黑龙江省哈尔滨市青一学校2021年高三数学文月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市青一学校2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则实数的值等于A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B略2.已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论．解答：解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．3.（5分）已知{an}为各项都是正数的等比数列，若a4?a8=4，则a5?a6?a7=（）A．4B．8C．16D．64参考答案：B【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5?a6?a7=a63，代值计算可得．解：∵{an}为各项都是正数的等比数列且a4?a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4?a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5?a6?a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4.已知集合A={－1,0,1,2}，集合，则A∩B等于A．{－1,0,1} B．{－1,1} C．{－1,1,2} D．{0,1,2}参考答案：B5.设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是

(

)A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l

B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α

D．n⊥α，n⊥β，m⊥α参考答案：答案：D6.使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：C考点： 函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： 由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）?f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．解答： 解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点故选C．点评： 本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．7.设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则的值是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知双曲线的离心率，则一条渐近线与实轴所成角的取值

范围是（

） A． B． C． D．参考答案：C9.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，相加可得答案．【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A10.若一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体可能是一个

(

)A．棱台

B．棱锥C．棱柱

D．圆柱参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①；

②是函数图像的一条对称轴；

③函数在区间上单调递增；④若方程.在区间上有两根为，则。以上命题正确的是

。（填序号）参考答案：①②③④12.设函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是

。参考答案：略13.已知

.参考答案：略14.函数在点处的切线的斜率是

.参考答案：215.图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由勾股定理求得|BF|2+|AB|2=|AF|2，代入由双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，16.（5分）（2015?万州区模拟）在等比数列{an}中，an＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=．参考答案：5【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：根据等比数列的性质化简已知等式左边的第一与第三项，再利用完全平方公式变形求出（a3+a5）2的值，根据等比数列的各项都为正数，开方即可求出a3+a5的值．【解答】：在等比数列{an}中，an＞0且a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，解得：a3+a5=5．故答案为：5【点评】：此题考查了等比数列的性质，以及完全平方公式的应用，根据等比数列的性质得出a32+2a3a5+a52=25是解本题的关键．17.已知f（x）=，各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a1800+a15的值是．．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】题中给出了数列隔项递推公式，给出两个条件，一个用来解决偶数项，一个用来解决奇数项，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），∴a1=1，a3=，a5=，a7=，…，a15=．∵a2010=a2012，∴a2010=，∴a2010=（负值舍去），由a2010=，得a2008=，…，a1800=．∴a1800+a15=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=处有水平切线．（1）求a的值；（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；转化思想；导数的概念及应用．【分析】（1）利用导数的运算法则可得：f′（x）．由于曲线y=f（x）在x=处有水平切线，可得=0，解得a即可．（2）对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上单调递增；由于x∈（0，1），可得x→0时，g′（x）→﹣∞；x=1时，g′（x）=＞0．因此必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．进而证明即可．【解答】（1）解：f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），x∈R．f′（x）=（ax+a+1）?eax．∵曲线y=f（x）在x=处有水平切线．∴=（a+2）e=0，解得a=﹣2．（2）证明：对任意x1，x2∈（0，1）有|g（x1）﹣g（x2）|＜e﹣1+2e﹣2?g（x）max﹣g（x）min＜e﹣1+2e﹣2．g（x）=f（x）+x+xlnx=+x+xlnx，g′（x）=+2+lnx，可知：g′（x）在x∈（0，1）上单调递增；∵x∈（0，1），∴x→0时，g′（x）→﹣∞；x=1时，g′（x）=＞0．∴必然存在t∈（0，1），使得g′（t）=0．由于=+2﹣ln4＜0，=+2﹣ln2＞0，∴t∈．由g′（t）=0，可得+2+lnt=0，可得：lnt=﹣2，∴g（x）min=g（t）=+t+tlnt=﹣t=u（t），u′（t）=﹣1＜0，∴函数u（t）在t∈单调递减．其最小值=，而当x=1时，函数g（1）=+1＞g（x）max．∴g（x）max﹣g（x）min＜+1﹣＜e﹣1+2e﹣2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.（本小题满分12分）在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且．（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；（2）若数列的前项和为，且，求．参考答案：证明：（1）由题知：

……………2分

即数列是以为首项，以为公比的等比数列

∵

且各项为负数

∴

即

……………4分

则

……………7分

（2）由（1）知

则………]+(1+2+3+……+n)……………8分……………10分

……………13分20.（13分）已知：数列满足.

（1）求数列的通项；

（2）设求数列的前n项和Sn.参考答案：解析：（Ⅰ）验证n=1时也满足上式：（Ⅱ）21.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面体P﹣AEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）通过证明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；（II）连接PE，证明BC⊥平面PAE，于是VP﹣AEF=VF﹣PAE=VC﹣PAE．【解答】证明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又BC∥AD，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又PD?平面