辽宁省阜新市第二十三高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析

辽宁省阜新市第二十三高级中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数在上的导函数为，且满足，则下面不等式在上恒成立的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知函数，则关于的方程，有5个不同实数解的充要条件是(

)A．且B．且

C．且D．且参考答案：A略3.已知向量，，若与共线，则的值为A．

B．2

C．

D．参考答案：D试题分析：，，由于与共线，，解得，故答案为D．考点：向量共线的应用．4.已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】求出x+y=2，求出xy的最小值，根据方差的定义求出其最小值即可．【解答】解：样本x，1，y，5的平均数为2，故x+y=2，故xy≤1，故S2=[（x﹣2）2+（y﹣2）2+10]=+（x2+y2）≥+?2xy≥+×2=3，故方差的最小值是3，故选：C．【点评】本题考查了求数据的方差和平均数问题，考查不等式的性质，是一道基础题．5.已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（

）A．20

B．25

C．50

D．不存在参考答案：A6.已知均为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则是成立的（

）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案:C7.的定义域是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知向量，则一定有

()A．a∥b B．a⊥bC．a与b的夹角为45° D．|a|＝|b|参考答案：B略10.设，则a，b，c的大小关系是（

）A.a＞c＞b

B.a＞b＞c

C.c＞a＞b

D.b＞c＞a参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设n为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

．参考答案：112由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得n=8，则，令，r=2，则展开式中的常数项为.

12.已知，函数若关于x的方程恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是 .参考答案：(4,8)分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.

13.设f（x）=，若f（f（4））=，则a=．参考答案：2【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数化简，由里及外列出方程求解即可．【解答】解：f（x）=，f（4）=0，f（f（4））=f（0）=1+=，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求解，考查计算能力．14.已知直线l1：12x﹣5y+15=0和l2：x=﹣2，点P为抛物线y2=8x上的动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为．参考答案：3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出其焦点坐标和准线方程，把抛物线y2=8x上的点P到两直线l1：x=﹣2，l2：12x﹣5y+15=0的距离之和的最小值转化为焦点到l2：12x﹣5y+15=0的距离，由点到直线的距离公式求解．【解答】解：如图，由抛物线y2=8x，得其焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2．∴l1：x=﹣2为抛物线的准线，P到两直线l1：x=﹣2，l2：12x﹣5y+15=0的距离之和，即为P到F和l2：12x﹣5y+15=0的距离之和．最小值为F到l2：12x﹣5y+15=0的距离．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．15.若向量与垂直，则m=_____．参考答案：5【分析】根据向量垂直得，进行数量积得坐标运算便可求出m的值。【详解】解：向量与垂直，.解得．故答案为：5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标表示。16.(13)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD//AC.过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为

.参考答案：17.已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，

有下列四个命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中真命题的序号有______________．(请将真命题的序号都填上)

第12题图

参考答案：②③

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可证得BC⊥平面ACD；（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α与平面ACD的交线平行于AC，由M是中点，可得平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四边形MNPQ是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，进一步求出MN，NP，MQ，则S的值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，∴DE⊥平面ACD．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，∴AD⊥BC．又∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC．又∵BC∩DC=C，∴AD⊥平面BCDE．∴=；（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．∴四边形MNPQ是直角梯形．在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=．MN=AC=2，NP=，MQ=．∴S=（1+3）×．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题．19.不用计算器求下列各式的值.

⑴；

（2）设，求

参考答案：(1)解：原式=

………6分=

………………7分（2），…………..14分略20.（本小题满分12分）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为：x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.（2）：假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．由消去得…①设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,

则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.由消去y得.

………………②因为C2的焦点在直线上，所以，即.代入②有.即.

③由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.从而＝.解得④又AB过C1、、＼、、C2的焦点，所以，则

⑤由④、⑤式得，即．解得于是因为C2的焦点在直线上，所以.或．由上知，满足条件的、存在，且或，．

略21.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标.参考答案：解：(Ⅰ)消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.(Ⅱ)将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.