辽宁省盘锦市第一完全中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

辽宁省盘锦市第一完全中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}的通项为an=log（a+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1?a2?a3?…?an为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015]内的所有“优数”的和为（）A．1024 B．2012 C．2026 D．2036参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，a1?a2…an=log23?log34…logn+1（n+2）=××…×=log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．【解答】解：∵an=logn+1（n+2）∴a1?a2…an=log23?log34…logn+1（n+2）=××…×==log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k在（1，2015]内的所有整数分别为：22﹣2，23﹣2，…，210﹣2∴所求的数的和为22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026故选：C．【点评】本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．2.若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲线离心率的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C3.设a∈R，则a＞1是＜1的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】判断充要条件，即判断“a＞1?”和“?a＞1”是否成立，可结合y=的图象进行判断【解答】解：a＞1时，由反比例函数的图象可知，反之若，如a=﹣1，不满足a＞1，所以a＞1是的充分不必要条件故选A【点评】本题考查充要条件的判断，属基本题型的考查，较简单．4.下列条件中,能判断两个平面平行的是(

)A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面参考答案：D5.设的（

）A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略6.

若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是（）A.（，1）B．（0,0）C．（1,2）D．（1,4）参考答案：A7.函数f(x)=ax3+3x2+2,若,则a的值是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D8.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，进行运行，得到S的取值具备周期性，利用周期即可得到程序终止的条件，即可得到结论．【解答】解：据程序框图，可看做是：已知a1==﹣2，an+1=，求a2016，由已知有=﹣1，求出通项an=﹣（或由前几项归纳），故a2016=﹣．故选：C．9.现有下列命题：①?x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题是真命题；④若命题p：?x∈R，x2+1≥1，命题q：?x0∈R，x02﹣x0﹣1≤0，则命题p∧￢q是真命题．则其中真命题为（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据二次函数的图象和性质，可判断①；根据对勾函数的图象和性质，可判断②；判断出原命题的真假，可判断③；根据复合命题真假判断的真值表，可判断④．【解答】解：x2﹣2x+3≥2＞0恒成立，故①?x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立为真命题；②若log2x+logx2≥2，则log2x＞0，则x＞1，故②为真命题；③若a＞b＞0，则，又由c＜0，则＞，故原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，故③为真命题；④若命题p：?x∈R，x2+1≥1，命题q：?x0∈R，x02﹣x0﹣1≤0，则p真，q真，故命题p∧￢q是假命题．故选：A10.在等差数列中，已知a=2,a+a=13，则（

）A.42

B.40

C.43

D.45参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，矩形与矩形所在的平面互相垂直，将沿翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设，，，则当_____▲_____时，有最小值．参考答案：12.设，若，则的最大值为

．参考答案：由柯西不等式，，知．13.若不等式在上恒成立，则的取值范围是

参考答案：略14.如图所示，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，，且,，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为__________.参考答案：【分析】由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为,并求出其正切值。【详解】连接，则，即为异面直线与所成的角，又，，，平面，，即，为直角三角形，.【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。15.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M，N两点，且满足，则该双曲线的离心率为________.参考答案：如图，，由已知条件知圆的方程为由，得，，又，，，，即双曲线的离心率为，故答案为.

16.已知中，，，的面积为，若线段的延长线上存在点，使，则

．参考答案：17..某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控,从中抽取200辆汽车进行测速分析,得到如图所示的频率分布直方图,根据该图,可估计这组数据的平均数和中位数依次为

。参考答案：72和72.5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在制定投资计划时，不仅要考虑能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损．现有甲、乙两个项目进行招商，要求两个项目投资总额不能低于8万元，根据预测，甲、乙项目可能最大盈利率分别80%和50%，可能最大亏损率分别为40%和20%．张某现有资金10万元准备投资这两个项目，且要求可能的资金亏损不超过2.6万元．设张某对甲、乙两个项目投资金额分别为万元和万元，可能最大盈利为S万元．问：张某对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出盈利的最大值．参考答案：设张某对甲项目投资为万元，对乙项目投资为万元，可能最大盈利为S万元，由题意可知，约束条件为………5分可能最大盈利的目标函数为．……7分画出约束条件的可行域（如图）………10分

将目标函数变形为，这是斜率为，随变化的一族直线，是直线在轴的截距，当截距最大时候，也最大，但直线要与可行域相交，要使最大的点是直线与的交点．…………13分此时．………15分答：张某对甲项目投资为万元，对乙项目投资为万元，可能最大盈利为最大，最大值为万元．

………………16分19.设函数.（1）求的单调区间；（2）设函数，若当时，恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）【分析】（1）求出定义域、，分，两种情况进行讨论，通过解不等式，可得单调区间；（2）令，则，则问题转化为当时，恒成立，进而转化求函数的最大值问题．求导数，根据极值点与区间的关系进行讨论可求得函数的最大值；【详解】（1）解：因为，其中.所以，当时，，所以在上是增函数.当时，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数.（2）令，则，根据题意，当时，恒成立所以，①当时，时，恒成立.所以在上是增函数，且时，，所以当时，不会恒成立，故不符题意.②当时，时，恒成立.所以在上是增函数，且，时，，所以当时，不会恒成立，故不符题意.③当时，时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．20.（本小题13分）已知复数求（1）的值；

(2)若，为纯虚数，求复数参考答案：（1）12；（2）3+I,-3-I;

21.（本小题满分13分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在（Ⅰ）要使矩形的面积大于36平方米，则的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．参考答案：22.设x=﹣2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求常数a、b；（2）判断x=﹣2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（﹣2）=0，f'（4）=0可求出a，b的值．（2）将a，b的值代入导函数，然后