湖南省岳阳市铅锌矿一校2021年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市铅锌矿一校2021年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=． ③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线． 以上命题中，正确命题序号是（） A．① B．② C．①和③ D．①和④参考答案：A【考点】向量的物理背景与概念． 【专题】规律型． 【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误 【解答】解：根据零向量的定义可知①正确； 根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误； 与向量互为相反向量，故③错误； 方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A，B，C，D四点不共线，故④错误 故选A 【点评】本题考察了向量的基本概念，熟记定义和向量间的相等，相反，共线等意义，是解决本题的关键 2.若，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由条件可得，故故得到.

3.

A

B

C

D参考答案：B略4.（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则=（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 向量的加法及其几何意义．专题： 规律型．分析： 根据图形，由向量加法的三角形法则依次求和，即可得到和向量的表达式，从图形中找出相对应的有向线段即可解答： 由题意，如图==．故选B．点评： 本题考点是向量的加法及其几何意义，考查向量加法的图形表示及加法规则，是向量加法中的基本题型．5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为A．1007

B．1008

C．2013

D．2014

参考答案：A略6.下列四组函数，表示同一函数的是（

）A．=，=

B．=，=C．

D．参考答案：D略7.集合{1，2，3}的真子集共有……………………（

）A．5个

B.6个

C.7个

D.8个参考答案：C略8.若函数y=cos2x–3cosx+a的最小值是–，则ay的值域是（

）（A）[2–，2]

（B）[2–，2]

（C）[2–，2]

（D）[2，2]参考答案：A9.如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（

）A．内心

B．重心

C．外心

D．垂心参考答案：A10.若，则f[f（﹣2）]=(

)A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】在解答时，可以分层逐一求解．先求f（﹣2），再根据f（﹣2）的范围求解f[f（﹣2）]的值．从而获得答案．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=﹣（﹣2）=2；又∵2＞0，∴f[f（﹣2）]=f（2）=22=4故选C．【点评】本题考查的是分段函数求值问题．在解答中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识以及问题转化思想的应用．属于常规题型，值得同学们总结反思．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在处取得极值，则

参考答案：3由题意得，令，即，解得，即．

12.过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的

心．参考答案：外考点：三角形五心．专题：证明题．分析：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．解答： 证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案为：外．点评：本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题．13.（5分）过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是

．参考答案：（45°，135°）考点： 直线的倾斜角．专题： 直线与圆．分析： 利用斜率计算公式可得kPA=﹣1，kPB=1．可得直线PA，PB的倾斜角分别为135°，45°．由于直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，可得直线l的斜率k满足k＞1或k＜﹣1，即可得出．解答： 解：∵kPA==﹣1，kPB==1．∴直线PA，PB的倾斜角分别为135°，45°．∵直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段没有公共点，∴直线l的斜率k满足k＞1或k＜﹣1，∴直线l的倾斜角的取值范围是（45°，135°）．故答案为：（45°，135°）．点评： 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题．14.（5分）+lg4﹣lg=

．参考答案：2考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 81﹣0.25=（34）﹣0.25，=，lg4﹣lg=lg2+lg5．解答： +lg4﹣lg=[（34）﹣0.25+]+lg2+lg5=（+）+1=2；故答案为：2．点评： 本题考查了有理指数幂的运算，属于基础题．15.（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于

．参考答案：16π考点： 球的体积和表面积．专题： 压轴题；空间位置关系与距离．分析： 正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．解答： 如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π点评： 本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．17.函数y=2+(x-1)的图象必过定点,点的坐标为_________.参考答案：（2,2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：

、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）．(1)若||，且，求的坐标；(2)若||=且与垂直，求与的夹角θ.参考答案：

19.已知函数f（x）=3sin2x+acosx﹣cos2x+a2﹣1，（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）求f（x）的最大值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）化简函数，利用偶函数的定义进行证明即可；（2）配方，分类讨论，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）偶函数，证明如下：f（x）=3sin2x+acosx﹣cos2x+a2﹣1=﹣4cos2x+acosx+a2+2∴f（﹣x）=f（x），函数是偶函数；（2）f（x）=﹣4（cosx﹣）2++2，a＜﹣8，f（x）max=f（﹣1）=a2﹣a﹣2；﹣8≤a≤8，f（x）max=f（）=+2；a＞8，f（x）max=f（1）=a2+a﹣2．20.某景点有50辆自行车供游客租用，管理自行车的总费用是每日115元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆。规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租的所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理总费用，用y表示出租的所有自行车的日净收入（即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理总费用后的所得）（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式及定义域；（Ⅱ）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？参考答案：解：（Ⅰ）当时，，令，解得．∵，∴，∴，且．--------------------2分.当时，------4分.综上可知,

-----------6分.（Ⅱ）当，且时，∵是增函数，∴当时，元．

------------8分.当，时，∴当时，元．

-------------10分.∵∴答：每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．---12分.当评分细则说明：1.函数f(x)定义域没写扣1分21.设全集为实数集合，集合,.⑴当时，求eR；⑵若，求实数的取值范围.参考答案：解：⑴当时，，∴.

∴eR或 ⑵.①当，即时，，符合题意