CD\.根据圆的儿何性质可知，|瓦|的最大值是2+>[2.4.己知三棱锥PIBC的三条侧棱24,PB,PC两两垂直，设二面角P-AB-C.<ni=—,b=士—2ab=-b,22由面积射影定理得cos2a+cos*+cos"由面积射影定理得cos2a+cos*+cos"=$如8+，沁+$私=jS糖答案：2.解:由于二条侧枝•两两垂直，易如S3w,+S如c+S如广s,侦LC0S£Z=^-,cosg=^~,cosy=^~,SzMBCS&gcS&BCcosa+cos/?+cosy5.WBC的三边分别为。，b,c,记BC,CA,/IB边上的中线长分别为帆,，叫,，叫,则巽+厘+容的最小值是_______.ah"c9答案：一4解，由中线长公式，知4无=2(£＞，+c2)-疽,4m：=2(c?+a2)-4/w:=2(疽+b2)-c2•由基本不等式，可得6设.a,beN',且满足,则所有正祭数对(a,3)的个数为2525七ab202323-ab202323-OX2023+/>)=20232,又2023-a<2023+1，Fl2023=7x17x17.所以20232=I:x2023:=72xI72x172.2023-a=-,7,17,72,7x17,172,72xI7,2023+ft=20232,7x174,72x17\174,7x17j.72x17:47,.故所有正整数对(。力)的个数为7.7.已知函数/(x)=x3-2x2-3x+4,若/(a)=/(6)=/(c),其中a<b<c,则a2+b2+c2=.案：10.解：设f(a)=f(h)=f(c)=m,g(x)=f(x)-m,则a,b,c是函数g(x)的三个零点，即。，b,c是方程x3-2x:-3x+4-/h=0的三个根.由根与系数的关系知，a+h+c=2.ah+bc+ca=-3.故a'+b~+c'=(a+b+c)2-2(ah+be+ca)=22-2x(-3)=10.8.己知5名同学分别捐长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己捐K的学科不符的概率是.土89解：由题意很，—=—=>20236-2023«-ah=0,从而Cx945解：号黄匹配问题.由「恰有4名考生发错的概率为[=%_=二，5名考生都发Af120错的概率为4=矛=面，故至少有4名考生发借的概率为P=R+R=.二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题满分16分)设杞“}是正项等差数列，公差为d(d>0)，前〃项和为S.，"7,〃，p,q均为正整数.若n<p<m,n<q<m.且/n+〃=p+q,证明：(|)七气<%%:因为"i+n=因为"i+n=p+q,mn<pq.所以anflnF%=k+3iT)d]0+(〃TX/]-[q+(pT)d][q+(gT)d]=£+(/n+〃_2)qd+("1—1)(〃一l)d?+(p+g_2)0d+(p_])(g_l)d>]=(mn-pq)d2<0,证明:(1)先证mn<pq.因为〃vpc/w,且m+n=p+q,所以mn-pq=""i-p(m+〃_p)=_pm-pn+p2=(m-p)(n-p)<0,即........8分BPmn<pq.............4分(2)先证mam+nan>pap+qaq.=m[ax+(m-\)d]+n[a}+(〃一l)d]-p[q+(p-l)d]-q[ax+(g-l)d]=+〃一p-g)q+[m(m-1)+n(nT)一p(p—1)-q(q-1)]J=[(m2-p2)-(m-p)-(q:-n:)+(q-n)]d=[(，〃-p)(/n+pT)_(g_〃Xq+〃_])]"(/w+/i+p+q_2)d.其中2=m-p=g-〃>0,又d>0,且〃i+〃+p+g-2>0,故ma.fi%>pap+qa「S.+S.-Sp-Sq=|[m(O|+a„)+n(ai+a„)-p(ai+ap)~m(a}+ag)]=：(/n+〃_p_g)0+：("%+na„-pap-qa)〃％-pa’-qa》。,故s故si„ff,+sn>Sp+Sq设宜线EP与4APD外接圆的另一个交点为F.由Z设宜线EP与4APD外接圆的另一个交点为F.由Z.PAC=/PDA知，/1C与4APD的外接回相切，所以EB'=EA'=EPEF...............................10分设的中垂线与』C交于点E，由2BEC=2LBAC=4BPC知，B,E,P,C共倒....................5分10.(本题满分20分)如图1,设P是四边形ABCD内一点，满足Z.BPC=2Z.BAC,Z.PCA=/.PAD.ZPDA=Z.PAC.求证：^PBD=\ZBCA-ZPCA\.20分即ZPBD=ZBCA-ZPCA.综上，命题得证ZEFB=4BP=2ECP=ZR4D=Z.PFD.故B,D,F共线.................15分这样，Z.PCA=ZPBE=Z.PFB=ZBPE-ZPBD=Z.BCA-Z.PBD,=[A(2-y[3)-B=[A(2-y[3)-B(2+yl3)][A(2+43)-B(2-43)]=A2-\4AB+B2=(A2-2AB+Bz)-9=》；-911.(本题满分20分)定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这神数列为完方数列.已知数列{X，满足xo=O,x,=3.Xm+x_=4.q,证明：{x,,X..)+9)是一个完方