高中数学求解最值问题的一些方法毕业设计

第13页（共13页）高中数学求解最值问题的一些方法摘要：最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛应用，是反映实践数量关系、几何图形性质中的数学。最值问题是中学数学的重要内容之一，分布在各知识点，以最值为载体，考查高中数学的所有知识点。因此,它在高考中占有比较重要的地位。本文给出了求解最值的几种方法,如均值不等式、三角函数、函数的单调性、数形结合法等。同时，给出了每种方法的特点，并且分析了某些方法适用于何种题型。关键词：最值；均值不等式；三角函数；函数的单调性；数形结合。引言在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最低”等问题。例如效益最高，成本最低，利润最大等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，简称为求解最值问题。最值问题是历年高考考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系。由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用数学技能，灵活选择合理的解题方法。本课题对求高中数学中最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求高中数学最值问题的初等求解方法。相信本课题在理论知识上丰富和发展了最值问题及相应学科的理论、方法和技巧。一利用均值不等式求解最值问题利用均值不等式求解最值问题主要根据算术平均数大于等于几何平均数即：，（其中）由此得到几个常用的重要均值不等式：(1)、当且仅当时，“=”号成立；(2)、,当且仅当时，“=”号成立；(3)、,当且仅当时，“=”成立；(4)、，当且仅当时，“=”成立。注eq\o\ac(○,1)注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；eq\o\ac(○,2)熟悉一个重要的不等式链：.例1已知两正数且，求的最小值。解因为且，所以当时，例2求函数的最小值。分析是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值。而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添1、减1，即，再用均值不等式。解当且仅当，即时，等号成立。所以的最小值是3.小结均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。1、利用均值不等式求常见最值问题：(1)、求几个正数和的最小值；(2)、求几个正数积的最大值；(3)、用均值不等式求最值等号不成立；(4)、条件最值问题；(5)、利用均值不等式化为其它不等式求解的问题。2、用均值不等式求最值问题的常见技巧：(1)、添、减项（配常数项）；(2)、配系数（乘、除项）；(3)、裂项；(4)、取倒数；(5)、平方；(6)、换元（整体思想）；(7)、逆用条件；(8)、巧组合；(9)、消元。二利用三角函数法求解最值问题在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用三角函数的这一性质，将三角函数化为同一角的三角函数形式，或将其看作一个整体进行配方，从而解决问题。例3求函数的最值。解因为，又因为，所以，由三角函数的图象可知.小结在三角函数中，正弦函数和余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性。利用正弦函数和余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法。用三角函数求最值问题的常见技巧：(1)、用三角函数的有界性求最值；(2)、将三角函数最值化为二次函数的最值；(3)、数形结合；(4)、利用三角恒等变形。三利用函数的单调性求解最值问题函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年高考必考内容。利用函数的单调性求最值问题先判明函数在给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值。例4设的导数满足，，其中常数，设，求函数的极值。解因，故令，得由已知解得又令，得由已知，解得.所以，从而有，则令，得解得当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减。从而在处有极小值在处有极大值.注此类型题一般出现在高考题中的第21题，其中有的题型是直接求解最(极)值，有的是以函数的单调性作为媒介求系数的取值变化。在高考题中，还有利用函数的单调性求实际生产应用中的利润问题。例如已知某商场每日销售商品的销售量与销售价格之间的关系式，求商品每日所获得的最大利润。但是此类型题在最近几年的高考题中很少出现。小结运用函数单调性求常见最值问题：(1)、利用函数单调性求对勾函数[形如型]的最值。注：对勾函数的极值规律：eq\o\ac(○,1)当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值；eq\o\ac(○,2)当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值；eq\o\ac(○,3)当时，函数没有极值。(2)、利用单调性求抽象函数的最值。(3)、利用单调性求复合函数的最值。四利用简单线性规划求解最值问题简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。例5已知点在不等式组表示的平面区域上运动，求的取值范围。解由线性约束条件画出可行域如图1，考虑，把它变形为，这是斜率为1且随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距。当直线满足约束条件且经过点时，目标函数取得最大值为4；直线经过点时，目标函数取得最小值为-3.故的取值范围为.