广东省广州市颜乐天纪念中学2022年高一数学理联考试卷含解析

广东省广州市颜乐天纪念中学2022年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式﹣x2+3x﹣2≥0的解集是（）A．{x|x＞2或x＜1} B．{x|x≥2或x≤1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1＜x＜2}参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，即可解出．【解答】解：不等式﹣x2+3x﹣2≥0化为x2﹣3x+2≤0，因式分解为（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴原不等式的解集为{x|1≤x≤2}，故选：C．2.函数的定义域为：A．

B．

C．

D．参考答案：C3.下列元素中属于集合的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知函数在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于()A. B. C.1 D.－1参考答案：A【分析】先根据反比例函数的性质可知函数在区间上单调递减函数，将区间端点代入求出最值，即可求出所求．【详解】函数在区间上单调递减函数

∴当时，取最大值，当时，取最小值，∴，故选A.【点睛】本题主要考查了反比例函数的单调性，以及函数的最值及其几何意义的基础知识，属于基础题．5.如果指数函数在上是减函数，则实数的取值范围是---（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z参考答案：A【考点】HM：复合三角函数的单调性．【分析】根据三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），要求函数y=sin（﹣2x）的单调增区间即求函数y=sin（2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的递增区间为，k∈Z，故选：A．7.如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，分别求出它们的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，大正方体的棱长为2，故体积为：8；小正方体的棱长为1，故体积为：1；故组合体的体积V=8﹣1=7，故选：B8.已知函数且，则下列说法错误的是（

）A．函数的图象是中心对称图形

B．函数在上是增函数C．函数是非奇非偶函数

D．方程没有实数根参考答案：D9.函数

的值域是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.一次函数的图像过点和，则下列各点在函数的图像上的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=_____________参考答案：

412.设，，若，则实数

.参考答案：413.函数，的值域是_____________．参考答案：[0.15]14.两平行直线，若两直线之间的距离为1，则

．参考答案：±5根据两平行直线间的距离公式得到

15.在△ABC中，C为OA上的一点，且，D是BC的中点，过点A的直线，P是直线l上的动点，，则_________.参考答案：【分析】用表示出,由对应相等即可得出。【详解】因为，所以解得得。【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底。16.已知数列是等差数列，若,且,则_________。参考答案：

解析：

17.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+ex（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为．参考答案：ln6﹣【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=x+ex，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣故答案为：ln6﹣三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的值域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）=x2﹣2ax+a的定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得，f（x）=（x﹣1）2，根据定义域为[0，3]，f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，求得函数的值域．（2）由条件可得二次函数的对称轴为x=a，分当a≥1时、当0≤a＜1时、当﹣1≤a＜0时三种情况，根据定义域为[﹣1，1]，值域为[﹣2，2]，分别利用二次函数的性质求得a的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+a，a=1，∴f（x）=（x﹣1）2，∵x∈[0，3]，∴f（x）在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，∴最小值为f（1）=0，而f（0）=1f（3）=4，∴函数的值域为[0，4]．（2）当a≥1时，由于f（x）在[﹣1，1]上是减函数，可得，故有（舍去）．当0≤a＜1时，由，即（舍去）．当﹣1≤a＜0时，由，即，求得a=﹣1．当a＜﹣1时，由，求得，解得a=﹣1（舍去）．综上所述：a=﹣1．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的定义域和单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=．【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，∴MN∥BC，又ABCD是正方形，∵AD∥BC，∴MN∥AD．∵MN?平面PAD，AD?平面PAD，∴MN∥平面PAD．（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，∴∠PAD=45°．∴PD=AD=2，故四棱锥P﹣ABCD的体积V==．20.已知向量，且与共线，求．参考答案：(-7，-7)，..............4分由共线知，.............8分∴．...............12分21.(本小题12分)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，CD⊥BC（1）求证：PC⊥BC（2）求点A到平面PBC的距离.参考答案：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积。由，，得，故点A到平面PBC的距离等于。22.已知函数f（x）=（x≠0）是奇函数，且满足f（1）=f（4）．（1）求实数a，b的值；（2）若x∈[2，+∞），函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴，请说明理由！（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式f（x）+＞0对x∈（0，+∞）恒成立，②方程f（x）=k在x∈[﹣8，﹣1]上有解．若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）利用f（1）=f（4）求出b的值，利用为奇函数，得f（x）+f（﹣x）=0对x≠0恒成立，求出a的值；（2）根据函数单调性，即可得出结论；（3）分别求出满足两个条件的实数k的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由f（1）=f（4）得，解得b=4．…（2分）由为奇函数，得f（x）+f（﹣x）=0对x≠0恒成立，即，所以a=0．…（2）由（1）知，．任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，，…∵2≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣4＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），所以，函数f（x）在区间[2，+∞）单调递增．所以在区间[2，+∞）任取x1≠x2则必有y1≠y2故函数f（x）的图象在区间[2，+∞）不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…（9分）（3）对于条件①：由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4．故若对x∈（0，+∞）恒成立，则需，则，∴k＞﹣8．…（10分）对于条件②：由（2）可知