上海市闸北区实验中学高三数学理联考试题含解析

上海市闸北区实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数满足，当时，且时，恒成立，则的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：D2.设是集合到集合的映射，若A=，则为A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知集合，集合，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由题意．故选D．考点：集合的并集运算．6.函数f（x）=6cos（+x）﹣cos2x的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，转化为二次函数问题求解最小值即可．【解答】解：函数f（x）=6cos（+x）﹣cos2x．化简可得：f（x）=6sinx+2sin2x﹣1=2（sin+）2﹣﹣1．当sinx=﹣1时，函数f（x）取得最小值为﹣5．故选：C．【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式化简能力和转化思想求解最小值问题．属于基础题．7.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.的展开式中的系数是A、

B、3

C、

D、4参考答案：A9.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】问题等价于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选B．10.已知是定义在上的奇函数，且恒成立，当时，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当满足时，则的最小值是

；参考答案：12.已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为

．参考答案：13..二项式的展开式中的常数项是

．（请用数值作答）参考答案：14.已知向量，不共线，，，如果，则k＝________．参考答案：15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如右图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为

.；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室.参考答案：（1）

（2）16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为__________．参考答案：2【分析】利用余弦定理将及化为三角形边的关系，可得，再利用基本不等式可得最小值.【详解】根据题意，由余弦定理得，得，依据正弦定理：，当且仅当时取等号，综上所述，答案为2.故答案为2.【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件“一正”“二定”“三相等”.

17.已知函数的解集为________.参考答案：（0,2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，经过申请、资格认定后初选，已确定甲班有4名同学入围，还有包括乙班在内的三个班各有2名同学入围，若要从这些入围的同学中随机选 出４名同学参加该校的自主招生考试．

（1）求在已知甲班恰有2名同学入选的条件下乙班有同学入选的概率；

（2）求甲班入选人数的期望．参考答案：解：（1）已知甲班恰有２名同学入围的情况，下另２名从其余班内选出，此时乙班有同学入选的概率:……………4分（2）可取值：……………6分……………7分……………8分……………9分……………10分……………11分………………12分19.已知函数（1）求的最小正周期和最小值；（2）已知，，求证：.参考答案：

解(1）∵∴的最小正周期是，当，即时，函数取得最小值-2.（2），，.，所以，结论成立略20..(1)已知矩阵的逆矩阵.(Ⅰ)求矩阵A的逆矩阵；（Ⅱ）若矩阵满足,求矩阵X.参考答案：（1）解：(Ⅰ)所以--------------------------3分（Ⅱ）-----7分略21.（本小题满分12分）如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=，SA=SC=SD=2．（I）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥的体积.参考答案：22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．参