注本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为，然后再一一代入目标函数求出的取值范围为更为简单。小结简单线性规划是高中数学教学内容之一，解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）问题。运用简单线性规划求常见最值问题：(1)、与直线的截距有关的最值问题；(2)、与直线的斜率有关的最值问题；(3)、与距离有关的最值问题；(4)、与实际应用有关的最值问题。五利用二次函数求解最值问题定义一般地，如果，那么叫做的二次函数。其表达式有：(1)、一般式：；(2)、顶点式：；(3)、交点式：。二次函数的性质：当时，抛物线开口向上，值越大，开口越小，反之值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，值越小，开口越小，反之值越大，开口越大。几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向上当时开口向下当时开口向下当时开口向下例6已知方程有实根,其中,设，求的最大值和最小值。解由，得因为所以即，所以的最大值和最小值分别为27和.小结任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。并且二次函数解析式的三种形式可以互化。对于，如果没有给出约束条件时，则就有：eq\o\ac(○,1)若，则当时，取得最小值，即；eq\o\ac(○,2)若，则当时，取得最大值，即.但有时候，题目会约束自变量的条件，不易直接求出函数值的取值范围。利用二次函数求常见最值问题：（1）、利用二次函数求面积最大（小）值问题；（2）、利用二次函数求几何图形中的最值问题；（3）、应用二次函数求实际问题的最值。六利用参数法求解最值问题定义参数法指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，在进行分析与综合，从而解决问题。例7在直角坐标系中，直线方程为，曲线的方程为，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。解已知曲线的方程为，则曲线的参数方程为。因为点在曲线上，故可设点的坐标为，则由此得，当时，取得最小值，且最小值为.小结参数法解题的基本步骤：（1）、设参，即选择适当的参数（参数的个数可取一个或多个）；（2）、用参，即建立参数方程或含参数的方程；（3）、消参，即通过运算消去参数，是问题得到解决。七利用数形结合法求解最值问题根据代数问题的结构特征，联系几何背景，建立解析几何模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系寻求解法，即将一些抽象的解析式，把代数问题转化为几何方法来求解，使之更简单、快捷。例8若实数、满足，求的最大值及最小值。解由已知得是以为圆心，以1为半径的圆的方程。然而，正是圆上的点与原点连线的斜率。设，即，由直线与圆相切，得，解得，所以的最大值为，最小值为.小结利用数形结合法求函数最值常见方法：（1）、借助两点间的距离公式；（2）、借助点到直线的距离公式；（3）、利用平行线间的距离公式；（4）、利用直线的斜率；（5）、利用直线的截距；（6）、利用定比分点坐标公式；（7）、利用直线与圆锥曲线的位置关系。八利用向量方法求解最值问题向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。对于某些代数求最值问题可以构造向量，可将其转化为向量问题求解。有关向量的结论：（1）、由可知，当与同向时取等号。，当与平行时取等号。，当与平行时取等号。（2）、，当与反向且时左边不等式取等号，当与同向时右边不等式取等号。，当与同向且时左边不等式取等号，当与反向时右边不等式取等号。例9当为何值时，函数有最小值，并求出这个最小值。解将函数变形为，设，，则有，当且仅当与反向，即时等号成立。所以时，函数有最小值，且最小值为5。小结在中学数学中，对某些代数最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容。对求解最值问题时，特别是一些无理式的最值问题，使用向量方法可以大大化简解题过程，提高解题效率。1、利用向量法求常见最值问题：（1）、利用向量的数量积求最值；（2）、利用向量的和求最值；向量三角不等式主要由以下四个：eq\o\ac(○,1)，当且仅当与同向时取等号；eq\o\ac(○,2)，当且仅当与反向时取等号；eq\o\ac(○,3)，当且仅当与反向时取等号；eq\o\ac(○,4)，当且仅当与同向时取等号。2、构造向量求常见的函数最值问题：（1）、构造向量，求整数函数最值；（2）、构造向量，求无理函数最值；（3）、构造向量，求分式函数最值；（4）、构造向量，求元素条件最值；（5）、构造向量，求对数函数最值；（6）、构造向量，求三角函数最值；（7）、构造向量，解一类解析几何最值题。结论求解最大（小）值的问题技巧性强，难度较大，应根据题目特点，选取适当的方法。本文介绍了几种求解最值的方法及其方法的特点，揭示了某些方法之间的联系，使读者能更好的体会各个学科之间是有联系的，并不是独立存在的。参考文献[1]卢勇刚.用均值不等式求最值的类型及方法[J].高中数学教与学,2005(05):6[2]陈秀娟.利用函数的单调性求最值[J].中学教学参考，PeferenceForMiddleSchoolEducation,2010(26):35.[3]李继.构造解几模型求函数最值（高二、高三）[J].数理天地(高中版),2005(04):10.[4]华靖.用向量方法求函数值域或最值[J].高中数学教与学，2007(01):19-20.[5]黄俊峰、袁方程.用向量法求解最值问题[J].数学教学通讯，2008(05):62-63.[6]李建新、孙建斌.构造向量求函数最值[J].中学数学月刊,2003(03):30-32.

基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用基于ATmega16单片机的流量控制器的开发基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发锅炉的单片机控制系统HYPERLINK"/detail.htm?384595